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第一章 矢量与坐标
教学目的：
1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;
2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;
3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;
4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。
教学重点：矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。
教学难点：矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。
教学时数：18学时
§1.1~§1.3 矢量的概念,矢量的加法,数量乘矢量
由于这部分内容已下放到高中教材中,学生基本上已掌握,因此我们这里就不作重点讲解,只对某些基本知识作简单复习.
§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解
教学要求:掌握矢量线性组合的定义,共线矢量,平面矢量,空间矢量用其基底表示的方法,线性相关,线性无关的概念以及相关的重要定理.
前面已学过矢量的加法和数与矢量的乘法,它们称为矢量的线性运算,且我们知道有限个矢量通过线性计算,它的结果仍然是一个矢量,下面首先给出
1线性组合
定义1.4.1 由矢量与数所组成的矢量
称为矢量的线性组合.
注:线性组合也可说成线性表示,线性分解,也称为的线性组合.
2 线性关系
(1)线性相关和无关性：(定义1.4.2) 对于个矢量,如果存在不全为零的个数,使得： (1.4.1)
那么个矢量叫做线性相关。
推论:一个矢量线性相关的充要条件为
线性无关, 当且仅当：
时
例：判断下列向量组是相关还是无关？

(2)一些基本性质:
定理1.4.1 在时,矢量线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合.
证明：

定理1.4.2 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关,那么这一组矢量就线性相关.

推论:一组矢量如果含有零矢量,那么这组矢量必线性相关.

定理1.4.3 矢量线性相关, 线性无关，则可写成
的线性组合。 即，且系数由唯一确定。

3线性组合及关系的几何意义：
定理1.4.4 矢量与矢量共线的充要条件和线性相关。

推论：如果矢量,那么可写成的线性组合,即
(1.4-2)
并且系数被唯一确定
定理1.4.5 三矢量共面的充要条件是它们线性相关
证明：
若与共面
若 由定理1.4.4以及定理1.4.2结论显然。 若不平行如图。
反过来若与线性相关

推论：如果矢量不共线,那么矢量与共面的充要条件是可分解成的线性组合,即 (1.4-3)
并且系数被唯一确定
这里称为共面(平面)矢量的基底.
定理1.4.6 空间任何四个或以上矢量总是线性相关

推论：如果矢量不共面,那么空间任意矢量可由线性表示或可分解成的线性组合,即
(1.4-3)
并且系数被唯一确定
这里称为空间矢量的基底.
总结:这一节我们应重点把握好矢量的几个线性分解式和线性相关,线性无关的应用定理
例题见书上
课堂练习：P24 7，8，9
作业:P24,10题
1.5 标架与坐标
教学要求:了解各种标架的定义,掌握坐标的定义,掌握坐标在标架中各个卦线的符号,掌握矢量的坐标运算.
引言
前面我们已知道空间中任何矢量可由三个不共面的矢量来线性表示,于是在空间中任取一点O,再引出三个不共面的矢量,那么空间中任何矢量可由线性表示,即
（1）
并且这里的是唯一的一组有序实数.
我们把的集合称为仿射标架,记作, 称为向量在该标架下的坐标。标架分为右手系和左手系标架.

如果 i，j=1…3 称为直角标架，常用表示空间右手直角坐标系.
例： 点关于坐标面、坐标轴、原点的对称点，
设 关于0点的对称点为
关于面的对称点为
关于轴的对称点为

1矢量的基本坐标运算
(1) 矢量的坐标分量等于其终点的坐标减去其始点的坐标。.
特别称为点的径矢
，则
(2) ，则
(3)设，则
例：用坐标方法证明：四面体对边中点连线交于一点且互相平分
2共线和共面向量的坐标性质
(1) 共线
当分母为0时，约定分子也为0
推论： 三个点A（），B（）和C（）共线的充要条件是

