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16.3分式方程
第一课时
教学目标
知识与技能
1．通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义。
2．通过观察、思考，归纳分式方程的概念。
3．解分式方程的一般步骤。
4．说出解分式方程验根的必要性。
过程与方法
1．通过具体例子，独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤。
2．进一步体会数学思想中的“转化“思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径。
情感态度与价值观
1．养成自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度。
2．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信心。
教学重点和难点
教学重点
1．解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法。
2．明确解分式方程验根的必要性。
教学难点
明确解分式方程验根的必要性。
教学方法
启发引导、小组讨论、合作探究
教学媒体
课件
教学过程设计
（一）复习及引入新课
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等。江水的流速为多少？
设：江水的流速为千米/时，则：轮船顺流航行速度为千米/时，逆流航行速度为千米/时，顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用的时间为小时。
经过分析得到问题的量为两个分式：、，
根据量间的关系列出方程：
思考
这个方程和我们以前所见过的方程有什么不同？
引出分式方程的概念。
（二）讲授新课，探索分式方程的解法
活动1
思考
分式方程的特征：分母中含有未知数。
这是与前面我们学习的整式方程的最大区别点。（整式方程的未知数不在分母中。）
在探讨分式方程的解法时，可联系一元一次方程的解法。
如：解方程
解：去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得：
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
由上述解法，我们自然会想到通过“去分母”实现把分式方程转化为整式方程。
“去分母”是将分式方程转化成整式方程的关键步骤。
解方程：
去分母，方程两边同时乘以各分母的最简公分母得
解得：
检验：将代入原方程中，左边右边，因此是分式方程的解。
由此可知：江水的流速为5千米/时。
归纳：
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
活动2
解方程：
教师出示例题，学生动手操作，思考，然后分组交流。
教师进行评价，提出质疑，然后进行说明强调。
解：
去分母，在方程两边同时乘以最简公分母，，得整式方程
解得：。
师 是原方程的解吗？
生 将代入原分式方程检验，发现这时分母和的值都为0，相应的分式无意义，所以……。
师 对，因此虽是整式方程的解，但不是原方程的解，实际上，这个分式方程无解。
活动3
思考：
在上面两个分式方程中，为什么①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
学生思考，分母讨论，发表自己的见解。
通过讨论总结出问题的答案。
活动4
问题1：在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根：那么是不是就不要这样的解呢？采用什么样的方法补救？
问题2：怎么检验较简单呢？还需要将整式方程的解分别代入原方程的左、右两边吗？
教师提出问题，学生讨论、回答。
问题1的解答：
还是要把分式方程转化为整式方程来解，解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解。
问题2的解答。
不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的。因此最简单的检验方法是：把整式方程的解代入最简公分母。若使最简公分母为零，则是原方程的增根，若使最简公分母不为零，则是原方程的解。是增根，必舍去。一般地，说明原方程无解。
归纳：
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0。因此应如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根，舍去。
活动5
例1 解方程：
例2 解方程：
教师出示例题，学生动手操作
教师强调：去分母时，方程两边的每一项都要乘同一整式，不要漏乘某项。
归纳：
解分式方程的一般步骤如下：
（三）练习
练习：教科书第29页练习
（四）小结
解分式方程的一般方法和步骤：
一般解法是去分母，具体步骤如下：
①去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；
②解这个整式方程；
③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去。
（五）课后作业 32页 1
（六）板书设计
分式方程（一）
1．分式方程
特征：分母中含未知数 例1：
例2：
2．解分式方程的一般步骤
（1）去分母
（2）解整式方程
（3）检验
课后反思：
第二课时
教学目标
知识与技能
1．用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题。
2．用分式方程来解决现实情境中的问题。
3．解一类含已知字母的分式方程。
过程与方法
1．经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力。
2．认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型。
3．会解一类字母方程，发展符号感。
情感态度与价值观
经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣；
教学重点和难点
教学重点
1．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型；
2．根据实际意义检验解的合理性。
教学难点
寻求实际问题中的等量关系，寻找不同的解决问题的方法。
教学方法
启发引导、小组讨论、合作探究
教学媒体
课件
教学过程设计
（一）复习
（二）讲授新课
上节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程。
接下来，我们就用分式方程来解决生活中的实际问题。
活动1 行程问题
农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。
变式：某两班学生利用双休日到距学校12千米的烈士陵园扫墓、植树，一部分人骑自行车，其余的人乘汽车。已知汽车的速度是自行车的速度的3倍。如果骑自行车的人先走，20分钟后乘汽车的人出发，结果乘汽车的人比骑自行车的人还早到10分钟，求两种车的速度。
活动2：轮船顺逆水应用问题
轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度?
（三）练习
1.我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌军离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队急行军的速度。
2．甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
3.甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30000元，已知乙公司比甲公司人均多捐款20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%。问甲、乙两公司各有多少人？
（四）课后作业
32页 3 4
（五）课后小结
分式方程（二）
行程问题
1 基本关系式：s=vt
2找等量关系式
第三课时
教学目标
知识与技能
1．用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题。
2．用分式方程来解决现实情境中的问题。
3．解一类含已知字母的分式方程。
过程与方法
1．经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力。
2．认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型。
3．会解一类字母方程，发展符号感。
情感态度与价值观
经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣；
教学重点和难点
教学重点
1．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型；
2．根据实际意义检验解的合理性。
教学难点
寻求实际问题中的等量关系，寻找不同的解决问题的方法。
教学方法
启发引导、小组讨论、合作探究
教学媒体
课件
教学过程设计
活动1 工程问题
例3两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成 总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成 ，哪个队的施工速度快？
师生共析：
这是一道工程问题，有工作效率、工作时间和工作总量等三个等量，其关系是：工作总量＝工作效率×工作时间。
这里把总工程量为1。
甲队1个月完成总工程的，设乙队如果单独施工1个月完成总工程的那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的。两队半个月完成总工程的。
思考
问题中的哪个等量关系可以用来列方程？
找出等量关系，根据分析，列出分式方程，并求解。
补充：一台甲型拖拉机4天耕完一块耕地的一半，一台乙型拖拉机加入合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？
带有字母的应用题
例4 从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用同样的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
这是一个行程问题，它有三个量：路程、时间、速度。结合它们之间的关系：路程=速度×时间，及其题中的含义建立数学模型。
根据行驶时间的等量关系即可列出方程。
说明：在本例中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现。此例的方程是以x为未知数的分式方程，其中v、s是已知常数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数。
（三）练习
教科书31页的练习。
（四）小结
列方程解应用题的关键是寻找等量关系。
（五）板书设计
分式方程（三）
1．工程问题
例3工作总量 ＝工作效率 ×工作时间
2．行程问题
例4（1）路程、时间、速度。
（2）字母v、s表示已知数据。
课后反思：
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