资源描述
《13.1平方根·第一课时》教学案
单位：海安县南莫中学 年级： 八 设计者：顾志勇 时间：2009年5月
课 题
13.3平方根
课型
新授课
案序
第1课时
教学目标
知识技能
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性；
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根；
数学思考
已知一个数的平方等于a，如果求这个数呢
解决问题
用含根号的式子来表示开方开不尽的数的平方根
情感态度
通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活是紧密联系的，通过探究活动，培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣，同时，深刻理解并掌握化归分类讨论的数学思想
教学重点
算术平方根的概念
教学难点
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
课前准备（教具、活动准备等）
教 学 过 程
教学步骤
教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 意 图
一、情景导入
二、感知新知识
三归纳新知识
例题
问题拓展
小结与作业
同学们，2003年10月15日，这是我们每个中国人值得骄傲的日子．因为这一天，“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功，实现了中华民族千年的飞天梦想（多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面）．那么，你们知道宇宙飞船离开地球进人轨道正常运行的速度是在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度 （米／秒）而小于第二宇宙速度： （米／秒）的大小满足 .怎样求 、、 呢？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．
这节课我们先学习有关算术平方根的概念．
多媒体展示教科书第160页的问题（问题略），然后提出问题：
你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢？
上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题．实际上是乘方运算中，已知一个数的指数和它的幂求这个数．
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 =a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.
也就是，在等式 =a (x≥0)中，规定x = .
思考：这里的数a应该是怎样的数呢？
试一试：你能根据等式： =144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．
想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？
建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如 表示25的算术平方根，因为…… 也可以写成 ,读作“二次根号a”。
例．（课本第160页的例1）求下列各数的算术平方根：
（1）100；(2)1；(3) ；(4)0.0001
（课本第160页）怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形
课堂小结
提问:1、这节课学习了什么呢？
2、算术平方根的具体意义是怎么样的？
3、怎样求一个正数的算术平方根？
作业
课本第167页习题10.1第1、2、3题；168页第11题。
学生相互讨论
学生思考，小组讨论然后回答
学生口答
此内容有感染力，使学生对本章知识的应用价值有一个感性认识，同时激发学生的好奇心和学习的兴趣．这里的计算实际上是已知幂和乘方的指数求底数的问题，是乘方的逆运算，学生以前没有见过，由此引出了本章所要研究的主要内容，以及研究这些内容的大体思路．
这个问题相当于在等式一个数的平方等于25求出这个数的值
就是已知正方形的面积求正方形的边长，这与学生以前学过的
已知正方形的边长求它的面积的过程互逆，教学时可以让学生初步体会这种互逆的过程，为后面的学习做准备
新知识的运用
算术平方根的概念比较抽象，原因之一是学生对这个新的符号的理解要有一个过程．通过此问题，使学生对符号“而”表示的具体含义有更具体、更深刻的认识．
首先应让学生体验一个数的算术平方根应满足怎样的等式，应该用怎样的记号来表示它，在此基础上再求出结果，例如求100的算术平方根，就是求一个数x，使 =100，因为 例题的解答展示了求数的算术平方根的思考过程．在开始阶段，宜让学生适当模仿，熟练后可以直接写出结果
建议学生观察图形感受 的大小．小正方形的对角线的长是多少呢？（用刻度尺测量它与大正方形的边长的大小）它的近似值我们将在下节课探究．
教科书在边空提出问题“小正方形的对角线的长是多少”，
这是为在10．3节介绍在数轴上画出表示 的点做准备
板书设计：
课题 例题
平方根的概念
小结
《13.1平方根·第一课时》课堂教学实录
课 题：人教版初中数学八年级上册
执教时间：2009年5月28日
执教班级：南莫中学八年级3班
执教老师：顾志勇
教学过程：
师：上课
班长：起立
师：同学们好
生：老师好
师：请坐
师：同学们，2003年10月15日，这是我们每个中国人值得骄傲的日子．因为这一天，“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功，实现了中华民族千年的飞天梦想（多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面）．那么，你们知道宇宙飞船离开地球进人轨道正常运行的速度是在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度 （米／秒）而小于第二宇宙速度： （米／秒）的大小满足 .怎样求 、、 呢？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．这节课我们先学习有关算术平方根的概念．
多媒体展示：教科书第160页的问题：一个正方形画框的面积等于25平方分米，那这个画框的边长是多少呢？
师：你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢？
生：思考并交流解法
生甲：5
生乙：5分米
师：答案应该是5分米，这个问题相当于求已知一个数的平方等于25，求出这个正数的值．
练习：教科书第160页的填表．
生：做练习
师：请同学起来说说你的答案
生：（说答案）
师：很好，
师：这个问题抽象成数学问题就是已知正方形的面积求正方形的边长，这与我们以前学过的
已知正方形的边长求它的面积的过程互逆，。
师：上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题．实际上是乘方运算中，已知一个数的指数和它的幂求这个数．
师：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 =a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.
也就是，在等式 =a (x≥0)中，规定x = .
