云南省昆明市艺卓高级中学九年级数学上册《1.2 直角三角形》教学设计（2） 北师大版.doc

直角三角形
一、内容与分析
本节课学习的主要内容是直角三角形全等判定定理“HL”，指的是“HL”定理的证明和应用，其核心是“HL”定理的应用。学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前已经接触过，只是原来仅属于了解阶段。现在是要重新认识这个定理，并且要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题有一个较高的要求，对于以后解决直角三角形的全等问题也多了一种有效地方法。教学重点是“HL”定理的推导及其应用，解决重点的关键是教师让学生理解“HL”定理。
二、目标与分析
教学目标：
1、会证明直角三角形全等的“HL”的判定定理
2、会利用“HL’’定理解决实际问题
目标分析：会证明直角三角形全等的“HL”的判定定理就是指学生知道怎样利用其他三角形全等判定定理证明出“HL”的判定定理，会利用“HL’’定理解决实际问题是指在解决直角三角形全等问题时要优先考虑到“HL”的判定定理，并正确使用它解决问题。
三、问题诊断分析
本节课学生可能在定理的应用时与前面的定理产生混淆，认为只要直角三角形两边对应相等就可以用“HL”的判定定理，教师要强调是一直角边和斜边对应相等。
四、教学过程分析
问题1：我们在证明 “等边对等角”定理时，我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”呢？
已知：在△ABC中， AB=AC．
求证：∠B=∠C．
证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点在于“在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的。
设计意图：使学生产生疑问，并引入新课。
问题2：能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．”
证明“HL”定理：
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
证明：在Rt△ABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)．
又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．
AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．
定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．
变式练习：判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
对于（1）、（2）、（3）一般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在了问题（4），学生感觉是真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持，教师引导学生证明．
已知：R△ABC和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线且BD=B'D' (如图)．
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，
∵BD=B'D',BC=B'C',
∴Rt△BDC≌Rt△B 'D 'C ' (HL定理)．
CD=C'D'．
又∵AC=2CD，A 'C '=2C 'D '，∴AC=A'C'．
∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中，
∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C '，
∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．
设计意图：熟悉直角三角形全等的判定方法，特别是“HL”定理的使用，让学生辨析一个命题的真假不是靠感觉而是依赖于原有的定理或公理。要经过很好的理性思考之后才能判断对错。
问题3：你能用三角尺平分一个已知角吗? 请同学们用手中的三角尺操作完成，并说明理由？
如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是么AOB的平分线．
已知：如上图，由作图步骤可知ON=OM，MP上OA，NP上OB，M、N分别为垂足．
求证：∠AOP=∠BOP．
证明：∵ MP⊥OA，NP⊥OB，
∴∠OMP= ∠ NP=90°．
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
∵OP=OP，OM=ON.
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL定理)．
∠AOP=∠ZBOP(全等三角形的对应角相等)．
设计意图：HL定理在实际问题中的应用，让学生熟悉定理并体会数学知识在实际生活中的实用性。
变式练习：
1、已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来．
(1)AC=BD；(2)BC=AD；(3)∠CBA∠=∠DAB；(4)∠CAB=∠DBA；(5)OA=OB；(6)OC=OD，等．
设计意图：该题是一个开放题，结论和方法并不惟一，所以学生积极性非常高，作为教师要充分利用好这个资源，可以达到一题多解，举一反三的效果。

2、如图，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．

六、本课小结
本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广大。