弹性力学-等截面直杆的扭转(例题习题详解)(课堂PPT).ppt

第七章 等截面直杆的扭转,要点：,（,1,）等截面直杆扭转问题的基本方程,扭转应力函数,（,2,）按应力求解扭转问题的方法,（,3,）扭转问题薄膜比拟理论,7-1,扭转问题中应力和位移,7-2,扭转问题的薄膜比拟,7-3,椭圆截面的扭转,7-4,矩形截面杆的扭转,7-5,薄壁杆的扭转,7-6,扭转问题的差分解,主 要 内 容,7-1,扭转问题中应力和位移,问题：,（,1,）等截面直杆，截面形状可以任意；,（,2,）两端受有大小相等转向相反的扭矩,M,；,求：杆件内的应力与位移？,1.,扭转应力函数,求解方法：,按应力求解；,半逆解法,由材料力学中某些结果出发，求解。,（,3,）两端无约束，为自由扭转，不计体力,；,材料力学结果：,（,1,）,（自由扭转）,（,2,）,侧表面：,（,7-1,）,扭转问题的未知量：,为三向应力状态，且不是轴对称问题。,扭转问题的基本方程,平衡方程：,（,8-1,）,将式（,7-1,）代入，得：,（,a,）,扭转问题的平衡方程,相容方程：,相容方程：,（,9-32,）,扭转问题的相容方程,（,c,）,边界条件：,（,1,）侧面：,（,2,）端面：,（,n=0,）,（,b,）,（,d,）,（,e,）,（,f,）,（,a,）,（,b,）,扭转问题的相容方程,平衡方程,基本方程的求解,由式（,a,）的前二式，得,二元函数,由式（,a,）的第三式，得,由微分方程理论，可知：一定存在一函数,（,x,，,y,），使得：,于是有：,（,7-2,）,（,x,，,y,）,扭转应力函数,也称普朗特尔,(Prandtl),应力函数,（,7-2,）,（,b,）,扭转问题的相容方程,将式（,7-2,）代入相容方程（,b,），有,（,7-3,）,由此可解得：,用应力函数表示的相容方程,式中：,C,为常数。,结论：,等直杆的扭转问题归结为：,按相容方程（,7-3,）确定应力函数,（,x,，,y,），然后按式（,7-2,）确定应力分量，并使其满足边界条件。,定解条件,边界条件,（,1,）侧表面：,（,8-5,）,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,将,、,l,、,m,代入上述边界条件，有,（,7-2,）,又由式（,7-2,），应力函数,差一常数不影响应力分量的大小，,表明：,在杆件的侧面上（横截面的边界上），应力函数,应取常数。,（,7-4,）,扭转问题的定解条件之一。,对于,多连体（空心杆）,问题，,在每一边界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此，只能将其中的一个边界上取,s,=,0,，而其余边界上则取不同的常数，如：,于是对,单连体（实心杆）,可取：,C,i,的值由,位移单值条件,确定。,（,2,）上端面：,（,8-5,）,0,0,0,0,0,0,0,0,由圣维南原理转化为：,（,c,）,（,d,）,（,e,）,（,c,）,（,d,）,（,e,）,对式（,c,），应有,同理，对式（,d,），应有,对式（,e,）：,分部积分，得：,同理，得：,将其代入式（,e,）：,得到：,（,7-5,）,结论：,等直杆的扭转问题归结为解下列方程：,（,7-3,）,泛定方程：,定解条件：,（,7-4,）,（,7-5,）,应力分量：,（,7-2,）,2.,扭转的位移与变形,由物理方程，得：,再几何方程方程代入，有,（,f,）,积分前三式，有,代入后三式，有,又由：,得：,从中求得：,代入,f,1,、,f,2,和,u,、,v,得：,其中：,u,0,、,v,0,、,x,、,y,、,z,和以前相同，代表刚体位移。,若不计刚体位移，只保留与变形有关的位移，则有,（,7-6,）,将其极坐标表示：,由,将式（,7-6,）代入，有：,由此可见：,对每个横截面（,z,=,常数）,它在,x y,面上的投影形状不变，而只是转动一个角度,=,K,z,。,K,单位长度杆件的扭转角,。,（,7-6,）,将其代入：,有：,将两式相减，得：,（,7-7,）,（,7-8,）,将其对照式（,7-3,）：,（,7-3,）,可见：,（,7-9,）,实际问题中，,K,可通过实验测得。