师：请大家思考这里的数a应该是怎样的数呢？
生丙：正数
生丁：正数和零
师：丁同学回答正确，我们也可以说a应是非负数。
师：如果 =144你能说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．
生：12
师：正确
请大家做下面的题目：
例．（课本第160页的例1）求下列各数的算术平方根：
（1）100；(2)1；(3) ；(4)0.0001
生：四个学生到黑板上做练习，其余在自己的位置上做
师：我们来看看，黑板上的同学做的对吗？……对照黑板上的答案，你做的对吗？
生：对
师：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
生：讨论，
师：直接拼很困难，要把小正方形剪开再拼就可以了
师：可还有其他方法，请同学们课后再想一想
师：这个大正方形的边长应该是多少呢？
生：2
生：根号2
师：对的，应该是根号2
师：大正方形的边长是根号2 ，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？
生：不太清楚
生：大概是1.414
师：它的近似值是1.414，似值我们将在下节课探究．
师：小正方形的对角线的长是多少呢？
生：就是大正方形的边长根号2
师：这位同学很聪明，
师：这节课学习了什么呢？
生：算术平方根
师：算术平方根的具体意义是怎么样的？
生：如果一个正数x的平方等于a，即 =a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
师：怎样求一个正数a的算术平方根？
生：找出哪个正数的平方等于a，这个数就是a的算术平方根。
师：今天的作业是课本第167页习题10.1第1、2、3题；168页第11题。
师：下课
班长：起立
师：同学们再见
生：老师再见
教学反思：本节课的教学内容是人教版八年级上册的算术平方根，依据教学原则中的系统性原则和主体性原则，以学生为主体为出发点，启发学生自己发现知识，然后逐步认识新知识，再通过习题掌握新知识，
通过小组合作学习让学生体会在解决问题过程中与他人合作的重要性，培养了学生向他人学习的意识和能力，通过对问题的解答，使学生进一步体会如何从数学角度认识问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展实践能力和创新精神增强数学知识的应用意识．
教师对学生激励性的评价，能激发学生的求知欲望，调动学生学习的主动性和积极性．
不足之处：有些学生已经接触过平方根的知识，平方根和算术平方根分不太清楚！
《13.1 平方根·第二课时》教学案
单位：海安县南莫中学 年级： 八 设计者：顾志勇 时间：2009年5月
课 题
13.1平方根2
课型
新授课
案序
第2课时
教学目标
知识技能
1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别；
2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系
数学思考
1、 平方根和算术平方根之间的区别和联系，
2、 怎么求一个非负数的平方根
解决问题
1、会区别平方根和算术平方根
2、会求某些非负数的算术平方根和平方根，会比较两个实数的大小，培养学生的计算能力
情感态度
在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。进一步培养学生分析问题解决问题的能力，
教学重点
平方根的概念和求数的平方根
教学难点
平方根和算术平方根的联系与区别
课前准备（教具、活动准备等）
教 学 过 程
教学步骤
教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 意 图
复习提问
引入概念
讨论归纳
深化概念
新知识的应用
提问1：什么是算术平方根，如果求一个数的算术平方根？
提问2：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
又如：，则x等于多少呢？
使学生完成课本165页的填表练习．
给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：如果=a，那么x叫做a的平方根．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算．
观察：课本165页中的图10.1-2.
图10.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．
让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1,4,9的平方根．
注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数．
例1：（课本165页的例4）。求下列各数的平方根。
（1） 100 （2） （3） 0.25
建议教师要规范书写格式。
按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：
正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
建议：可引导学生通过观察=a中的a和x的取值范围和取值个数得出．
根据上面讨论得出的结果填课本166页的表．
注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习惯，一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不同，另
一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(0作除数的情况除外）．教学时，可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后的教学中继续强化这两点．
引入符号：正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用-表示．例如……
思考：表示什么意思，这里的x可取什么样的数呢？
而对于又该怎样理解呢？这里的x又可取什么样的数呢？
例2 下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。
－64、0，，
如果有要用平方根的符号来表示。
例3：课本第166页的例5，求下列各式的值。
（1），（2）－，（3）（4），
建议：要让学生明白各式所表示的意义；根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式。平方根和算术平方根的概念是本章重点内容，两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术平方根来研究平方根．
思考：－的值是多少？
学生思考并讨论，其结果是，它3和－3.
