江苏省金湖县实验中学八年级数学《频率与机会》教案.doc

频率与机会

［学习内容］
（一）在实验中寻找规律：
1. 统计并思考：在抛硬币的实验中，抛掷多次后，出现正面和反面的次数有何规律性？
实际上，在硬币抛掷实验中，多次重复后，会发现：出现正面和反面的次数均大致为总抛掷次数的一半，如果将硬币换成另外的东西，例如酒瓶盖等，也能得到相同的结果。
但是否是已知前面1000次的结果，就能预测第1001次的抛掷结果呢？
答案是否定的，因为：无论前面怎样抛，第1001次都不会受其影响，其出现正面、反面的概率仍各为1/2。
2. 统计并思考：如果抛两枚硬币，同时出现正面的可能性是多大？
实际上，经过多次实验，发现：同时抛两枚硬币，同时出现正面的可能性为1/4。而同时出现反面的可能性也为1/4。出现一正一反的可能性为1/2。如果已知前面的1000次抛两枚硬币的实验结果，是否也能估计第1001次的抛掷结果呢？
答案也是否定的，因为前面1000次的抛掷对第1001次实验不产生任何影响，因而第1001次抛掷仍是未知的。
3. 在转盘实验中，实际上两个转盘中指针停在蓝色的区域的机会是一样大，因为指针转动着的是角度，而与面积无关，此处设计的是两个面积不等，但蓝色所占角度一样多的转盘，因而机会均等。
例1. 在一个不透明的袋中有大小相同的4个小球，其中2个白球，1个红球，1个蓝球，每次从袋中取出一球，放回搅匀再摸，得数据如下：
（1）将数据表填完整；
（2）观察：随着实验次数增加，出现红球的频率_________________________。
解：（1）上排答案分别是18、60、72
下排答案应分别是：20%、25.8%、23.9%、26.2%、24.1%
（2）由于每次摸出的结果是随机的，无法预测的，但随着实验次数的增加，隐含规律逐渐呈现，事件出现频率将达到一稳定值，可知出现红球的概率会稳定，大致在25%左右。

例2. 准备10张小卡片，上面分别写上数字1到10，将卡片放回后，抽取一张，放回后洗匀再抽。
（1）将实验数据填入表格；
（2）从上表中发现出现3的倍数的频率有何特点？
（3）这十张卡片上的10个数字中，共有一个数是3的倍数，占整个卡片张数的______。你能据此解释上述发现的现象吗？
解：（1）由于每个同学的实验是随机的，因而数据自己填写。
（2）出现3的倍数的频率逐渐稳定在30%左右。
（3）3、3/10，出现3的倍数的机会是3/10，当实验次数很大时，出现3的频率应非常接近30%。
说明：由例1、例2可知：可以由多次实验来估计某一事件在实验中出现的频率。

（二）用频率估计机会的大小
1. 研究钉尖触地的机会：
如果研究图钉钉尖触地机会大小，必须多次重复实验，因为：
（1）通过实验的方法来估计机会大小，必须要在同种条件下实验；
（2）在相同条件下，实验次数越多，估计值越准。
在经过多次实验后，分析数据，发现：钉尖触地的机会大约为46.0%。

例3. 对下列说法谈谈你的看法：
（1）某班推荐一位同学参加青年志愿者活动，小王、小李、小赵争着去，最后只能抽签决定，三人又争着抽，认为第一人抽中的可能性较大。
（2）买一张22选5的体彩，有两种可能：中与不中，故买彩票中奖机会是1/2。
（3）父亲用家中电话号码买彩票，连买9期未中，我劝他别改号码，其他号码均未使用，而此号已用9次，中奖机会较大。
解：（1）错误，三人抽中的机会均等，与谁先抽无关。
（2）错误，一次实验的结果无法预测，因而不能用一次的结果来估计事件发生的机会。
（3）错误，每期开奖前，每个号码中奖机会均等，与是否买过无关。
2. 数字之积为奇数与偶数的机会：
抛掷两枚普通骰子，出现数字之积为奇数与出现数字之积为偶数的机会分别是多少？
此处可进行多次实验，由实验得到结果，但也可作如下分析：
要得结果为奇数，必然使得所掷的结果为奇数与奇数。而一枚骰子中奇数共有3个，占其可能性的1/2，因而此种题目可转化为抛两枚硬币，得到两个正面的可能性问题，因而相乘为奇数之可能性为1/4。

例4. 在一个不透明的袋中有大小相同的3个小球，白球、红球、蓝球各一个，每次取出一个，然后放回再摸。问：从中任选一球，选中蓝球的机会有多大？选中红球的机会多大？选中白球的机会有多大？三种机会之和是多大？
解：恰好选中红球的机会为1/3，恰好选中白球的机会为1/3，恰好选中蓝球的机会也是1/3，3种机会之和为1。

