刘俊超课件三角形全等的判定.doc

辅 导 讲 义
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数学
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九
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三角形全等的判定

学习重点：
　　三角形全等的条件．
学习难点：
　　三角形全等的条件的探索．
知识点：
　　1．三角形全等的条件．
　　2．了解三角形的稳定性．
知识讲解：
　　一、三角形全等的条件
　　首先我们看只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，画出的三角形一定全等吗？
　　只给定一条边时(如图中的实线)

　　由图可知：这三个三角形不全等．
　　只给定一个角时夹角(如图中的实线)．

　　由画图可知：这三个三角形也不全等．
　　因此，只给出一个条件时，不能保证所画出的三角形一定全等．
　　接下来我们探索：给出两个条件时，所画的三角形一定全等吗？
　　（1）三角形的一个内角为30°，一条边为3厘米（如图）．

　　这三个三角形不全等．
　　（2）三角形的两个内角分别为30°和50°（如图）．
　　它们看起来的形状一样，但大小不一样．

　　这两个三角形不能重合，所以也不全等．
　　（3）三角形的两条边分别为4cm、6cm（如图）．

　　它们也不全等．
　　我们通过画图、观察、比较知道，只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．
　　那么给出三个条件时，又怎样呢？
　　如果给出三个条件画三角形，有四种可能．
　　即：三条边，三个角，两边一角和两角一边．
　　下面我们来逐一探索．

　　1．已知三角形的三个内角
　　如果已知一个三角形的三个内角分别为40°、60°、80°．能画出这个三角形，但有的能完全重合，有的不重合，所以它们不一定重合（如图）．

　　通过比较得知：给出三角形的三个内角，得到的三角形不一定全等．

　　2．已知三角形的三条边
　　如果已知一个三角形的三条边分别是4cm，5cm和7cm．画出这个三角形如图．

　　比较可知：这样的所有三角形都是全等的．
　　由此可知：已知三角形的三边，则画出的所有三角形都全等．
　　这样就得到了三角形全等的条件：
　　三边对应相等的两个三角形全等．
　　简写为：“边边边”或“SSS”．
　　如下图．

　　这是用符号语言来表示该三角形全等的条件．
　　注意：三边对应相等是前提条件，三角形全等是结论．

　　3．已知三角形的“两角一边”
　　如果“两角一边”条件中的边是两角所夹的边．
　　如：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm，我们来画出这个三角形（如图）．

　　经过比较，它们全等．也就是说已知一个三角形的两个内角及其夹边，那么由此得到的三角形都是全等的．
　　由此我们得到了判定三角形全等的另一条件：
　　两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
　　简写为：“角边角”或“ASA”．
　　如图，在△ABC和△DEF中．

　　在“两角一边”中，除“两角及其夹边”外，还有两角及一角的对边．
　　如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，如：三角形的两个角分别为60°和45°，一边长为3cm（如图）．

　　已知两角及一角的对边画三角形时，不容易画，但如果把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”时，就可以了．因为三角形的内角和为180°，已知两个内角，那么第三个内角就可求出，这样就把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”．
　　（1）如果60°角所对的边为3cm时，画出的图形如下：

　　经比较：这样得到的三角形都全等．
　　（2）如果45°角所对的边为3cm时，画出的图形如下．

　　经比较：这样条件的所有三角形都全等．
　　由此我们又得到了判定三角形全等的另一条件：
　　两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
　　简称“角角边”或“AAS”．
　　如图．在△ABC和△DEF中．

　　4．已知三角形的两边及一角
　　如果已知一个三角形的两边及一角，有两种情况：两边及这两边的夹角，两边及一边的对角．
　　先看第一种情况下，两个三角形是否全等．
　　如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角．如：三角形的两条边分别为2.5cm、3.5cm．它们的夹角为40°（如图）．

　　经过比较，如果已知三角形的两边及其夹角，那么所得的三角形都全等．
　　由此我们得到了三角形全等的条件：
　　两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
　　简称“边角边”或“SAS”．
　　如图，在△ABC和△DEF中．

　　接下来我们研究第二种情况．
　　如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角．如：两条边分别为2.5cm、3.5cm．长度为2.5cm的边所对的角为40°（如图）．

　　按上述条件画的三角形不唯一，存在不同的三角形满足上述条件，如图．

　　由图可知：这两个三角形不全等．
　　所以，两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等．
　　因此可知：“两边及一角”中的两种情况中只有一种能判定三角形全等．即：
　　两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．