(2) 三个非零矢量和共面的充要条件是

证明：
复习：平面向量共线
四维向量共空间是否可以类似讨论？ 事实上称为三向量张成的有向体积
推论：四个点共面的充要条件是

或
(1.5-7’)
3定比分点
对于有向线段，如果点满足，则称点为的分点（定比分点）
定理1.5.6 设有向线段的始点，终点为则分成定比的分点的坐标是
(1.5-8)
推论：设，那么线段的中点坐标是
(1.5-9)
总结：本节重点掌握用坐标进行矢量的运算，三矢量共面，两矢量共线的条件，有向线段的分点的坐标公式，应注意点和矢量坐标的区别和联系。
课堂练习：P33，4，10题
作业：P34，7(2),8(2)题
例题见书上
1.6 矢量在轴上的射影
教学要求：了解射影的定义，掌握射影的公式。
1 基本概念
① 点在有向直线上的射影定义：设有空间中的一点和轴，过作垂直轴的平面交与点，则称为在轴上的射影。
② 矢量在有向直线上的射影矢量及射影：设两点在轴上的射影分别为，则矢量称为在上的射影矢量，记为射影矢量l。
规定方向为正向，称线段的有向长度为在上的射影，记为射影l。
或，
显然上述射影满足： 为方向的单位矢量
③ 矢量在矢量上的射影：设是向量方向的单位矢量，向量，称 为在上的射影记为
2 两向量的角
规定两矢量夹角在到之间，即，若同向，反向，则，在平面上，还可以定义方向角
下面给出射影公式。
定理1.6.1 矢量在轴上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦：
射影lcos, =. (1.6-2)
注：定理1.6.2和1.6.3表明矢量的射影满足加法和数乘两种运算。
总结：本节内容相对简单，重点掌握矢量在轴上的射影的计算公式。
作业：P38，1题

1.7 两矢量的数性积
教学要求：掌握两矢量数性积的定义，两矢量垂直的充要条件，数性积的运算律，利用矢量的坐标（分量）表示数性积，两点距离公式，方向余弦，两矢量的夹角余弦。
0引言
前面我们已学过矢量的加法和数乘运算，这两种运算的结果仍然是矢量，这一节我们将进行两矢量的一种乘积运算，这种运算的结果是一个数，一个非常典型的例子是物理学上一个外力，经过一定的位移所作的功
1 定义：两个矢量和的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量和的数性积（也称内积），记或，即或

注：数性积是一个数，零矢量与任何矢量的数性积为0。
由上一节射影公式，
=射影a=射影b
若，则，射影e
若，则，记作，为的数量平方。
下面给出
定理1.7.1 两矢量与互相垂直的充要条件是
该定理有许多应用，值得重视。
定理1.7.2 矢量的数性积满足下面的运算规律
1） 交换律
2） 关于数因子的结合律
3） 分配律
推论：
我们在这里指出，矢量的数性积运算可以像数的乘法那样进行。
现在给出数性积的坐标表示。
定理1.7.3 设
那么 (1.7-6)
推论：设，那么
下面给出几个重要的公式
1） 两点距离公式
定理1.7.4 设，那么
(1.7-8)
定理1.7.5 空间两点间的距离是
(1.7-9)
2） 矢量的方向余弦：矢量与坐标轴所成的角叫方向角，而方向角的余弦叫矢量的方向余弦，我们有
定理1.7.6 非零矢量的方向余弦是
α=
β= (1.7-10)
γ=
且2α+2β+2γ=1 (1.7-11)
这里α,β,γ分别为矢量a与x轴，y轴，z轴的交角，即矢量的三个方向角。
特别地，a0={α,β,γ} (1.7-12)
3） 两矢量的交角
定理1.7.7 设空间中两个非零矢量a{X1,Y1,Z1}和b{X2,Y2,Z2}，那么它们夹角的余弦是
(1.7-13)
推论：矢量a{X1,Y1,Z1}和b{X2,Y2,Z2}相垂直的充要条件是
(1.7-14)
平面的两矢量有类似的结论。
总结：这一节重点掌握数性积的定义，利用分量表示数性积及其应用。
作业：P48，5题
例题见书上。
1.8 两矢量的矢性积
教学要求：掌握矢性积的定义，几何意义，运算律，坐标表示。
引言
前面已学过数性积，它表示一个数，这一节我们将引入两矢量的饿乘积运算的另一种形式，它的结果是一个新的矢量。首先看一下它的定义：
定义1.8.1 两矢量a与b的矢性积（也称外积）是一个矢量，记做，它的模是
, (1.8-1)
它的方向与a,b都垂直，且按a,b, 的顺序构成右手标架{O;a,b, }
由平行四边形面积公式，我们有
定理1.8.1 两不共线矢量a与b的矢性积的模等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积。
这个定理刻画了矢性积的饿几何意义。
定理1.8.2 两矢量共线的充要条件是=0
该定理的应用也相当广泛，需重视。
定理1.8.3 矢性积是反交换的，即
=-() (1.8-2)
定理1.8.4 矢性积满足关于数因子的结合律，即
(1.8-3)
推论 设为任意实数，那么
(1.8-4)
定理1.8.5 矢性积满足分配律，即
(1.8-5)
推论 (1.8-6)
值得注意的是，矢性积在运算过程中，如果顺序发生改变，一定要变号
下面用分量来表示矢性积
定理1.8.6 如果，那么
(1.8-7)
或 (1.8-8)
总结：本节重点掌握矢性积的定义，几何意义和分量表示形式。
作业：P54，5题
例题见书上。
1.9 三矢量的混合积
教学要求：掌握混合积的定义，几何含义，三矢量共面的充要条件，分量表示。
引言
我们在前面两节学习的是两个矢量的乘积运算，但三个矢量的乘积运算还未涉及，总的来说有下面几种情况，矢量a,b作数性积再与c作积，即(ab)c，此时结论为与c共线的矢量，没必要讨论，另外一种是，矢量a,b作矢量积再与c作数性积，即，此时为一个数，还有一种是，a,b作矢性积再与c作矢性积，即，我们在这一节只讨论第二种情况，首先给出
定义1.9.1 给定空间的三个矢量,如果先做前两个矢量a与b的矢性积，再做所得矢量与第三个矢量c的数性积，最后所得的这个数叫三矢量的混合积，记做，或(a,b,c)，或(abc)
定理1.9.1 三个不共面矢量的混合积的绝对值等于以为棱的平面六面体的体积V，并且当构成右手系时混合积是正数；当构成左手系时，混合积是负数，也就是有
(abc )=εV (1.9-1)
当a,b,c是右手系时ε=1，反之ε=-1
定理1.9.2 三矢量共面的充要条件是(a,b,c)=0
定理1.9.3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变符号，即
(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) (1.9-2)
推论 (1.9-3)
下面用分量表示矢性积
定理1.9.4 如果，则
(1.9-4)
三矢量共面的充要条件是

