应力与应变关系PPT文档.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,前面我们研究了 弹性体的应力和应变，得到了平衡微分方程、运动微分方程、几何方程等重要的方程。,引入了六个应力分量，六个应变分量、三个位移分量。,本章通过对应力和应变的内在联系分析，建立应力和应变之间的关系，即广义虎克定律。,应力和应变之间的关系涉及到材料所固有的物理特性，所以这些关系又称为物理方程。,1,基本变形时的胡克定律,y,x,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,41 广义虎克定律,2,物体中一点的应力状态用六个应力分量所确定，同一点的应变状态用六个应变分量所确定。故应力与应变之间的关系可以用下列解析形式的函数来表示,应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关,x,=,x,(,x,，,y,，,z,，,xy,，,yz,，,zx,),y,=,y,(,x,，,y,，,z,，,xy,，,yz,，,zx,),.,zx,=,zx,(,x,，,y,，,z,，,xy,，,yz,，,zx,),3,考虑小变形假设，应变分量都是微量，故将上面的式子展开成麦克劳林级数。略去二次以上的项，可以得到,可以知道在弹性体内任一点的每一个应力分量都是六个应变分量的线性函数。,根据假设：,（1）无初应力,（2）无热交换,（3）动力系统速度、加速度不考虑,（4）线性弹性假设,4,对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系,x,=,c,11,x,+,c,12,y,+,c,13,z,+,c,14,xy,+,c,15,yz,+,c,16,zx,y,=,c,21,x,+,c,22,y,+,c,23,z,+,c,24,xy,+,c,25,yz,+,c,26,zx,z,=,c,31,x,+,c,32,y,+,c,33,z,+,c,34,xy,+,c,35,yz,+,c,36,zx,xy,=,c,41,x,+,c,42,y,+,c,43,z,+,c,44,xy,+,c,45,yz,+,c,46,zx,yz,=,c,51,x,+,c,52,y,+,c,53,z,+,c,54,xy,+,c,55,yz,+,c,56,zx,zx,=,c,61,x,+,c,62,y,+,c,63,z,+,c,64,xy,+,c,65,yz,+,c,66,zx,系数,c,mn,共36个,取决于材料弹性性质，与坐标系选取有关,5,可以得出弹性体内任一点的每一个应力分量都是六个应变分量的线性函数，即为广义虎克定律。,系数共36个，称为弹性常数。,它们是材料弹性性质的表征，由均匀性假设可以知道，系数与点的位置没有关系。,可以证明，对于各向异性体，36个弹性常数中只有21个是独立的；,对于各向同性体只有3个弹性常数，其中只有两个是独立的。,6,（D）称为弹性矩阵，将应力与应变的关系写成矩阵形式：,7,各向异性效应,式中：,为应力列阵；,为应变列阵；D、A为弹性矩阵。,有36个弹性常数。,或,8,1、极端各向异性,任何两个方向的弹性性质都互不相同。,对于极端各向异性体来说，由弹性力学可知：,D、A为对称矩阵，即有,c,ij,=,c,ji,；,a,ij,=,a,ji,。,2、正交各向异性,物体中存在这样一个平面，在任意两个与此平面对称的方向上，物体的弹性都相同。该平面称为弹性对称面，一般有3个这样的弹性对称面。,对于正交各向异性体，由于对称关系（正应力分量只产生线应变，不产生剪应变）。因此，弹性矩阵中的36个弹性常数中，有24个为0，在剩下的12个只有9个是独立的。,因此，36个弹性常数中只有21个是独立的。,9,4、横观各向异性,（如层状结构岩体）,物体中某一平面内的各方向弹性性质相同（各向同性面），而垂直此面方向的弹性性质不同。,因此，对于横观各向异性体来说，弹性矩阵中的36个弹性常数中，只有5个是独立的，即：,E,、E,、,、,、G。,5、各向同性,物体内任一点任何方向的弹性都相同。,因此，对于各向同性体来说，弹性矩阵中的36个弹性常数中，只有2个是独立的，即：,E、,。,10,42 各向同性体的广义虎克定律,由各向同性的性质，可以知道在任何方向的弹性性质都相同，故各个方向上的应力和应变的关系相同。,本节要证明各向同性体只有两个独立的弹性常数。,首先证明，各向同性体内任一点的应力主轴的方向是与该点的应变主轴方向相重合的。