九年级数学下册 2.4.1 二次函数的应用教案1 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

课题：2.4.1二次函数的应用
教学目标：
1．经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问 题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
3. 积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值，从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣．
教学重点与难点：
重点：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
难点：利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
教学过程：
一、创设情境，引出问题
如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
（1）设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
（2）设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
处理方式：以问题串的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题，在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定，不足之处给予纠正．
（1）要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得即．所以AD＝BC＝(40－x)．
（2）要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x· (40－x)的最大值，就转化为数学问题了．
要求学生讨论写出步骤．
（1）∵BC∥AD，
∴△EBC∽△EAF．∴．
又AB＝x，BE＝40－x，
∴．∴BC＝(40－x)．
∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x．
（2）y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x
＝－（x2－40x＋400－400）
＝－（x2－40x＋400）＋300
＝－（x－20）2＋300．
当x＝20时，y最大＝300．
即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2．
设计意图：通过师生分析交流，让学生经历用含x的代数式表示矩形的另一边，变三个变量为两个变量，为建立二次函数模型做好铺垫，也让学生体会数形结合时表示线段的重要意义．此问是解决整个实际问题的关键之处，也是难点所在，让学生在充分交流的基础上，回忆起运用三角形相似解决问题．
二、尝试成功，探究创新
活动内容：
如果我们将这个问题再进行变式：
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上．
（1）设矩形的一边BC=xm，那么AB边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为y m2，当x取何值，y的最大值是多少?
处理方式：以问题串的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题，在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定，不足之处给予纠正
设计意图：有了前面两题作基础，这个问题可以留给学生课下自己解决，作为练习．解决问题的基本思路一样，只是用到了对应高之比等于相似比，这是此题的难点，本题既加深了旧知的复习应用，又在比较中总结表示线段的多种方法，让学生体会到类比解题，又在同中找异．
三、例题讲解，学以致用
窗户是一幢建筑最重要的标志之一，我们每个人的家里都有窗户，我们小时候还经常爬在窗户前数星星，下面我们来看一个和窗户有关的问题：

某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
处理方式：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝．面积S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．
解：∵7x＋4y＋πx＝15，
∴y＝．
设窗户的面积是S(m2)，则
S＝πx2＋2xy
＝πx2＋2x·
＝πx2＋
＝－3.5x2＋7.5x
＝－3.5(x2－x)
＝－3.5(x－)2＋．
∴当x＝≈1.07时，
S最大＝≈4.02．
即当x≈1.07m时，S最大≈4.02m2，此时，窗户通过的光线最多．
设计意图：把数学问题变式到实际生活问题，让学生运用数学知识到日常生活中，体会用数学的过程，由矩形面积变式到复合型面积，拓展了思维，以不变应万变，通过本题的训练让学生进一步体会利用二次函数解决最大面积问题的方法、过程．
四、巩固提升 展示自我
活动内容：
1． 用6米长的木料做成“目”字形的框架，设框架的宽为x米，框架的面积为S平方米，当x = 米时，S最大？S最大 = 平方米．
B
A
D
C
G
E
F
H
2．如图，矩形ABCD中，AB = 3，BC = 1，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，设EB = BF = GD = DH = x，则四边形EFGH的最大面积为 ．
B
A
P
D
C
3．如图，△ABC中，BC = 4 cm，AC = 2cm，∠C = 60°．在BC边上有一动点P，过P作PD∥AB交AC于点D，问：点P在何处时，△APD的面积最大？最大面积是多少？
处理方式：学先让学生思考，完成练习后，再用课件展示图例,并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：通过这三道题目对学生的掌握情况进行反馈，发现学生在解决这类问题是存在的不足之处，如果学生感觉到困难，可以进行小组讨论或者教师加以引导点拨．
五、总结概括，整理知识
本节课我们学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值．
1．请你总结一下解决这类问题的基本思路及要注意的问题．
2．本节课，你最深的感受是什么？
3．在这节课学习过程中，你还有什么疑问没有解决？
处理方式：由学生进行课堂小结，要给学生充足的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示.
设计意图：通过复习，让学生学会把知识系统化，加深对知识的理解和掌握，同时，培养学生有条理的进行思考，以形成完整知识结构，培养归纳概括能力和语言表达能力．评价自己的学习表现，有利于学生看到自己的优点和不足，以及今后改正的方向，同时也有助于学习习惯的培养．
六、达标测试，反馈纠正
A组：1．如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式.
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
第1题
第2题
（3）若 要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

B组：2
如图，阴平中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
处理方式：学生在学案上做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：分层设练，使学生知识、技能螺旋式的上升，也是一种思维与能力的训练．
七、布置作业，落实目标
课本习题P47第2题
板书设计：
§2.4相似三角形的性质（1）
引例
例1：
学生板演区