学生讨论得出结果是：正负五分之二
两个学生上黑板板演，其他学生在自己的座位上完成
学生思考并回答
学生讨论思考后回答
学生练习
这个思考题是引入平方根概念的切入点，要让学生有充分的时间进行思考和体验．
在等式中求出x的值，为填表做准备．
通过填表中的x的值，进一步加深时“两个互为相反数的平方等于同一个数”的印象，为平方根的引入做准备．
教学中可以引导学生通过查阅资料等方式，了解平方根产
生发展的过程．（通常称为平方根．在研究有关n次方根的问题
时，为使各次方根的说法协调起见，常采用二次方根的说法
．
3表示＋3和一3两个数．这种写法学生不太习惯，在以后的教学中宜不断提到。
通过此例使学生明白平方根可以从平方运算中求得，并能规范地表述一个数的平方根．这个例题也为后面探讨平方根的特征做好准备．
通过讨论，使学生对有理数的平方根有一个全面的认识．也是平方根概念的进一步深化．
体验分类思想，巩固平方根概念
加深对符号意义的理解和对平方根概念的灵活应用．
测试学生对平方根概念的掌握情况．
熟练应用平方根的概念，计算有关算式的值，是本课的主要内容
。
被开方数不是完全平方数时，可用计算器求出它的近似值
课堂小结
作业
1、 什么叫做一个数的平方根？
2、 正数、0、负数的平方根有什么规律？
怎样求出一个数的平方根？数a的平方怎样表示？
第167页习题10.1第3、4、7、8、11、12题
学生回答问题
同过提问的形式强化学生的知识
板书设计：
课题 例1
平方根的概念
平方根和算术平方根 例2
的区别和联系
各类数平方根的个数 例3
课 题：人教版初中数学八年级上册
执教时间：2009年5月28日
执教班级：南莫中学八年级2班
执教老师：顾志勇
教学过程：
师：上课
班长：起立
师：同学们好
生：老师好
师：请坐
师：同学们，我们上节课已经学习了算术平方根，请同学们想一想，什么是算术平方根？
生：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 =a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
师：很好，
师：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
生甲：3
生乙：正负3
师：学生乙答的很对，不要忘记负3的平方也等于9
师：再来，，则x等于多少呢？
生：五分之二，
生：正负五分之二
师：和刚才的题目对照一下，我们应该知道，这里的x也有两个解，
师：请同学们把书翻开到165页做填表练习．
生：做题目
师：请一个同学说一说答案
生：说答案
师：由刚才的练习，我们可以归纳出概念：给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：如果=a，那么x叫做a的平方根．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
师：例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算．
师：观察：课本165页中的图10.1-2.
图10.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．
师：请同学说出1的平方根
生：1
生：正负1
师：4的平方根是多少？
生：正负2
师：9的平方根是多少？
生：正负3
师：下面请同学做练习；例1：（课本165页的例4）。求下列各数的平方根。
（1） 100 （2） （3） 0.25
师：解题师范，大家做题目的时候要注意解题规范
生：做练习
师：按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：
正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
生：正数的平方根有俩个，而且互为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根
师：这位同学说的很对，同学们要在理解的基础上，记住正数，负数，零的平方根的性质
师：由刚才的结论大家来想一想： =a中的a和x的取值范围和取值个数得出．
生：如果a为正数，那么x有两个解，而且互为相反数；如果a为零，则x就等于零，如果a为负数，则找不到x合适这个式子。
师：这位同学分析的很到位，
师：有谁知道15的算术平方根是多少？
生：不知道，
师：如果一个数不是某个正数的平方的形式，那么它的平方根怎么来表示呢？
师：我们引入一个符号：根号；15的平方根可以表示成正负
师：我们再引入一个符号：正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用-表示．
师：引入根号后，我们可以表示出任何一个非负数的平方根了
师：请同学分别说出2；3；4；5；6；的平方根
生：2的平方根是正负根号2
生：3的平方根是正负根号3
生：4的平方根是正负根号4
生：5的平方根是正负根号5
生：6的平方根是正负根号6
师：大家说4的平方根是正负根号4，对吗？如果不对要怎么改正？
生：不对，4的平方根是正负2
师：又该怎样理解呢？这里的x又可取什么样的数呢？
生：表示的是x-1的算术平方根的相反数，这里的x-1要为非负数，即x要大于等于1.
师：请大家做练习：例2 下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。
－64、0，，
如果有要用平方根的符号来表示。
生：做练习
师：我们一起来对答案
师：让我们再来看下面的几道题目；求下列各式的值。
（1），（2）－，（3）（4），
生：口答12
生:-0.9
生：正负十四分之十一
生：56
生：56
师：都答对了
师：同学们用课后的时间思考一下：－的值是多少？
师：这节课我们一共学习了哪些知识？
生：什么叫做一个数的平方根
师：对，还有吗？
生：正数、0、负数的平方根有什么规律
师：对，还有吗？
生：一个数a的平方根表示方法
师：对了，今天的作业是：第167页习题10.1第3、4、7、8、11、12题
师：今天的课就到这里，下课
班长：起立
师：同学们再见
生：老师再见
教学反思：
本节课的教学内容是人教版八年级上册的算术平方根，依据教学原则中的系统性原则和主体性原则，以学生为主体为出发点，启发学生自己发现知识，然后逐步认识新知识，再通过习题掌握新知识，
通过小组合作学习让学生体会在解决问题过程中与他人合作的重要性，培养了学生向他人学习的意识和能力，通过对问题的解答，使学生进一步体会如何从数学角度认识问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展实践能力和创新精神增强数学知识的应用意识．
教师对学生激励性的评价，能激发学生的求知欲望，调动学生学习的主动性和积极性．
不足之处：本节课以概念为主，讲的东西比较多，而且学生很难积极参与，所以课题有点沉闷。
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