,T,7-2,扭转问题的薄膜比拟,1.,薄膜比拟概念,比拟的概念：,如果两个物理现象，具有以下相似点：,（,1,）泛定方程；,（,2,）定解条件；,则可舍去其物理量本身的物理意义，互相求解确定。,扭转问题的薄膜比拟,：,由普朗特尔（,Prandtl.,L.,）提出,薄膜在均匀压力下的,垂度,z,，与等截面直杆扭转问题中的,应力函数,，,在数学上相似（泛定方程相似、定解条件相似）。,z,因此，可用求薄膜垂度,z,的方法来解等截面杆扭转问题。这种方法，,扭转问题的薄膜比拟方法,。,为扭转问题提供了一种,实验方法,2.,薄膜比拟方法,z,T,设一均匀薄膜，张在水平边界上，水平边界与某受扭杆件截面的边界具有相同的形状和大小，薄膜在微小的均匀压力下，各点发生微小的,垂度,z,。,有关薄膜假定：,不能受,弯矩,、,扭矩,、,剪力,作用，只能受,张力,T,（单位宽度的拉力）作用。,2.,薄膜比拟方法,方法说明：,取薄膜的一微小部分（,abcd,矩形），其受力如图，,ab,边上拉力：,ab,边上拉力在,z,轴上投影：,cd,边上拉力：,cd,边上拉力在,z,轴上投影：,ad,边上拉力：,ab,边上拉力在,z,轴上投影：,bc,边上拉力：,bc,边上拉力在,z,轴上投影：,z,T,在,z,方向上外力：,两边同除以,dxdy,，整理得：,或：,（,7-7,）,边界条件：,（,7-11,）,对于均布压力，有：,式（,7-7,）和（,7-11,）变为：,（,a,）,z,T,（,a,）,另一方面，扭转问题有：,（,7-8,）,（,7-4,）,将式（,7-8,）、（,7-4,）改写为：,（,b,）,比较式（,a,）、（,b,）可见：,当薄膜与扭杆横截面具有相同的边界时，变量：,与,决定于同样的微分方程与边界条件，因而，两者应有相同的解答。并有：,（,c,）,z,T,3.,扭矩,M,、截面上的剪应力与薄膜体积、斜率的关系,薄膜与边界平面间的体积为：,由式（,c,）,:,（,c,）,得到,:,代入上式，有,:,由式（,7-5,）：,得到：,（,d,）,或,扭矩,M,与薄膜体积的关系,截面剪应力与薄膜斜率的关系,z,T,由,可得：,其中：,薄膜垂度,z,沿,y,方向的斜率。,（,e,）,（,f,）,结论：,当薄膜受均布压力,q,作用时，使得：,则得：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,z,T,结论：,当薄膜受均布压力,q,作用时，使得：,则得：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,由于,x,、,y,轴方向是可以取在扭杆横截面上任意两互相垂直的方向，因而可得到如下推论：,（,1,）在扭杆横截面的某一点处，沿任一方向的剪应力，就等于该薄膜在该点处沿垂直方向的斜率。,（,2,）扭杆横截面的最大剪应力，等于该薄膜的最大斜率。,注：,最大剪应力的,方向,，与该薄膜的,最大斜率的方向垂直,。,7-3,椭圆截面的扭转,x,y,O,a,b,1.,问题的描述,椭圆截面直杆：,长半轴为,a,，,短半轴为,b,，,受扭矩,M,作用。,求：杆中的应力与位移。,2.,问题的求解,求应力函数,根据：,（,7-4,）,及椭圆截面方程：,可假设：,（,a,）,（,b,）,式中：,m,为待定常数。将其代入方程（,7-3,）：,得到：,（,c,）,利用方程（,7-5,）：,x,y,O,a,b,（,c,）,利用方程（,7-5,）：,（,d,）,式中：,代入式（,d,）,有：,可求得：,（,e,）,x,y,O,a,b,（,e,）,（,c,）,将其代入式（,e,）,得：,（,f,）,至此，,满足所有的条件：,（,7-4,）,（,7-3,）,（,7-5,）,求剪应力,（,1,）剪应力分量：,（,7-12,）,（,2,）合剪应力：,（,7-13,）,求剪应力,（,1,）剪应力分量：,（,7-12,）,（,2,）合剪应力：,（,7-13,）,（,3,）最大、最小剪应力：,对上式求极值，当,x,y,O,a,b,A,B,C,D,（,7-14,）,当,a,=,b,时，与材料力学中圆截面结果相同。