九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第1节 菱形的性质与判定（第2课时）教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级上册数学教案.doc

第一章《特殊平行四边形》
《菱形的性质与判定》(第2课时)
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.经历菱形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
（2）.能够用综合法证明菱形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.
2.过程与方法
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。
3.情感态度和价值观
体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
【教学重点】
菱形判定定理的发现与证明.
【教学难点】
菱形判定定理的应用.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、 复习引入
（1） 菱形的定义；（2）菱形的特征；（3）菱形的性质；
提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是菱形？
二、探究新知
1.菱形的判定1：定义法（有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）
数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
2.菱形的判定2的探究：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
活动内容1：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形，先想一想，再与同伴交流.
处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
活动内容2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，你能证明这个命题吗？
处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明.证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范.此处可安排学生板演证明过程.但是要帮助引导学生写出已知、求证，并以本题为例，规范证明命题的一般步骤，即：先将命题改写为“如果···，那么···.”的形式，分析命题的条件和结论，再根据条件和结论画出图形，写出已知、求证，最后再规范证明.同时，本题可能会有学生用证明△AOB ≌△COB的方法证明BA=BC，对此，教师可引导学生思考，AC和BD的关系，即互相垂直平分,因而可以利用线段垂直平分线定理来证明BA=BC.并对两种方法进行比较.
A
B
D
C
O
已知: ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC ⊥BD.
求证: ABCD是菱形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO
又∵AC ⊥BD
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
设计意图：由于要判定的是一个平行四边形，因此，若要考虑边，则容易想到定义，若要考虑对角线，则可能受到性质的启发，想到对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进而对这一命题进行严格证明，得到结论.
3.菱形的判定3的探究：四边相等的四边形是菱形
活动内容1：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？你是怎么做的？思考并独立完成后，与同伴交流.
处理方式：学生独立完成作图后可与课本作法进行对比，通过思考作法的正确性，探索得到菱形的另一种判定方法：四条边都相等的四边形是菱形.并对这一判定方法加以证明. 这里可能会有一个问题：对于作图要求，学生可能会不太明确，教师要及时点拨，作图要求是要使已知线段为对角线，因而可以借助菱形的对角线互相垂直且平分这一性质，通过作线段AC的垂直平分线来完成作图.如还是无法完成，可借鉴课本作法.
活动内容2：你所做的四边形是菱形吗？你能得到怎样的结论？你能证明这个结论吗？
处理方式：根据作图过程，学生能猜想出所在在四边形为菱形，进而猜想出菱形的另一种判定方法：四条边都相等的四边形是菱形.对于学生作法的正确性的证明，可以先证明所做四边形为平行四边形，再利用定义，证明是菱形.由此得出结论：四条边都相等的四边形是菱形.

B
C
A
D
已知: 在四边形 ABCD中,AB=BC=CD=AD
求证: 四边形 ABCD是菱形
证明：∵AB=CD，BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=BC
∴四边形 ABCD是菱形
归纳：菱形的三个判定：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.
三、例题讲解
例1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（ C ）
Ａ. AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ. AB=BC=CD=DA
Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
解析：根据菱形的三个判定可得C是错误的.
例2、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6， 求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC=4 OB=OD=3
又∵AB=5
∴
∴∠AOB=90°
∴AC⊥BD
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形.
四、巩固练习：
1.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ×）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ √ ）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形； （ × ）
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． （ × ）
2.对角线互相垂直且平分的四边形是（ C ）
A.矩形 B.一般的平行四边形
C.菱形 D.以上都不对
3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，边BC，CA，AB的中点分别是点D，E，F，则四边形AFDE是(　A　)
A． 菱形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形
4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是(　A　)
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
五． 拓展提高
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形，求证：四边形ABCD是菱形。
分析：根据平行四边形的性质得出对角线互相平分，再根据等边三角形“三线合一”的性质得出垂直关系即可判定四边形ABCD为菱形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CD
∵△ACE是等边三角形
∴EO⊥AC
即DB⊥AC
∴四边形ABCD是菱形
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC,CD交于点E,F.EH⊥AB于点H，连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.
分析：根据角平分线的性质可得CE=EH，根据“等角的余角相等”可知∠CEF=∠CFE，即CE=CF，再证明EH//CF，于是得到四边形CFHE是菱形。
证明：∵AE平分∠BAC,EH⊥AB，EC⊥AC,
∴EH=EC，∠CAE=∠EAB，
∵∠CAE+∠AEC=90°，∠EAB+∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD,
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE,
∴EC=CF,
∴EH=CF,
又∵CD⊥AB,EH⊥AB，
∴CD//EH,
∴四边形CFHE是平行四边形
又∵EH=EC
∴平行四边形CFHE是菱形
六、课堂总结
菱形的三个判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.
七、作业布置
1.习题1.2：知识技能第1，2两题
2.预习第三课时.
【板书设计】
1.1.2菱形的性质与判定（二）
一、判定定理1： 判定定理2： 例1：
证明 证明

【教学反思】
本节课可以分为三部分，第一部分是用复习和问题导入新课，复习菱形的性质，学生很容易可以猜想出菱形的判定。第二部分是合作探究证明菱形的判定。根据学生的猜想，让学生用菱形的定义来证明菱形的判定。第三部分是应用和检测。应用菱形的判定解决问题。