资源描述
本章热点专题训练
【知识与技能】
掌握本章知识，能熟练运用有关性质和判定，解决具体问题.
【过程与方法】
通过回顾和梳理本章知识了解与图形的相似有关的知识.
【情感态度】
在应用本章知识解决具体问题过程中提高学生分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】
相似图形的特征与识别，相似三角形的有关概念及相似的表示方法和相似比的概念.
【教学难点】
能熟练运用有关性质和判定解决实际问题.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识及之间的关系.
二、释疑解惑，加深理解
1.相似图形、相似多边形的概念：
我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形.
两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边长度的比叫做相似比或相似系数.
2.相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边长度的比相等.
3.比例的概念：
用同一长度单位去度量两条线段a、b，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作ab或a∶b.
4.比例的基本性质：
（1）基本性质：如果a/b=c/d，那么ad＝bc.（b、d≠0）
（2）合比性质：如果a/b=d/c，那么(a+b)/b=(c+d)/c.（b、d≠0）
（3）等比性质：a1/b1=a2/b2=…=an/bn，且b1+b2+…+bn≠0,那么(a1+a2+…an)/(b1+b2+…+bn)=a1/b1
5.黄金分割：
把一条线段分成两部分，其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割.分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值叫做黄金数.
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
6.平行线分线段成比例:
定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的线段对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似.
7.相似三角形的判定：
①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简称：两角分别相等的两个三角形相似.）
②如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.（简称：两边成比例且夹角相等的三角形相似.）
③如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似.（简称：三边成比例的两个三角形相似.）
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似.
8.相似三角形的性质：
①相似三角形对应边上的高的比等于相似比.
②相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
③相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
④相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
9.位似的概念：
一般地，如果一个图形G上的点A、B、C、…、P与另一个图形G′上的点A′、B′、C′、…、P′分别对应，且满足：
（1）直线AA′、BB′、CC′、…、PP′都经过同一点O.
（2）OA∶OA′=OB∶OB′=OC∶OC′=…=OP∶OP′=k，那么图形G与图形G′是位似图形，这个点O叫做位似中心，常数k叫做位似比.
利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小.
10.位似的性质：
一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形.
在平面直角坐标系中，如果一坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.
三、典例精析，复习新知
1.已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )
A.AM∶BM=AB∶AM
B.AM=AB
C.BM=AB
D.AM≈0．618AB
答案：C
2.若(a+b)/c＝(b+c)/a＝(a+c)/b=-m2，则m=_____．
【分析】分a＋b＋c≠0和a＋b＋c＝0两种情况．
答案：±1
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_____．
【分析】由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用△ABC∽△AED．
答案：10
（第3题图） （第4题图）
4.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD.求证：.
【分析】利用AC＝AF＋FC.
证明：∵EF∥BC，FG∥AD，
5.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证：
【分析】过F点作FG∥CB，只需再证GF＝DF.
方法一：作FG∥BC交AB延长线于点G.
∵BC∥GF，
∴ACBC＝AFGF.
又∠BDC＝90°，BE＝EC，
∴BE＝DE.
∵BE∥GF，
∴DF＝GF.
∴．
方法二：作EH∥AB交AC于点H．
∠BDC＝90°，BE＝EC，
∴BE＝DE.
∴．
6.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC交AC于点E，交BA的延长线于点D.
证明：（1）∵∠BAC=90°，M是BC的中点，
∴MA=MC， ∠1=∠C，
∵DM⊥BC， ∴∠C=∠D=90°-∠B，
∴∠1=∠D，
∵∠2=∠2，
∴△MAE∽△MDA，
∴，
∴MA2=MD·ME，
（2）∵△MAE∽△MDA，
【教学说明】通过典型例题，培养学生的识图能力和推理能力.
四、复习训练，巩固提高
1.如图，AB∥CD，图中共有对相似三角形.
答案：6
2.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则△ABC的面积是_____．
【分析】作EF∥BC交AD于F．设BE交AD于O点，先求出OD长和OB长，最后用勾股定理求出BD的长．
答案：144
（第2题图） （第3题图）
3.如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8cm，BC＝14cm，则
S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝_____．
【分析】延长BA，与CD的延长线交于P点，则△APD∽△EPF∽△BPC．
答案：20∶13.
4.已知C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC）， 则AC∶BC = ( )
A.（－1）︰2
B. （ +1）︰2
C.（3－）︰2
D.（3+）︰2
答案：B
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在BC边上取一点D，使BD＝BA，连接AD.求证：
（1）△ADC∽△BAC；
（2）点D是BC的黄金分割点.
证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝72°，∠CAD＝36°，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC；
（2）∵△ADC∽△BAC，
∴AC∶CD=BC∶AC，
∴AC2＝BC·CD，
∵AC＝AB＝BD，
∴BD2＝BC·CD，
∴点D是BC的黄金分割点.
6.如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿AO所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【分析】如右图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性质求解.
解：∵∠MAC=∠MOP=90°，
∠AMC=∠OMP，
∴△MAC∽△MOP．
∴MA∶MO=AC∶OP，
即MA/(20+MA)=1.6/8，
解得，MA=5米；
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，
∴小明的身影变短了5-1.5=3.5米．
【教学说明】解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题.
7.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D点作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：
（1）DG2＝BG·CG； （2）BG·CG＝GF·GH
证明：（1）DG为Rt△BCD斜边上的高，
∴Rt△BDG∽Rt△DCG．
∴CG∶DG＝DG∶BG，即DG2＝BG·CG．
（2）∵DG⊥BC，
∴∠ABC＋∠H＝90°，∴CE⊥AB．
∴∠ABC＋∠ECB＝90°．
∴∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB．
∴∠H＝∠ECB．
又∠HGB＝∠FGC＝90°，
∴Rt△HBG∽Rt△CFG．
∴BG∶GF＝GH∶GC，
∴BG·GC＝GF·GH．
8.如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EG、FG的长．
【分析】在△ABC中，根据平行线分线段成比例求出EG，在△BAD中，根据平行线分线段成比例求出EF，即可求出FG=EG-EF．
解：∵在△ABC中，EG∥BC，
∴EG∶BC=AE∶AB，
∵BC=10，AE=3，AB=5，
∴EG∶10=3∶5，
∴EG=6，
∵在△BAD中，EF∥AD，
∴EF∶AD=BE∶AB，
∵AD=6，AE=3，AB=5，
∴EF∶6=(5-3) ∶5
∴EF=12/5．
∴FG=EG-EF=18/5．
【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？
布置作业:教材“复习题A组”中第3、4、5、6、7题.
通过本节课的学习，使学生能够掌握用图形相似的有关知识解决实际问题.经过这些习题的练习，使学生能够将本章的内容很好地揉合的一起.
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