资源描述
直角三角形
一、内容与分析
本节课要学习的主要内容是勾股定理及其逆定理的证明和定理与逆定理的概念，其核心是勾股定理及其逆定理的证明，理解他关键就是要学生自主探索的过程中发现这两个定理的使用方法。在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解。重点是勾股定理及其逆定理的证明方法以及对不是“如果……那么……”形式的逆命题的叙述。解决重点的关键是使用正确的证明方法。
二、目标与分析
教学目标：
（1）了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性.
（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．
目标分析：了解勾股定理及其逆定理的证明方法是指通过对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行，虽然证明的方法有多种，但对学生来说，这些都有难度，所以只要求学生了解即可。
三、问题诊断分析
本节课学生可能遇到的困难是对勾股定理及其逆定理的证明方法感觉难以理解，主要原因是对勾股定理及其逆定理要求过高，教师应提醒学生了解即可，不必过多研究。
四、教学过程分析
问题1：一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?
解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10 cm，
∴BC＝AB＝×10＝5 cm．
∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90°
又∵∠A+∠B＝90°
∴∠BCB1 ＝∠A＝30°
在Rt△ACB1中，BB1＝BC＝×5＝ cm＝2．5 cm．
∴AB1＝AB＝BB1＝10—2.5＝7.5(cm)．
∴在Rt△C1AB1中，∠A＝30°
∴B1C1 ＝AB1＝× 7.5＝3.75(cm)．
设计意图：解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“30°角的直角三角形的性质”．由此提问：“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而引入勾股定理及其证明。
问题2： 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?
勾股定理的证明：
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
求证：a2+b2＝c2．
证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．
∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
∴四边形ACDE是直角梯形．
∴S梯形ACDE＝(a+b)(a+b) ＝ (a+b)2．
∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，
AB＝BE．
∴S△ABE＝c2
∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，
∴(a+b) 2＝ c2 + ab + ab,
即a2 + ab + b2＝c2 + ab,
∴a2+b2＝c2
问题3：反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?
勾股定理逆定理的证明：
已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图)，
则A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)．
∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′
∴BC2＝B′C′2
∴BC＝B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形．
定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
互逆命题和互逆定理：
问题4：观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?
上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件。这样的情况，在前面也曾遇到过．例如“两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”．又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”。
师生活动：让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题，活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等．
如果两个角相等，那么它们是对顶角．
如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．
三角形中相等的边所对的角相等．
三角形中相等的角所对的边相等．
不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．
问题5：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗?
再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断i每组原命题的真假．逆命题呢?
在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．
由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．
要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．
请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗？
从而引导学生思考：如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理。其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理．
能举例说出我们已学过的互逆定理?
如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等．
变式练习：
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，内旁内角互补；
(3)如果ab＝0，那么a＝0， b＝0
六、本课小结
这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力．
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