资源描述
相交线与平行线（二）
知识点
1.相交线 2.内错角、同位角、同旁内角 3.垂线 4.相交线
5.平行线判定 6.平行线的性质 7.命题与定理 8.平移
教学目标
1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程,将本章内容条理化,系统化, 梳理本章的知识结构.
2.通过对知识的疏理,进一步加深对所学概念的理解 ,能用语言说明几何图形.
3.使学生认识平面内两条直线的位置关系,在研究平行线时,能通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质,理解平移的性质。
教学重点
复习平面内两条直线的相交和平行的位置关系,平行的性质和判定的综合应用.
教学难点
平行的性质和判定的综合应用.
教学过程
一、课堂导入
本节课我们系统的学习一下相交线与平行线.
二、复习预习
知识框架
三、知识讲解
考点1
对顶角、邻补角
指出图(1)中具有这两种位置的角.
(1) (2) (3)
②如图(2)中,若∠AOD=90°,那么直线AB,CD的位置关系如何?
③如图(3)中,∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4是怎么位置关系的角?
(2)强调:对顶角、邻补角是由两条相交面而成的具有特殊位置关系的角，要抓住对顶角的特征，有公共顶角，角的两边互为反向延长线；邻补角的特征：有公共顶有一条公共边，另一边互为反向延长线。
(3)对顶角有什么性质?(对顶角相等)如果两个对顶角互补或邻补角相等,你得到什么结论?
让学生明确,对顶角总是相等,邻补角一定互补,但加上其他条件如对顶角或邻补角相等后,那么问题中每个角的度数就随之确定,为90°角,这时两条直线互相垂直.
考点2
垂线及其性质.
(1)复习时教师应强调垂线的定义即可以作垂线的制定方法用,也可以作垂线性质用.
作判定用时写成:如图(2),因为∠AOD=90°,所以AB⊥CD,这是一个角的“数”到两直线垂直的“形”的判断。
作为性质用时写成：如图(2)，因为AB⊥CD,所以∠AOD=90°。这是由“形”到“数”的说理。
(2)如图(4),直线AB、CD、EF相交于点O,CD⊥EF,∠1=35°,求∠2的度数.
(4) (5) (6)
鼓励学生用不同方法求解.
(3)垂线性质1和性质2.
学生叙述垂线的性质,懂得分清这两个命题的题设和结论,垂线性质一说得过一点已知直线的垂线存在并且唯一的.
学生思考:①请回忆一下后体育课测跳远成绩时,教师是怎样测量的?
如图(5),AB⊥L,BC⊥L,B为重足,那么A、B、C三点在同一条直线上吗? ②为什么?
③点到直线的距离、两条平行线的距离.
初中阶级学习了三种距离,即是距离,就要懂得的共同点:距离都是线段的长度,又要懂得区别:两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是某条直线上的一点到另一点平行线的距离.
学生练习:①如图(6),四边形ABCD,AD∥BC,AB∥CD,过A作AE⊥BC,过A作AF⊥CD,垂足分别是E、F,量出点A到BC的距离和AB、CD平行线间的距离.
②归纳：如垂线的性质1、2,又如两种直线都垂直于第三条直线,这两条直线平行,一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直……
考点3
同位角、内错角、同旁内角.
要求学生从图形中找出同位角,内错角,同旁内角.
练习:如图找出∠1、∠2、∠3中哪两个是同位角、内错角、同旁内角.
考点4
平行线判定与性质
(1)怎样判别两条直线是否平行.
(2)平行线有什么特征?
(3)对比平行线的性质和直线平行的条件,它们有什么异同?
(4)为什么研究平面内两直线的位置关系总是与角联系起来?围绕这些问题展开讨论,交流.
平行线的判定也是由“数”即角与角的关系到“形”的判断，而性质则是“形”到“数”的说理，在研究两条直线的垂直或平行时共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角或角之间的关系。
学生练习:①填空:如图(8),当_______时,a∥c,理由是________;当______时,b∥c,理由是_________;当a∥b,b∥c时,______∥______,理由是_________.
(8) (9) (10)
②如图(9),AB∥CD,∠A=∠C,试判断AD与BC的位置关系?为什么?
教师根据学生情况酌情给予引导.
考点5
平移、命题与定理
(1)图形平移时,连接对应点有什么关系?
(2)如何确定图形平移的方向和平移的距离?
(3)能用平移设计一些图案.
命题的组成.
①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
②命题的形成，可以写成“如果……，那么……”的形式。
真命题与假命题：
教师出示问题：
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果a＞b.b＞c那么a=b
如果两个角互补，那么它们是邻补角.
