九年级数学上 线段的垂直平分线的性质定理和判定定理教案.doc

一、教学内容：
线段的垂直平分线的性质定理和判定定理；
用直尺和圆规作出已知线段的垂直平分线；
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等定理

二、教学目标
1、要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能利用这两个定理解决一些问题。
2、能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。
3、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；
已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形。
4、通过本节学习，进一步拓展学生的推理证明意识和能力

三、知识要点分析

1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
3. 尺规作图
尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤
作已知线段的垂直平分线
已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。

四、重难点
重点：
1、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
2、作已知线段的垂直平分线。
3、三角形三边的垂直平分线性质。
4、已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
难点：
1. 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理和证明
2. 理解三线共点的证明方法。
3. 熟练地作图并能说出作图依据。

【典型例题】
考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理
例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？

在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴. 我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成
你能用公理或学过的定理证明这一结论吗？
有学生提出了一个问题：“要证‘线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？何况不可能呢. ”
通过讨论和思考，有学生提出：“如果一个图形上每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了.”
我们只需在线段垂直平分线上任取一点作代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质

例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点.
求证：PA=PB.
分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等.
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.

想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。
这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
证明：取AB的中点C，过PC作直线.

∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC（SSS）.
∴∠PCA=∠PCB（全等三角形的对应角相等）.
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上

考点二：尺规作图
例3、用尺规作线段的垂直平分线
已知：线段AB（如图）.

求作：线段AB的垂直平分线.
作法：1. 分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D.
2. 作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试

观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？

例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.
求证：P点在AC的垂直平分线上.

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）.
同理PB=PC.
∴PA=PC.
∴P点在AC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P.
从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？
（交点P到三角形三个顶点的距离相等. ）
这就是我们今天学习的又一个定理
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.
已知：线段a、h

求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：1. 作BC=a；
2. 作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3. 以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4. 连接AB、AC
∴△ABC就是所求作的三角形（如图所示）

考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质
例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O
求证：OA=OB=OC.

证明：∵AB=AC，
AD是BC的中线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.
又∵AB的垂直平分线与AD交于点O，
∴OB=OC=OA（三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）.

【方法总结】
主要运用启发式教学，采用“实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯。

【预习导学方案】
（角平分线和本章知识回顾）
（一）预习前知
1. 角平分线有什么性质？画出三角形三个角的角平分线，它们交于同一点吗？
2. 归纳本章内容

（二）预习导学
1. 已知，如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，点P是角平分线上任一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。
求证：PD=PE

反思：角平分线到这个角两边的距离有什么样的关系？
2. 建立本章的知识框架图
反思：本章的知识要点之间的内在联系。

【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、选择题
1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
*2、已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为 （ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）

A、AB、BC两边高线的交点处
B、AC、BC两边中线的交点处
C、AC、BC两边垂直平分线的交点处
D、∠A、∠B的平分线交点处

二、填空题
4、如图所示，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC，BC=18cm，则BE的长度为

*5、锐角△ABC中，∠A=60°，AB，AC两边的垂直平分线交于点O，则∠BOC的度数是
__________。
*6、在△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线交AC于F，若AB=12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是
7、如图，∠ACB=90°，BC=1，∠A=30°，D为AB中点，DE⊥AC于E，则△CED的周长为

三、作图题
8、已知△ABC，用直尺和圆规求作其三边的垂直平分线（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）

四、证明题
**9、两个全等的含、角的三角板和三角板如图所示放置，，，三点在一条直线上，连接，取的中点，连接，，试判断的形状，并说明理由.

*10、如图，在△ABC中，AD是高，CE为中线，DG⊥CE，G为垂足，DC=BE。
求证：（1）G是CE的中点
（2）∠B=2∠BCE

试题答案
1、A 2、A 3、C 4、12cm 5、120° 6、32cm 7、
8、略
9、的形状是等腰直角三角形. 　　
证明：连接，由题意得：

.

又，
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.
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又，
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所以的形状是等腰直角三角形.
10、分析：由于E点为Rt△ADB斜边的中点，因而连接DE，则有DE=BE=DC，根据等腰三角形的“三线合一”，可得结论（1）；由（1）∠B=∠BDE，∠DEC=∠BCE，得结论（2）
证明：（1）连接DE，在Rt△ADB中，
∵E为AB中点
∴DE=BE
又∵DC=BE
∴DE=DC
∵DG⊥CE，
∴EG=GC，即G是CE的中点
（2）∵DE=BE
∴∠B=∠BDE
∵DE=DC
∴∠BCE=∠DEC
又∵∠BDE=∠BCE+∠DEC
∴∠B=2∠BCE