资源描述
课题：三角形内角和定理
l 教学目标：
知识与技能目标：
1．会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180o；
2．能用三角形内角和等于180o进行角度计算和简单推理，并初步学会利用辅助线解决问题，体会转化思想在解决问题中的应用．
过程与方法目标：
1．通过拼图实验、合作交流、推理论证的过程，体现“做中学”，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力，初步获得科学研究的体验；
2．掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力..
情感态度与价值观目标：
1．通过操作、交流、探究、表述、推理等活动，培养学生的合作精神，体会数学知识内在的联系与严谨性，鼓励学生大胆提出疑问，培养学生良好的学习习惯.
l 重点：
三角形内角和定理的证明及其简单的应用；
难点：
在三角形内角和定理的证明过程中如何添加辅助线.
l 教学流程：
一、 情境引入
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了……”“为什么？” 老二很纳闷.
同学们，你们知道其中的道理吗？
目的：通过对话激发学生的求知欲；让学生通过小组讨论：其中的道理．
二、 自主探究
探究1：
以前你用什么办法验证三角形内角和是180º
把三个角拼在一起试试看？
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?
目的：让学生通过小组讨论：有什么办法得到这个结论。学生会提出度量、或拼图的方法，引导学生做小学做过的剪纸实验，并带领学生一起撕下三角形的任意两个角，拼在第三个角的顶点处。观察拼图结果，发现三个角拼在一起刚好是一个平角，总结出拼图方法，为下一环节说理证明作好准备，通过学生动手操作，把抽象知识形象化、具体化，把学生直接带入新课的学习，并让学生知道数学知识来源于实践，让他们感受到学习的乐趣，增加他们学习数学的信心.
已知:如图∠A，∠B，∠C是 △ABC的内角.
求证:∠A+∠B+∠C=1800.
分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置，把
∠B移到了∠2的位置.
证明:作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB，则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等),
∠2= ∠B(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线
PQ∥BC(如图)，他的想法可以吗?
请你帮小明把想法化为实际行动.
证明:过点A作PQ∥BC，则
∠1=∠B(两直线平行，内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等),
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
例题讲解：
例1． 如图，在△ABC中， ∠B＝38°， ∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，
求∠ADB的度数
解在△ABC中，
∠B+∠C +∠BAC=180°(三角形内角和定理)，
∵ ∠B=38°， ∠C=62°（已知），
∴ ∠BAC=180°- 38 °- 62°=80°（等式的性质）
∵AD平分∠BAC（已知），
∴ ∠BAD=∠CAD =1/2 ∠BAC =40°(角平分线的定义)在△ADB中，
∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理)，
∵ ∠B=38°（已知）， ∠BAD=40°（已证），
∴∠ADB=180 °- 38°- 40°=102°（等式的性质）
做一做：
1、在△ABC中,∠A=35°，∠ B=43°， 则∠ C= .
2、在△ABC中,∠C=90°，∠B=50°，则∠A = .
3、在△ABC中, ∠A=40°，∠A=2∠B，则∠C = .
解：1、1020 2、400 3、1200
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线相交于点E，求∠AEB的度数．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°∴∠A+∠B=90°，
∵∠A、∠B的平分线相交于点E，
∴∠EAB+∠EBA= （∠A+∠B）= ×90°=45°，
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，
∴∠AEB=180°﹣（∠EAB+∠EBA）=180°﹣45°=135°
三、合作探究
探究2：
观察与思考：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
想一想：外角与相邻内角有什么特殊关系？
∠4+∠3=180°
想一想
1、每一个三角形有几个外角？
2、每一个顶点处相对应的外角有几个？
3、这些外角中有几个外角相等？
解：1、一个三角形共有6个外角.
2、三角形每个顶点处各有两个外角(互为对顶角).
3、这些外角中有3对外角相等
证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.
求证： ∠1= ∠2+ ∠3
证明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180°（三角形内角和定理）
∴∠2+ ∠3= 180°-∠4
又∵ ∠1+ ∠4= 180°
∴∠1 = 180°-∠4
∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换)
证明：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.
求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
证明:∵ ∠1 =∠2+ ∠3
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和）
∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论.
三角形内角和定理的推论
推论可以当作定理使用.
推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
做一做：
1．已知：如图，在△ABC中，外角∠DCA=100°, ∠A=45°。
求：∠B和∠ACB的大小.
解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知),
∴ ∠B= ∠DCA-∠A=100°-45°=55°
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵ ∠DCA+∠BCA=180°
∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
例题讲解：
例2：已知：如右图,在△ABC中， ∠B= ∠C ， AD平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.
分析：要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”, “内错角相等”或“同旁内角互补”.
证明:由证法1可得:∠DAC=∠C (已证)
∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理)
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换)
∴ AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)
这里是运用了定理“同旁内角互补，两直线平行”得到了证实.
例3：已知：如图， P是△ABC内一点，连接PB，PC.
求证：∠BPC＞∠ A
证明：如图，延长BP，交AC于点D.
∵ ∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义），
∴ ∠BPC＞∠ PDC （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义），
∴ ∠PDC＞∠ A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.
∴∠BPC＞∠ A．
四、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800
2、推论1：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2：
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
五、达标测评
1．△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
解：C
2．如图所示，AD、BC相交于O点，若∠A=35°，∠B=56°，∠D=46°，则∠C的度数是（ ）
A．31° B．45° C．41° D．55°
解：B
3．如图，若△ABC的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E，则图中与∠ICE一定相等的角（不包括它本身）有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：B
4．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20°，则此三角形的最小角等于（ ）．
解：40°
5．如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，
EF∥CD交AB于F，
求∠DEF的度数
解：∵△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，
∴∠ACB=50°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB=25°，
∵EF∥CD，
∴∠FEB=25°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEF的度数为：90°﹣25°=65°．
六、拓展延伸
1．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠EBC=32°，∠AEB=70°．
若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，
求∠BEF的度数．
解：分两种情况：
①当∠EFC=90°时，如图1所示：
则∠BFE=90°，
∴∠BEF=90°﹣∠EBC=90°﹣32°=58°；
②当∠FEC=90°时，如图2所示：
则∠EFC=90°﹣38°=52°，
∴∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=52°﹣32°=20°；
综上所述：∠BEF的度数为58°或20°．
七、布置作业
教材183题第1，2题.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