3、尝试反馈理解新知
明确命题有正确与错误之分：
命题的正确性是我们经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，作为真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
四、例题精析
例1
【题干】
如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2满足什么关系，a∥b，请说明理由．
【答案】解：∠1+∠2=180°，则a∥b．
∵∠1=∠3，∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
【解析】要判定a∥b，根据同旁内角互补，两直线平行可知，∠2+∠3=180°，又由对顶角相等得∠1=∠3，故∠1与∠2的关系可求．
例2
【题干】
已知如图所示，B，A，E在一条直线上，∠1=∠B，问∠C与∠2相等吗？为什么？
【答案】解：∠C=∠2，理由如下：
∵∠1=∠B；
∴AD∥BC，
∴∠2=∠C．
【解析】先根据平行线的判定，同位角相等得两直线平行，再根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等求证．
例3
【题干】
观察如图所示图形，若使AD∥BC，需添加什么条件？从同位角，内错角，同旁内角三个方面各举一个例子即可．
【答案】解：同位角：∠EAD=∠EBC，则AD∥BC；
内错角：∠ADB=∠DBC，则AD∥BC；
同旁内角：∠DAF+∠ABC=180度，则AD∥BC．
【解析】从AD、BC的截线入手，分析所构成的“三线八角”图形中各角的位置关系，利用平行线的判定方法解答．
例4
【题干】
如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO=α，∠DCO=60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°- B．120°- C．60+ D．60°-
【答案】D．
【解析】连接BC，由AB∥CD可以推出∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD=180°，而∠CBO+∠BCO+∠0=180°，由此可以证明∠0=∠ABO+∠DCO．
解：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD=180°，
而∠CBO+∠BCO+∠0=180°，
∴∠0=∠ABO+∠DCO=60°+．
故填空答案：60+．
例5
【题干】
下列语句不是命题的是( )．
A．两条直线相交只有一个交点 B．两点之间，线段最短
C．熊猫没有翅膀． D．连接A、B两点
【答案】D．
【解析】判断一件事情的语句叫做命题，而四个选项，只有选项D不是判断性的语句，因此选项D不是命题
例6
【题干】
将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出该命题的题设和结论．
（1）同角的补角相等；
（2）在同一个平面内不平行的两条直线必定相交．
【答案】（1）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．题设：两个角是同一个角的补角，结论：这两个角相等．
（2）在同一个平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线一定相交．题设：在同一个平面内，两条直线不平行，结论：这两条直线一定相交．
【解析】解这类题的关键是，善于分辨清命题的条件和结论，会用“如果……，那么……”的形式表示命题．
例7
【题干】
下列说法正确的有( )．
①若线段，则线段可以看作是由线段平移得到的
②若线段，则线段可看作是由线段平移得到的
③若且，则线段平移后得到线段
④平移得到的图形大小不变，而形状和位置可能变化
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【解析】本题考查平移的概念及其与平行线的关系．图形的平移涉及平移的方向与距离两个要素．据此可以判断：①的说法不正确，因为不知道线段，是否平行；②的说法也不正确，因为线段，平行，但长度未必相等；③的说法正确，因为线段，既平行，且长度相等；④的说法不正确，因为平移前后的两个图形，形状与大小不变．所以答案应为D．
例8
【题干】
下列说法中，正确的说法有( )．
①平移三角形ABC得到三角形，对应线段一定相等；②平移三角形ABC得到三角形，对应线段一定平行；③平移三角形ABC得到三角形，三角形的周长保持不变；④平移三角形ABC得到三角形，对应边中点所连线段的长等于平移的距离；⑤平移三角形ABC得到三角形，三角形的面积不变．
A．①②③④ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤
【答案】D．
【解析】因为平移不改变图形的形状和大小，据此可知，平移三角形ABC得到三角形后，其对应线段、周长和面积均保持不变，因此①③⑤都正确．而图形平移后，其对应线段要么平行，要么在一条直线上，因此②错误．因为图形的平移是图形上所有点的平移，所以平移三角形ABC得到三角形，对应边中点也一道平移了相同的距离，④正确．本题答案应选D．
例9
【题干】
如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E=∠3，求证：AD平分∠BAC．
【答案】证明：∵EG⊥BC，AD⊥BC，
∴AD∥EG，
∴∠3=∠1，∠E=∠2；
∵∠3=∠E，
∴∠1=∠2，
∴AD平分∠BAC．
【解析】求证AD平分∠BAC，即证∠1=∠2．根据题意易证AD∥EG，由平行线的性质结合∠E=∠3可得结论．
例10
【题干】
如图所示，想在河堤两岸塔建一座桥，搭建方式最短的是 ，理由 ．
【答案】解：因为PN⊥MQ，垂足为N，则PN为垂线段，根据垂线段最短，故填空为：PN，垂线段最短．
【解析】根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短可知搭建方式最短的是PN，理由垂线段最短．
例11
【题干】
如图所示，∠ACB=60°，∠ABC=50°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，EF经过O点且平行于BC，则∠BOC= 度．
【答案】解：∵∠ACB=60°，∠ABC=50°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=30°，
又∵EF经过O点且平行BC，
∴∠EOB=∠OBC=25°，∠FOC=∠OCB=30°，
而∠EOF是平角即180°，
∴∠BOC=180°-∠EOB-∠FOC=180°-25°-30°=125°，
则∠BOC=125°．
故填空答案：125．
【解析】由∠ACB=60°，∠ABC=50°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线可以得到∠OBC、∠OCB的度数，又因为EF经过O点且平行BC，所以根据平行线性质可以求出∠EOB，∠FOC，而∠EOF是平角即180°，所以可以求出∠BOC．
课程小结
1、本节课重点归纳：
（1）了解对顶角、邻补角、补角等有关的概念，知道等角的余角相等、对顶角相等
（2）了解垂线、垂线段的概念，会利用三角板或量角器过平面内作图形
（3）了解平行的概念，知道平行公理及推论
（4）掌握好三线八角
（5）了解命题的概念，能判断简单的真、假命题
（6）了解平移的性质，并会作简单的平移图形，并掌握平移的性质
2、本章的关键点：
（1）利用垂直公理、平行公理及推论、平行线的性质及判定进行简单的推理，及求一些角度的度数
（2）正确理解并掌握基本概念，会写推理的过程，善于归纳总结
（3）平行线的性质和判定
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