,证明：,设1、2、3轴是弹性体内任一点的应变主轴，则对应的剪应变为零。,11,2 2,1,1,3,3,O,由广义虎克定律可以得到：,为该点的主应变。（对应于1、2、3轴）,将坐标系绕2轴转180，得到坐标轴1，2，3,-1 n,3,0 m,3,0 l,3,0 n,2,1 m,2,0 l,2,0 n,1,0 m,1,-1 l,1,3,2,1,12,新坐标轴o123也指向应变主轴的方向，剪应变也等于零。,由各向同性，弹性常数不随方向的改变而改变，则有：,为该点的主应变。（对应于1、2、3轴）,由转轴时应力分量的变换公式：,13,由转轴时应变分量的变换公式：,代入可得：,14,上式成立，必须要有：,同理可以证明：,说明1、2、3轴是应变主轴，则对于这些轴的剪应力也等于零，换言之，1、2、3轴也是应力主轴。,于是得到证明，对各向同性的弹性体内任一点，当某轴为应变主方向时，同时也为其应力主方向，即应变主轴与应力主轴重合。,15,现在来确定各向同性材料独立的弹性常数的个数，设所取的坐标为三个主轴方向，由广义虎克定律可以得到：,表示在,j,轴方向的单位主应变所引起在,i,轴方向的主应力。,因为研究的是各向同性材料，各个方向的主应变对其此方向的主应力的影响是相同的，因此有：,还有某个方向的主应变对另外方向的主应力的影响也是相同的，因此存在：,16,由上面的结论可以知道，对主轴而言，只有两个独立的弹性常数。用a，b表示这两个弹性常数。可以得到：,17,常数,、,称为拉梅（lame）弹性常数,简称拉梅常数。,此式反映了主应力与主应变的关系。,通过坐标变换，进一步建立任意正交坐标系应力和应变的关系。,此为一般情况下，任意正交坐标系各向同性体应力分量与应变分量的关系。称为各向同性体的广义虎克定律。,18,令,此为体积应变的广义虎克定律。,可以得到：,19,43 弹性常数的测定,由轴向拉伸试验可以测定材料的杨式弹性模量和泊松比。,由扭转（纯剪）试验可以测得剪切弹性模量。,现在确定拉梅常数：,由轴向拉压胡克定律,y,x,20,由广义虎克定律：,可以得到：,21,比较可以得到：,根据试验，,所以,22,由扭转（纯剪）试验可以测得剪切弹性模量,由广义虎克定律：,23,各向同性体的广义虎克定律,：（用应力分量表示应变分量）,体积应变的虎克定律表达式可以改写为：,24,如果物体受到均匀压缩，则有：,上式反映了体积应变与压强的关系,令,可以得到：,K称为体积弹性模量，反映物体弹性性质的弹性常数；,K越大，则物体需要较高的压力才能产生与K值小的物体相对应的体积变化,25,例：当泊松比0.5时，为什么表示材料不可压缩性，即体积不变。此时的剪切弹性模量 G 与拉压弹性模量 E 有什么关系？,所以，体积应变:,说明材料体积不变，即材料有不可压缩性。,解：,设,26,例题,:,边长 a=0.1m 的铜立方块,无间隙地放入体积较,大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图 a 所示。,已知铜的弹性模量 E=100GPa,泊松比,=0.34,当受到,P=300kN 的均布压力作用时,求该铜块的主应力.体积,应变以及最大剪应力。,27,(a),a,a,a,P,28,解：铜块横截面上的压应力为,(a),a,a,a,P,29,铜块受力如图 b 所示,变形条件为,Z,y,x,z,x,y,（b),30,解得,铜块的主应力为,31,体积应变和最大剪应力分别为,32,例题9-8 壁厚 t=10mm,外径 D=60mm 的薄壁圆筒,在表面上 k 点,处与其轴线成 45 和135 角即 x,y 两方向分别贴上应变片,然后在,圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶,如图 a 所示已知圆筒材料的,弹性常数为 E=200GPa 和,=0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内,且,max,=10MPa,试求k点处的线应变,x ,y,以及变形后的筒壁厚度。,D,t,y,m,k,x,33,D,t,x,y,m,k,x,y,k,可求得,解:从圆筒表面 k 点处取出单元体,其各面上的应力分量如图 b所示,34,k点处的线应变,x ,y,为,35,圆筒表面上k点处沿径向(z轴)的应变为,同理可得圆筒中任一点(该点到圆筒横截面中心的距离为,)处的径,向应变为,因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为 t=10mm.,36,