总结：本节重点掌握混合积的定义，几何意义，三矢量共面的充要条件，混合积的特点，分量表示。
作业：P60，5题
例题参见书上。

第二章 轨迹与方程
教学目的：
1、理解曲面与空间曲线方程的意义；
2、掌握求轨迹方程（矢量式与坐标式参数方程及普通方程）的方法；
3、会判断已知方程所表示的轨迹名称。
教学重点：曲面和空间曲线的方程求法。
教学难点：判断已知的参数方程或普通方程所表示的图形。
教学时数：6学时
2.1 平面曲线的方程
这一节的内容不在课堂上讲，由学生在课后自学，因为后面要讲的空间曲线的方程包含了这一节内容。
2.2 曲面的方程
教学要求：掌握曲面方程的定义，求曲面方程的方法，曲面参数方程的定义、形式。
引言
曲面方程的意义与平面曲线一样，即点所满足的式子，曲面方程通常由下列形式来表示：
F(x,y,z)=0或z=f(x,y)
求曲面方程的方法通常是：利用轨迹的性质，列出曲面上的点所满足的条件建立等式，再把坐标代入化简即可得曲面方程，举例如书上
曲面的矢量式参数方程为

其中为参数，为空间矢量的基底。
曲面的坐标式参数方程为

这里同上。
总结：这一节重点掌握曲面方程的形式，参数方程的形式。
作业：P88， 5题
例题见书上
2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程
这类方程比较特殊，分别有下面三种形式
F(x,y)=0, 母线平行于z轴
F(x,z)=0, 母线平行于y轴
F(y,z)=0, 母线平行于x轴
例如：, 圆柱面（轴为z轴）
2.4 空间曲线的方程
教学要求：掌握空间曲线方程的定义，了解它的求法，掌握曲线射影柱面的求法。
引言
空间曲线方程的意义与曲面一样，我们把空间曲线看作是两个曲面的交线，于是方程为
(2.4-1)
具体举例见书上。
对于空间曲线L(2.4-1)的射影柱面，就是以L为准线，作母线分别平行于三坐标的柱面，在代数上就是在方程(2.4-1)中分别消去三个坐标x,y,z，
就可得L对于yoz面，xoz面，xoy面三坐标面的射影柱面
例子见书上
作业：P97，3题，8题
第三章 平面与空间直线
教学目的：
1、 深刻理解在空间直角坐标系下平面方程是一个关于x,y,z的三元一次方程；反过来任何一个关于x,y,z的三元一次方程都表示一个平面。直线可以看成两个平面的交线，它可以用两个相交平面的方程构成的方程组来表示；
2、 掌握平面与空间直线的各种形式的方程，明确方程中常数（参数）的几何意义，能根据决定平面或决定直线的各种导出它们的方程，并熟悉平面方程的各种形式的互化与直线各种方程形式的互化；
3、 能熟练地根据平面和直线的方程以及点的坐标判别有关点、平面、直线之间的位置关系与计算它们之间的距离和交角。
教学重点：平面与空间直线的方程求法及点、平面、直线之间的相关位置。
教学难点：平面与空间直线各种形式方程的互化。
教学时数：10学时
3.1平面的方程
教学要求：掌握平面方程的几种形式，包括参数方程，点位式方程，截距式方程，法式方程以及一般方程，平面的一般方程的法式化。
引言
我们知道，平面可以由一个点和不共线的两方向矢量决定，于是可得如下的矢量式参数方程。