例5. 准备10张扑克牌，9个黑桃一个红桃，每次抽一张，记录结果，放回洗匀再抽。
（1）从中任意抽取一张牌是红桃的机会是多少？
（2）抽取一次一定不会抽到红桃吗？为什么？
（3）抽取10次一定会抽到红桃吗？为什么？
解：（1）从中任取一张，得红桃的机会是1/10。
（2）抽取一次可能得到红桃，因为每一次的结果是随机的，无法预测，但可能性不是很大。
（3）抽取10次可能抽到红桃，但并非一定能抽到。因为每次抽到红桃的机会是1/10，有可能几次抽到，但也可能从未抽到，因为每次抽取是不受前一次影响的。

（三）模拟实验：
1. 用替代物模拟实验：
（1）在“抛硬币”的实验中，如果没有硬币，该怎样办？
（2）在“掷一颗均匀骰子”的实验中，如果没有骰子，该怎么办？
实际上：（1）抛硬币的实验主要是取抛硬币的结果只有两种可能，而且两种可能是均匀的，如果无硬币，也可找替代物，如酒瓶盖，在一个口袋中装两个除颜色不同的小球等作实验器材均可以。
（2）“掷骰子”实验中，主要取的是骰子有六面，而且每面朝上是等可能的，因而也可采取找替代物的方法，可采用一个口袋中放6种颜色的大小相同的球，采用摸球的方法来做实验。
很多情况下，只要大致估计清楚出现可能性的大小，由一些简单，易得到的器材仍然可以得到相应的实验数据。
2. 用计算器模拟实验：
某彩票投注方式如下：
你可以从1~35中选出7个号码组成一注投注号码，中奖号码只有一个，只要你选中7个号码中有一个与中奖号码相同即可获奖，此时中奖机会是多大？
这个实验中，可以先随机找到7个中奖号码，然后再在35个号码中抽取一组号码，由实验可得，每次实验中奖可能性均在20%左右，因为：已抽取7个号码，每次抽取的号码均可能是其中一个即为

例6. 准备40张小卡片，上面分别写好数字1到40，然后将卡片放在袋子里搅匀，每次从中取出一张卡片，放回后搅匀，研究恰好抽取的数是11的倍数的机会，若用计算器模拟，则要在__________到___________范围内产生随机数，若产生的随机数是__________，则代表抽取的数是11的倍数，否则不是。
解：范围是1到40
只有产生的数是11、22、33，可能说明抽出的数是11的倍数。

例7. 抽屉中有尺码相同的4双黑袜子和一双白袜子混放在一起，随意取出2只。
（1）估计恰好是一双的可能性有多大？
（2）在进行模拟实验中，若用黑球代替黑袜子，白球代替白袜子，应需两种球各几个？
（3）若用小球模拟实验，有一次摸出2个黑球，但忘记放回，影响结果吗？为什么？
解：（1）5双袜子共10只，从中每次取出2只，共有45种可能，所以从中拿出2只袜子恰好为1双的可能性为5/45，即为1/9。
（2）因为黑袜子共8只，白袜子共2只，在进行模拟时，为不影响结果，应取8个黑球，2个白球。
（3）当摸出2个黑球后，忘记放回，会影响结果，因为在剩下的8个球中摸出两个球同色的可能性为1/7，显然大于（1）中摸出2只袜子恰好为1双的可能性1/9，故而它影响结果。

［本课小结］
1. 在实验中观察某件事出现的频率时，无论采取哪种方法，都必须保证在相同条件下进行。
2. 用频率估计机会，得到的只是近似值，实验次数越大，频率之间的差异越小，估计越准。
3. 在实验时，可采用现代技术帮助模拟实验，这样，可使实验的结果更为准确。

【模拟试题】
1. 填空：
（1）事件出现的频率随着__________的增加，逐渐__________到某个数值，可以用平稳时的频率估计这一事件发生的可能性，即__________。
（2）抛一枚均匀骰子，出现点数是5的可能性是__________。
（3）分别从3个男生、4个女生中各选一名代表，每个男生当选的机会是__________，每个女生当选的机会是__________。
（4）一次抛掷一分、二分、五分的硬币各一枚，可能出现的结果是__________。

2. 解答题：
（1）检查某工厂的产品，结果如下：
抽查产品件数n
5
10
60
150
600
900
1200
1800
2400
次品数m
0
3
7
19
52
100
109
169
248
次品频率

（A）计算表中的次品频率；
（B）该厂出现次品的机会约是多少？
（2）在编号从1—100的100张卡片中，任取一张，预测卡片是5的倍数的机会是多少？卡片是13的倍数的机会是多少？并用实验的方法验证。
（3）某口袋中有4只红球、2只白球、1只黄球，这些球除颜色外完全相同，小明认为袋中共有三种颜色的不同的球，所以任意摸出一个，摸到红球、白球、黄球的机会一样大，正确吗？若不正确，你认为得到红球、白球、黄球的可能性是多大？

【试题答案】
1. （1）实验次数；稳定；机会
（2） （3）、 （4）8种
2. （1）（A）次品率依次为：0、、、、、、、、
（B）出现次品的机会约为0.1
（2）出现5的倍数的机会是20%，出现13的倍数的机会是。
（3）出现三种颜色的球的可能性不一样，因为各种球的数量不等，实际上：出现红球的可能性为，出现白球的可能性为，出现黄球的可能性为。