,求杆的形变与位移,x,y,O,a,b,A,B,C,D,由,得到：,（,7-15,）,杆件单位长度的扭转角,单位长度的扭转角,位移分量,由,（,7-6,）,（,7-16,）,（,7-7,）,可求得：,由式（,7-7,）和式（,f,）,:,（,f,）,x,y,O,a,b,A,B,C,D,比较两式，得：,对其分别积分，得：,式中：,w,0,为常数，代表刚体位移。,若不计刚体位移，则有：,（,7-17,）,表明：,扭杆的横截面并不保持平面，而翘曲成曲面。,曲面的等高线在,xy,面上的投影为双曲线，其渐近线为,x,、,y,轴。,仅当,a=b,时（圆截面杆），才有,w,=0,，横截面保持平面。,7-4,矩形截面杆的扭转,y,x,O,A,a/,2,a/,2,1.,问题：,图示矩形截面杆：,a,、,b,、,M,（,1,）,（,2,）,两种情形：,a,b,；,求：杆的应力与位移。,2.,问题的求解,（,1,）,a,b,情形：,狭长矩形,一般情形；,求应力函数,a,b,，,由薄膜比拟可以推断，,应力函数,绝大部分截面几乎不随,x,变化，即不受短边约束的影响，对应的薄膜几乎为一柱面。,可以近似地取：,而：,变为：,对上式积分，有,利用边界条件：,y,x,O,A,a/,2,a/,2,可求得：,（,a,）,利用式（,7-5,）：,积分求得：,（,b,）,（,c,）,求剪应力,（,1,）剪应力分量：,（,7-18,）,（,2,）最大剪应力：,（,7-19,）,y,x,O,A,a/,2,a/,2,杆件的变形,单位长度扭转角：,由式（,7-9,）：,（,7-20,）,此时应力函数,可表示为：,（,d,）,（,2,）任意情形（,a,/,b=,任意值,）：,求应力函数,基本方程与边界条件：,此时应力函数,为一般函数：,求解思路：,对狭长矩形结果，进行修正。,将,分解成两部分，即：,其中：,1,为狭长矩形的应力函数，即：,（,e,）,（,f,）,（,g,）,y,x,O,A,a/,2,a/,2,（,g,）,调整函数,F,，使其满足边界条件：,将式（,g,）代入方程：,得到：,因为：,有：,（,h,）,表明：,F,应为一,调和函数,。,原问题转化为：,（,i,）,由问题的对称性，,F,应为,x,、,y,的偶函数。,满足上述条件的函数只能是：,（,j,）,y,x,O,A,a/,2,a/,2,将式（,j,）代入式（,i,）第二式，得：,原问题转化为：,（,i,）,满足上述条件的函数只能是：,（,j,）,将上式右边为,级数，,并比较两边系数，有,y,x,O,A,a/,2,a/,2,代入函数,F,，有,最后确定应力函数,为：,（,k,）,求最大剪应力：,y,x,O,A,a/,2,a/,2,由薄膜比拟可以断定，最大剪应力发生在矩形横截面长边的中点（如点,A,：,x,=,0,y,=,b,/,2,）,其大小为：,（,l,）,单位长度扭转角,K,：,应用式（,7-5,）：,（,m,）,代入式（,l,）,得最大剪应力公式：,y,x,O,A,a/,2,a/,2,（,n,）,将上述两公式表示成：,（,7-21,）,（,7-22,）,式中：,、,1,仅与,a/b,有关。,扭转问题解题小结：,（,1,）,求应力函数,（,7-3,）,（,7-4,）,（,7-5,）,由式（,7-4,）及边界的几何形状设定应力函数,，然后由式（,7-3,）、（,7-5,）确定待定常数。,对多连体截面杆：,（,7-3,）,（,7-4,）,（,7-5,）,其中：,（,1,）,A,i,为第,i,个内边界所围的面积,;,（,2,）,i,为,第,i,个内边界的值,;,（,3,）,求变形与位移,单位长度扭转角：,（,7-9,）,位移分量：,（,7-6,）,（,7-7,）,（,2,）,求应力分量和最大剪应力,（,7-2,）,合剪应力：,例：,图示空心圆截面杆件，外半径为,a,，内半径为,b,，试求其扭转剪应力及位移。,解：,求应力函数,a,b,x,y,为使,在外边界上的值为,零,，内边界上的值为,常数,，可取：,（,1,）,由端部边界条件式（,7-5,）,得：,于是，得,（,2,）,a,b,x,y,（,3,）,求剪应力,（,4,）,（,5,）,求变形与位移,单位长度扭转角：,a,b,x,y,位移分量：,（,7-6,）,（,7-7,）,由：,刚体位移,由于变形引起的轴向位移：,即,平面保持平面假设成立,。