其中为参数，为两不共线矢量，为定值 (3.1-1)
变形又可得坐标式参数方程
(3.1-2)
消参可得点位式方程
(3.1-4)
或，共面三矢量的条件 (3.1-3)
平面也可由三点决定，于是有下面的三点式方程
(3.1-5)
(3.1-6)
(3.1-7)
(3.8-8)
(3.8-)
特别地，我们还有截距式方程
(3.1-9)
平面的一般方程是下面的三元一次方程
(3.1-10)
其中，A,B,C不全为0
对于一些特殊情形，必须非常熟悉。
对于平面，还可由一点和垂直于已知非0矢量的矢量决定,平面的方程为下面的点法式方程
(3.1-11)
即
(3.1-12)
如果取单位法矢量，则
(3.1-13)
即
(3.1-14)
这里的表示原点到平面的距离
对于平面的一般方程(3.1-10)，用
可以法式化，符号的造取须使
具体的一些例子参见书上。
总结：本节重点掌握平面的几个方程形式和法式化。
作业：P109，5，6，7题
3.2 平面与点的相关位置
3.3两平面的相关位置
教学要求：掌握离差的定义，点与平面的距离公式，两平面位置关系的判定条件。
引言
点与平面只有两种位置关系，点在平面上即点满足平面方程，由前一节可得，于是我们只考虑点在平面外的情形，离差的定义为
=射影n (3.2-1)
以及
(3.2-2,3)
点与平面间的距离为
(3.2-4)
两平面的关系有相交，平行，重合，具体的条件决定于下述方程组

的解的情况。
平面(1)与(2)相交的充要条件是
(3.3-1)
平行的充要条件是
(3.3-2)
重合的充要条件是
(3.3-3)
两平面夹角的余弦
(3.3-5)
由此可得，两平面垂直的充要条件是
(3.3-6)
总结：这两节重点掌握点到平面的距离公式，两平面位置关系的判定条件。
作业：P113，10题，P115，6题
3.4 空间直线的方程
教学要求：掌握直线的几种方程形式，包括参数方程，标准方程，两点式方程，一般方程，射影方程。
引言
我们知道，直线可以由一个点和一个方向矢量决定，于是得到直线的参数方程。
(3.4-1)
或
(3.4-2)
再消去参数，即得直线的标准方程
(3.4-3)
直线的两点式方程为
(3.4-6)
如果取，则

参数的绝对值是上两点与间的距离
用表示方向数
直线的一般方程是下面的三元一次方程组
(3.4-11)
其中
它的射影式方程为
(3.3-12)
其中

由(3.4-11)可得直线的标准方程

其中
1
另外，直线的方向矢量可取
具体的例题见书上
总结：本节重点掌握直线的方程形式及求解方法。
作业：P123，4题
3.5 直线与平面的相关位置
3.6空间两直线的相关位置
3.7 空间直线与点的相关位置
3.8平面束
教学要求：掌握直线与平面位置关系的判定，两直线相关位置的判定，两直线夹角的余弦，两异面直线间的距离，公垂线方程，点到直线的距离公式，有轴平面束，平行平面束的方程及其应用。
引言
直线与平面有相交，平行，直线在平面上三种关系。
判定要求是：
(1)相交
(2)平行
(3)直线在平面上，
其中:平面
直线L与平面的交角为0到之间，有
(3.5-4)
直线
直线
相关位置的充要条件是
异面:
(3.6-1)
相交:
(3.6-2)
平行:
(3.6-3)
重合:
(3.6-4)
空间两直线的夹角余弦
(3.6-5)
垂直的充要条件: (3.6-6)
异面直线与间的距离为
(3.6-7)
公垂线的方程为
(3.6-8)
其中
点到直线的距离公式为
(3.7-1)
以直线L为轴的有轴平面束的方程是
, (3.8-1)
由平面决定的平行平面束的方程是
为任意实数 (3.8-2)
相关例题参见教材
总结：重点掌握直线与平面，直线与直线的判定条件，点到直线的距离公式，平面束的方程以及应用。
作业：P127，6题，P133，8题，P134，2题，P139，4题