一道关于三角形的问题.doc

一道三角形问题的多种解法
题目：在△中，为边上一点，，若△的外心恰在线段上，则=__________.
分析：本题看似一道简单的解三角形问题，但实际操作有很大困难，主要是找不到突破口，条件难以运用.
方法一：如图，设外心为，中点分别为
则垂直平分，垂直平分
易得△∽△
设，不难求出
则由，得
在△中，
则在△中，，即
解得：，因此，则
在△中，
在△中，，即 （陈加建）
方法二:如图，设外心为，中点分别为
则垂直平分，垂直平分
易得△∽△
则，
所以
过作，垂足为
在△中，
在△中，
∴，下同解法一 （凌宇航）
小结：上面两种方法着眼于平面几何，利用外心的性质以及相似三角形性质求解。
思维过程：
方法三：以的中点为原点，的中垂线为轴建系
则与轴的交点为外心
易知，设，
则

两式相减：，即
过点作的垂线，过点作的垂线，易得△∽△
∵，则
∴，所以
∴，即 （陶俊达）
方法四：
以中点为原点，的中垂线为轴，在轴
设
则
易知：，即
∴，即 则
设外心，则
同理：
即，代入
解得：，则
小结：合理建系，大胆设元，建立等量关系，然后消元.