组合第二课时.doc

第二课时
教学目标　　　　　
知识与技能
了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．
过程与方法
通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．
情感、态度与价值观
能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．
重点难点　　　　　
教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．
教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题．

提出问题1：判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系．
(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；
(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．
活动设计：教师提问．
活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题．
1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合与排列的区别和联系：
(1)区别：①排列有顺序，组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．
(2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列．
设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况．
提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完成下列两个练习：
练习1：求证：C＝C.(本式也可变形为：mC＝nC)
练习2：计算：①C和C；②C－C与C；③C＋C.
活动设计：学生板演．
活动成果：练习2答案：①120,120　②20,20　③792.
1．组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C表示．
2．组合数的公式：
C＝＝
或C＝(n，m∈N，且m≤n)．
设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础．

提出问题1：由问题2练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？
活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充．
活动成果：
1．性质：(1)C＝C；(2)C＝C＋C.
2．证明：(1)∵C＝＝，
又C＝，∴C＝C.
(2)C＋C＝＋＝
＝＝＝C，
∴C＝C＋C.
设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质．

类型一：组合数的性质
1(1)计算：C＋C＋C＋C；
(2)求证：C＝C＋2C＋C.
(1)解：原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210；
(2)证明：右边＝(C＋C)＋(C＋C)＝C＋C＝C＝左边．
【巩固练习】
求证：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n2n－1.
证明：左边＝C＋2C＋3C＋…＋nC＝CC＋CC＋CC＋…＋CC，
其中CC可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选一个的组合数．设某班有n个同学，选出若干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长．把这种选法按取到的人数i分类(i＝1,2，…，n)，则选法总数即为原式左边．现换一种选法，先选组长，有n种选法，再决定剩下的n－1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n－1种，所以选法总数为n2n－1种．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．
【变练演编】
求证：C＋22C＋32C＋…＋n2C＝n(n＋1)2n－2.
证明：由于i2C＝CCC可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数．对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况．若组长和副组长是同一个人，则有n2n－1种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有n(n－1)2n－2种选法．∴共有n2n－1＋n(n－1)2n－2＝n(n＋1)2n－2种选法．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．
类型二：有约束条件的组合问题
2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．
(1)有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有
C＝＝161 700种．
(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有
C×C＝9 506种．
(3)解法1　从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C×C种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有
C×C＋C×C＝9 604种．
解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即
C－C＝161 700－152 096＝9 604种．
点评：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解．
【巩固练习】
1．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C，C×C，C×C种方法，
所以，一共有C＋C×C＋C×C＝100种方法．
解法二：(间接法)C－C＝100.
2．按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
(1)甲、乙、丙三人必须当选；
(2)甲、乙、丙三人不能当选；
(3)甲必须当选，乙、丙不能当选；
(4)甲、乙、丙三人只有一人当选；
(5)甲、乙、丙三人至多2人当选；
(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；
解：(1)CC＝36；(2)CC＝126；(3)CC＝126；(4)CC＝378；
(5)方法一：(直接法)CC＋CC＋CC＝756，
方法二：(间接法)C－CC＝756；
(6)方法一：(直接法)CC＋CC＋CC＝666，
方法二：(间接法)C－CC＝666.
【变练演编】
有翻译人员11名，其中5名精通英语、4名精通法语，还有2名英、法语皆通．现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？
解：分三类：
第一类：2名英、法语皆通的均不选，有CC＝5种；
第二类：2名英、法语皆通的选一名，有CCC＋CCC＝60种；
第三类：2名英、法语皆通的均选，有ACC＋CC＋CC＝120种．
根据分类加法计数原理，共有5＋60＋120＝185种不同的名单．
【达标检测】
1．计算：(1)C＋C；(2)2C－C＋C.
2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为________．
3．从7人中选出3人参加活动，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有______种．
答案：1.(1)161 700　(2)56　2.9　3.30

1．知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题．
2．方法收获：化归的思想方法．
3．思维收获：化归的思想方法．

【基础练习】
1．求证：(1)C＝C＋C＋C；(2)C＋C＋2C＝C.
2．某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有______．
3．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．
(1)都不是次品的取法有多少种？
(2)至少有1件次品的取法有多少种？
(3)不都是次品的取法有多少种？
4．从编号为1,2,3，…，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？
答案或解答：2.C＝56；
3．解：(1)C＝2 555 190；
(2)C－C＝CC＋CC＋CC＋C＝1 366 035；
(3)C－C＝CC＋CC＋CC＋C＝3 921 015.
4．解：分为三类：1奇4偶有CC；3奇2偶有CC；5奇有C，所以一共有CC＋CC＋C＝236种不同的取法．
【拓展练习】
现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
解：我们可以分为三类：
①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有CC；
②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有CC；
③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有CC.
所以一共有CC＋CC＋CC＝42种方法．

本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．

相同元素分组分配问题
解决方法：档板法．
(1)参加联赛的10个名额要分配到高三年级的8个班级中，则每个班级至少一个名额的分配方法有______种；
(2)10个相同的小球全部放入编号为1、2、3的盒子中，则使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有______种．
解析：利用档板法．
(1)相当于在排成一排的10个“1”所形成的9个空隙中，选出7个插入7块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有C种方法；
(2)可以首先在2、3号盒子中先分别放入1、2个球，然后在剩余的7个球排成一排形成的6个空隙中选出2个空隙各插入一块板，有C种方法．
注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程x1＋x2＋…＋xm＝n(m，n∈N，m，n≥2)的自然数解有C组．
简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换yi＝xi＋1(i＝1,2，…，m)，则方程x1＋x2＋…＋xm＝n的自然数解的组数，即y1＋y2＋…＋ym＝n＋m的正整数解的组数，相当于把n＋m个球分成m份，每份至少1个的方法数，即在n＋m－1个球的间隙中放置m－1个档板的方法种数，即C.
(设计者：殷贺)