资源描述
蚂蚁怎样走最近
一、内容及其分析
本节课要学的内容蚂蚁怎么走最近，指的是勾股定理的，其核心是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，理解它关键就是要需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识。学生已经学过对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础，本节课的内容运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题就是在此基础上的发展。由于它还与实数有必然的联系，所以在本学科有重要的地位，并有为运算打基础的作用，是本学科的核心内容。教学的重点是探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题，解决重点的关键是利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．
二、目标及其解析
1、目标定位：
(1)学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念．
(2)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力．
(3)在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
2、目标解析：
(1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣．
(2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
三、问题诊断与分析
在本节课的教学中，学生可能遇到的困难是立体图形与平面图形之间的转换，产生这一困难的原因是学生空间想象能力还未完全形成。要解决这一问题障碍就要让学生亲自参与立体转换成平面图形的过程，其中关键是立体图形中的量变成平面图形中的什么量的问题。
四、教学支持条件分析
在本节课立体转换成平面图形的教学中，准备使用幻灯片。因为使用动画，有利于让学生更容易理解量的变化。
五、教学过程设计：
问题1：情境引入
（1）提出问题：从教学楼到综合楼怎样走最近？
（2）如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留
下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这
一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂
蚁怎么走最近？
设计意图：
通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景2的创设引入新课，激发学生探究热情．从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．
师生活动：教师先提出问题然后由学生回答，老师总结学生的回答。
问题2：合作探究
学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算．
设计意图：
通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．
学生汇总了四种方案：
学生很容易算出：情形（1）中A→B的路线长为：AA’+d，
情形（2）中A→B的路线长为：AA’+πd／2
所以情形（1）的路线比情形（2）要短．
学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，前三种情形A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）最短．
如图：
（1）中A→B的路线长为：AA’+d;
（2）中A→B的路线长为：AA’+A’B>AB;
（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB;
（4）中A→B的路线长为：AB.
得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．
在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．
接下来后提问：怎样计算AB？
在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则.
问题3：做一做
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
解：（2）
∴AD和AB垂直
设计意图：
运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．
问题4：小试牛刀
1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？
解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点,
乙到达C点.则:
AB=2×6=12(千米)
AC=1×5=5(千米)
在Rt△ABC中
∴BC=13(千米)
即甲乙两人相距13千米
2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处
搬运食物，它怎么走最近？并求出最近
距离．
解：
3．有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近
边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外
的部分为0.5米，问这根铁棒有多长？
解：设伸入油桶中的长度为x米,
则最长时:
∴最长是2.5+0.5=3(米)
最短时:
∴最短是1.5+0.5=2(米)
答:这根铁棒的长应在2-3米之间
设计意图：对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算．学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解．
问题5：举一反三
1．如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？
B
A
解：B
A
B
2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为
AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2 x+1，
2 x=24，
∴ x=12， x+1=13
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。
设计意图：
第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程
师生活动：
（1）学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出AB位置，并正确计算．如有可能，还可把正方体换成长方体进行讨论．
（2）学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程．
六、课堂小结
1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．
2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
七、目标检测：
1．课本习题1．5 第1，2，3题．
2．如图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了
一段,现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?
请你与同伴交流设计方案?
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