,7-5,薄壁杆的扭转,1.,开口薄壁杆件扭转,分类：,（,1,）,开口薄壁杆件；,（,2,）,闭口薄壁杆件。,仅讨论其,自由扭转,。,假定：,（,1,）由于杆件壁厚,b,很薄，可近似视其为狭长矩形的组合；,（,2,）曲的狭长矩形与同长度、宽度的直狭长矩形差别不大。,扭转剪应力与变形：,设,a,i,、,b,i,分别为扭杆横截面的第,i,个狭长矩形的长度和宽度，,M,i,为为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），,i,代表该 矩形长边中点附近的剪应力，,K,代表该扭杆的单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有,扭转剪应力与变形：,设,a,i,、,b,i,分别为扭杆横截面的第,i,个狭长矩形的长度和宽度，,M,i,为为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），,i,代表该 矩形长边中点附近的剪应力，,K,代表该扭杆的单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有该 矩形长边,中点附近的剪应力,及,杆件的扭转角,：,（,a,）,（,b,）,由式（,b,）得：,（,c,）,整个横截面上的扭矩为：,（,d,）,比较式（,c,）与式（,d,），有：,将上式代回式（,a,）（,b,），有：,（,7-23,）,（,7-24,）,由于每个狭长矩形的扭转角相同，所以整个横截面的,抗扭刚度,为：,说明：,（,1,）式（,7-23,）给出的狭长矩形中点处的应力值精度较高；但两个狭长矩形的连接处误差较大，可能发生远大于中点处的应力。,应力集中。,（,2,）连接处应力随连接圆角的半径,而变化，图中给出,胡斯（,J.H.Huth,）,用差分法计算得到的结果。,2.,闭口薄壁杆件扭转,扭转剪应力：,由薄膜比拟方法分析。,方法说明：,在薄壁杆横截面的外边界上张一薄膜，使得薄膜在外边界上的垂度为零；,为使薄壁杆横截面的内边界上的垂度为常量，假想在薄膜上粘一无重不变形的平板，平板的大小、形状与横截面的内边界相同；,由于杆壁的厚度 很小，可以预料，沿壁的厚度方向薄膜的斜率可视为常量，如图所示。,于是，杆壁厚度为 处的剪应力大小（等于薄膜的斜率）为：,（,e,）,由杆横截面上的扭矩,M,与薄膜、杆横截面所围的体积间关系，有：,（,f,）,式中：,A,为横截面内外界所围面积的平均值。,由此得：,将其代入式（,e,），有：,（,7-25,）,（,7-25,）,显然，其最大值发生在壁厚最小处，即：,扭转变形,单位长度扭转角,K,考虑平板,CD,的平衡：,在杆壁中线取一微小长度,ds,，该微段薄膜对平板的拉力为：,Tds,，它在,z,轴方向的投影：,平板所受的压力（,z,轴方向）为：,由,z,轴方向力的平衡，即,由式（,f,）可得：,而：,由此可得：,因而，可求得：,（,7-26,）,对于均匀厚度的闭口薄壁杆，,为常驻量，上式即变为：,（,7-27,）,式中：,s,为杆壁中线的全长。,说明：,（,1,）在截面的凹角处，局部的最大应力,max,可能发生远大于 式（,7-25,）给出的应力值。,（,2,）局部最大应力随凹角处的圆弧半径,的增大而减小。,杆的抗扭刚度,：,小结：,（,1,）开口薄壁杆件：,（,7-23,）,（,7-24,）,剪应力：,单位长度扭转角：,抗扭刚度：,（,2,）闭口薄壁杆件：,剪应力：,（,7-25,）,单位长度扭转角：,（,7-26,）,（,7-27,）,抗扭刚度：,对于均匀厚度的闭口薄壁杆：,对于均匀厚度的闭口薄壁杆：,例：,如图所示，开口和闭口薄壁杆件，两者的壁厚相同，试比较受扭时的剪应与抗扭刚度。,解：,（,1,）开口薄壁杆件,剪应力：,由式（,7-23,）：,得：,抗扭刚度：,由式：,（,2,）闭口薄壁杆件,剪应力：,由式（,7-25,）：,由式（,7-25,）：,抗扭刚度：,（,3,）两者比较：,剪应力：,设：,抗扭刚度：,可见：,对于截面积大致相同的两种薄壁杆，开口剪应力是闭口的,15,倍；,闭口的抗扭刚度是开口的,75,倍；,结论：开口薄壁杆件比闭口薄壁杆件的抗扭能力差。,作业：,74,作业：,71,选做：,72,