江苏省丹阳市八中九年级数学《第10课时 一元二次方程及其解法（直接开平方法）》教学案.doc

江苏省丹阳市八中九年级数学第10课时 一元二次方程及其解法（直接开平方法）教学案一、教学目标： 1、知识目标：经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。2、能力目标：了解一元二次方程的概念和它的一般形式ax2+bx+c= 0（a0），正确理解和掌握一般形式中的a0，“项”和“系数”等概念；会根据实际问题列一元二次方程；会用直接开平方法法解一元二次方程。3、情感目标：体会转化的思想方法。二、教学重点：正确理解和掌握一般形式中的a0，“项”和“系数”等概念；会用直接开平方法法解一元二次方程三、教学难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系，会用直接开平方法解一元二次方程。四、教学类型：新授。五、教学过程：一、 做一做：1问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程 x(x10)900整理可得 x210x900=0.（1）2问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1x）倍，即5（1x）(1x)5(1x)2万册.可列得方程 5（1x）复备区2=7.2,整理可得 5x210x2.2=0.（2）3思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2二、 一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：ax2bxc0(a、b、c是已知数，a0)。 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。.三、 例题讲解与练习巩固1例1：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。（1） （2） （3） （4） 2例2：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：1） 2）（x-2）(x+3)=8 3） 说明：一元二次方程的一般形式（0）具有两个特征：一复备区是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。3例3： 方程（2a4）x2 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？本题先由同学讨论，再由教师归纳。4例4：已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。5练习：1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 2x(x-1)=3(x-5)-4 2、关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？3、课本第81页练习四、思考：如何解方程呢？分析：由平方根的定义可知即此一元二次方程两个根为。我们把这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。说明：形如方程可变形为 的形式，即方程左边是关于x的一次式的平方，右边是一个非负常数，可用直接开平方法解此方程。方程的两根分别用表示。思考：形如的方程的解法。说明：（1）解形如的方程时，可把看成整体，然后复备区直开平方程。（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数，（3）如果变形后形如中的K是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。（4）如果变形后形如中的k=0这时可得方程两根相等。五、例题讲解：例5、解下列方程 ：（1） （2）分析：用直接开平方法求解变式1：解方程例6：解下列方程（1）（x1）240； （2）12（2x）290.说明：（1）中只要把看作一个整体，就可以转化为（0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。练习：练习一 解下列方程：（1）x2169；（2）45x20； （3）12y2250； （4）4x2+160练习二 解下列方程：（1）（x2）2160 （2）(x1)2180；复备区（3）(13x)21；（4）(2x3)2250本课小结：1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式为（0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。4、对于形如（a0,a0）的方程，只要把看作一个整体，就可转化为（n0）的形式用直接开平方法解。 5、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。第10课时 一元二次方程及其解法（直接开平方法）学案一、 做一做：1问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？2问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.3思考、讨论：这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）_;（2）_;（3）_。二、 一元二次方程的概念：上述两个整式方程中都只含有_，并且未知数的_，这样的方程叫做一元二次方程。通常可写成如下的一般形式：ax2bxc0(a、b、c是已知数，a0)。 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。.三、 例题讲解与练习巩固1例1：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。（1） （2） （3） （4） 2例2：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：1） 2）（x-2）(x+3)=8 3） 3例3： 方程（2a4）x2 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？4例4：已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。5练习：1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 2x(x-1)=3(x-5)-4 2、关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？3、课本第81页练习四、思考：如何解方程呢？思考：形如的方程的解法。五、例题讲解：例5、解下列方程 ：（1） （2）分析：用直接开平方法求解变式1：解方程例6：解下列方程（1）（x1）240； （2）12（2x）290.练习：练习一 解下列方程：（1）x2169；（2）45x20； （3）12y2250； （4）4x2+160练习二 解下列方程：（1）（x2）2160 （2）(x1)2180； （3）(13x)21； （4）(2x3)2250