　　二、三角形的稳定性
　　如果我们取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三角形的框架，所得到的框架的形状固定吗？用四根木条钉成的框架的形状固定吗？

　　图(1)是用三根木条钉成的三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性在生产和生活中是很有用的．如：房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固和稳定．
　　图(2)的形状是可以改变的，它不具有稳定性．
　　那么要使图(2)的框架不能活动，在相对的顶点上钉一根木条，使它变为两个三角形框架即可．
在生活中经常会看到采用三角形的结构去建筑．就是用到了它的稳定性．

小结：

　　通过上表可以看出，两个三角形全等至少要有三个条件对应相等；我们常用来解决两个三角形是否全等的依据主要是“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”．

课堂练习

考点一：全等及性质
A
B
C
D
E
（2010北京顺义中考）如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．
求证：AD＝AE．
证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠ADB=90°，
∵AE⊥EB，
∴∠E=∠ADB=90°，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1=∠2；
在△ADB和△AEB中，，
∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD=AE．
变式训练
（2008宜昌中考）
如图，在△ABC与△ABD中，BC＝BD．设点E是BC的中点，点F是BD的中点．

（1）请你在图中作出点E和点F；(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明）
（2）连接AE，AF．若∠ABC＝∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．

解：(1)能看到“分别以B，C为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点M、N，(1分)连接MN，交BC于E”的痕迹，(2分)能看到用同样的方法“作出另一点F(或以B为圆心，BE为半径画弧交BD于点F)”的痕迹.(3分)
(凡正确作出点E,F中的一个后，另一个只要在图上标注了大致位置即可评3分)
(2)∵BC＝BD，E，F分别是BC，BD的中点，
∴BE＝BF，(4分)
∵AB＝AB，∠ABC＝∠ABD,(5分)
∴△ABE≌△ABF.(6分)
考点二：全等的判定
（2010苏州中考）．如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)若∠D=50°，求∠B的度数．

【分析】根据SAS判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质求出与的度数，结合三角形的内角和及平角的意义求出所要求的角.
【答案】(1)∵点是线段的中点，
∴，
又∵平分，平分，
∴∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3.
在和中，

∴≌.
(2)解：∴∠1+∠2+∠3=180°,
∴∠1=∠2=∠3=60°.
∵≌.
∴50°,
∴.

变式训练
（2006莱芜）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

解：△EMC是等腰直角三角形．理由如下：连接MA．
∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，
∴∠DAB=90°，
∵△EDA≌△CAB，
∴DA=AB，ED=AC，
∴△DAB是等腰直角三角形，又M为BD的中点，
∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD（三线合一），
AM=BD=MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠EDM=∠MAC=105°，
在△MDE和△CAM中，
ED=AC，∠MDE=∠CAM，MD=AM
∴△MDE≌△MAC．
∴∠DME=∠AMC，ME=MC，
又∵∠DMA=90°，
∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°．
∴△MEC是等腰直角三角形．

考点三：全等知识的综合应用
（2010重庆潼南中考）(10分) 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长.
解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD
在△ABE和△DAF中

∴△ABE≌△DAF-----------------------4分
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴∠1+∠4=900
∵∠3=∠4
∴∠1+∠3=900
∴∠AFD=900----------------------------6分
在正方形ABCD中， AD∥BC
∴∠1=∠AGB=300
在Rt△ADF中，∠AFD=900 AD=2
∴AF= DF =1----------------------------------------8分
由(1)得△ABE≌△ADF
∴AE=DF=1
∴EF=AF-AE= -----------------------------------------10分

变式训练（2010百色中考）（本题满分8分）如图：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O．
A
D
O
C
B

（1）图中共有 对全等三角形；
（2）写出你认为全等的一对三角形，并证明．

【课堂小结】
1、全等三角形的概念及其性质
1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。
2）全等三角形性质：
（1）对应边相等 （2）对应角相等（3）周长相等 （4）面积相等
2.全等三角形的判定方法
1）、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS )
2）两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ）
3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA )
4）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( AAS )
5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( H L )
【达标测试】
1. （2011•江苏宿迁，7，3）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
A、AB=AC B、BD=CD C、∠B=∠C D、∠BDA=∠CDA
2. （2011安徽省芜湖市，6,4分）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（　　）
A、 B、4
C、 D、

3. （2011湖北十堰，6，3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合。过角尺顶点C作射线OC。由做法得△MOC≌△NOC的依据是（ ）
A．AAS B.SAS C.ASA D.SSS
4.（2011广西百色，8，4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC．∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．①③④
5. （2011南昌，10，3分）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（　　）
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC，BD=DC C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC

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