三角形和全等三角形-简单.doc

三角形与全等三角形
一、 知识要点
ⅰ)三角形的角平分线、中线、高线为三种重要线段，理解
①三角形有关概念及性质 其性质并会画出内心、外心、垂心、重心
ⅱ)三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
a、内角和180˚
ⅲ)三角形中角的关系 b、外角等于与它不相邻两内角和
c、外角大于任一不相邻内角
iv)面积公式

按边分 不等边三角形
等腰三角形 只有两边相等
三边都相等(等边三角形)
②三角形的分类 掌握其判定、性质

锐角三角形
斜角三角形
按角分 钝角三角形

直角三角形 a、合30˚角直角三角形性质
b、直角三角形斜边上中线性质
c、勾股(逆)定理
③全等三角形
ⅰ)全等有关概念、性质 以及定义
ⅱ)全等三角形的判定方法 SAS
ASA AAS （AAS）
SSS
HL(只用于Rt∆)
ⅲ)全等三角形的性质：对应角等，对应线段(边、角平分线、中线、高)相等
ⅳ)命题、定理、逆命题、逆定理有关概念

【三角形基础知识】
例1、 在∆ABC中，BC=2 AC=7 周长为奇数，求AB的长。
分析：由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可求出AB的范围，再求周长为奇数可确定AB的值。

总结：利用三角形三边关系可以解决的问题①任意给出的三条线段能否构成三角形；②利用勾股逆定理，判定是否为Rt∆；③已知两边，可求出第三边的取值范围，再利用其它条件，可确定第三边的取值。

例2、在∆ABC 中，∠A=50˚
(1) 如图(1) ∆ABC的两条高BD、CE交于O点，求∠BOC的度数
(2) 如图(2) ∆ABC的两条角平分线BM、CN交于P，求∠BPC的度数
A A

E
N M
D P
O 1 2
B 1 2 C B C
(1) (2)

总结：凡是求角度的题，一般都离不开三角形（多边形）内角和定理及，设法利用这些去推出等量关系。题中应设及到高线，别忘了两锐角互余，遇到角平分线要合理利用其倍分关系。
【巩固练习】
一、选择题
1.如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
2. 如图，中，，点分别在上，则的大小为（ ）
B
C

第3题图
A
D
B
C
E
A． B． C． D．

第2题图
第6题图

3．已知三角形的三边长分别是；若的值为偶数，则的值有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
（A）20° （B）120° （C）20°或120° （D）36°
5. 已知实数满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A. 20或16 B.20 C.16 D.以上答案均不对

7.如图.在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（ ）
A.2 B.2 C.4 D.4
8.已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（ ）
A．45o B．75o C．45o或15o D．60o
二、填空题：
9．如图所示，分别以边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位．

第10题图
第9题图
第11题图

10．(2008年怀化市）如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是 度．
11．如图，在ΔABC中，AB=BC=2，∠ABC＝90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点是D′，则BD′=__________．
12．如图，在中，点是上一点，，，则 度．

第12题图

三、解答题 ：
13. 如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=______°
14.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= ．

【全等三角形的证明方法】
　一、已知一边与其一邻角对应相等
　1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等．
例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE．

　2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等．
　　例2 已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB．求证：AE=CE．

二、已知两边对应相等
1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证全等．
　　例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2．求证： △ABD≌△ACE.

　2．证第三边对应相等，再用SSS证全等．
　　例5 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN， BM=DN．求证： AM∥CN，BM∥DN．
　　，

　　三、已知两角对应相等
1．证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等．
　　例6 已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.求证： AB=DE， AC=DF.

2．证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等．
　　例7 已知：如图6，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF. 求证：△ACE≌△BDF.

　四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等
　　例8 已知：如图7，在△ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，∠B=∠C．

【全等三角形综合题型】
1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90º，AB＝AD＝6，DE⊥CD交AB于E，DF平分∠CDE交BC于F，连接EF．[来源:Zxxk.Com]
A
E
B
F
C
D
(1)证明：CF＝EF；
(2)当tan∠ADE＝时，求EF的长．

2.如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．
（1）求证：∠DAE＝∠DCE；
（2）当AE＝2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论？

【巩固练习】
1．（2010年山西）在D是AB的中点，CD=4cm，
则AB= cm。
2．（2010黑龙江绥化）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段BD的长为 。
3．（2010 山东荷泽）（本题满分8分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5㎝，求AB的长．
20题图
A
B
C
D

4..（2012肇庆）如图5，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 21世纪教育网
求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．

A
B
C
D
O
图5

5（2012武汉）如图CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．

【课后作业】
1.（2009年临沂中考）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA,PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）

A．PA=PB B．PO平分∠AOB
C．OA=OB D．AB垂直平分OP

2.如图是5×5的正方形网络，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出 （ ）
D
A．2个 B.4个 C.6个 D.8个
C
A

B

第4题图
第3题图
第2题图

3．（2009年牡丹江）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于0.5CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS　　D．SSS
4．（2009年江西）如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定
的是（ ）
A．　B． C． D．
二、填空
5．（2009年怀化）如图，已知AB=AD，∠BAE= ∠DAC，要使△ABC≌△ADE,可补充的条件是 （写出一个即可）．

6．（2009年清远）如图，若△ABC≌△A1B1C1, 且∠A=110°, ∠B=40°，则∠C1= ．

第6题图
第5题图

7.（2012宜宾）如图，点A．B．D．E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．

8.（2012北京）已知：如图，点在同一条直线上，，．求证：.

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