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集合定义及练习题
集合的概念
　一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。
集合的分类:
并集　：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集： 以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
补集：属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不属于A}
空集：包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合
无限集： 定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集
有限集：令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n},如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。
集合元素的性质：
1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。
2.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。
3.无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。
4.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A={x|x<2}，集合A 中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。
5.完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。
常用数集的符号：
　　（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N
　　（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*）
　　（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z
　　（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q
　　（5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R
　　（6）复数集合计作C
集合的表示方法：常用的有列举法和描述法。
1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}
2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π}
3.图式法（Venn图）﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。
　集合的运算：
　　集合交换律
　　A∩B=B∩A
　　A∪B=B∪A
　　集合结合律
　　(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
　　(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
　　集合分配律
　　A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
　　A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
例1 判定以下关系是否正确

(2){1，2，3}＝{3，2，1}

(4)0∈{0}

（7）0={0}
分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后三个都是错误的．
说明：含元素0的集合非空．空集是任何非空集合的真子集
例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．
分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．

含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；
含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；
含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．

集合的子集有2的n次方个（n为元素个数）

________．
分析 A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}真子集，所以满足条件的A有：{a，b}，{a，b，c}{a，b，d}．
答 共3个．
说明：必须考虑A中元素受到的所有约束．

[ ]

分析 作出4图形．
答 选C．
说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．

点击思维

例5 设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是
[ ]

分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上
x＝5－4a＋a2＝(2－a)2＋1≥1，
y＝4b2＋4b＋2＝(2b＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A＝B．
答 选A．
说明：要注意集合中谁是元素．

M与P的关系是
[ ]
A．M＝UP 　　　　　　　　　　　　　　B．M＝P

分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M＝UN＝U(UP)＝P；三是利用画图的方法．

答 选B．
说明：一题多解可以锻炼发散思维．
例7 下列命题中正确的是
[ ]
A．U(UA)＝{A}

分析 D选择项中A∈B似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．

是由这所有子集组成的集合，集合A是其中的一个元素．
∴A∈B．
答 选D．
说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．
例8 已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C．
分析 逆向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7．
答 C＝{4}或{7}或{4，7}．
说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．
例9 设S＝{1，2，3，4}，且M＝{x∈S|x2－5x＋p＝0}，若SM＝{1，4}，则p＝________．
分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于SM＝{1，4}，

∴M＝{2，3}则由韦达定理可解．
答 p＝2×3＝6．
说明：集合问题常常与方程问题相结合．
例10 已知集合S＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|，2}，SA＝{a＋3}，求a的值．

S这个集合是集合A与集合SA的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．
解 由补集概念及集合中元素互异性知a应满足

在(1)中，由①得a＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．
在(2)中，由①得a＝－3，a＝2，分别代入②③④检验，a＝－3不合②，故舍去，a＝2能满足②③④．故a＝2符合题意．
说明：分类要做到不重不漏．

[ ]
A．M＝N

D．M与N没有相同元素
分析 分别令k＝…，－1，0，1，2，3，…得

答 选C．
说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性