喀蔚波副教授 医用物理学 第二章 流体的运动.doc

目 录

第二章 流体的运动
§1 理想流体的定常流动
1.1 流体运动的描述方法
一、两种描述方法
二、理想流体
三、流场、流线和流管
1.2 定常流动
1.3 连续性方程
§2 理想流体的伯努利方程
2.1 理想流体的伯努利方程
2.2 伯努利方程的应用
一、压强与高度的关系
二、流速与高度的关系（小孔流速）
三、压强与流速的关系
§3 黏性流体的运动
3.1 黏性流体的运动
一、层流
二、牛顿黏滞定律 黏性系数
相关链接：超流动性
三、湍流和雷诺数
相关链接：流动相似性
3.2 黏性流体的运动规律
一、黏性流体的伯努利方程
二、泊肃叶公式
3.3 物体在黏性流体中的阻力
一、黏性摩擦阻力 斯托克斯阻力公式
二、涡旋尾流 压差阻力
思考题
习题
参考文献

第二章 流体的运动

红细胞在毛细血管中的流动 从图中可以清楚地看到红细胞发生形变，同时，由于红细胞的圆盘直径接近甚至小于毛细血管的直径，因此流动不能看作是均质流体的流动。

气体和液体没有一定的形状，各部分之间极易发生相对运动，具有流动性，因而被统称为流体（fluid）。研究流体运动规律及其与边界相互作用的学科称为流体动力学（fluid dynamics）。流体动力学是气体动力学、水利学、生物力学等学科的理论基础，在工业、农业、交通运输、石油化工、航空航天、气象、地学、生物医学等领域应用极其广泛。
流体的运动广泛存在于我们的周围及生命体内。掌握流体的运动规律，有助于理解日常生活中发生在身边的流体运动现象，深入研究人体的血液循环、呼吸过程以及相关的医疗仪器设备。
本章主要介绍流体动力学的一些基本概念和规律。

§1 理想流体的定常流动
1.1 流体运动的描述方法

一、两种描述方法
在流体力学中将流体看作是大量的宏观小微观大的流体质元组成并研究其宏观行为，因此可忽略物体微观结构的量子性，而视流体为连续介质。
直接采用牛顿质点力学方法，把流体分成许多流体质元，每个流体质元满足牛顿定律，跟踪并研究每一个流体质元的运动情况，把它们综合起来就能掌握整个流体运动的规律，这种方法称拉格朗日（Lagrange）法。拉格朗日法形象、直观，物理概念清晰，但是对于易变形、流动的流体，不易追踪，并需无穷多个方程才能描述由无穷多个流体质元组成的流体的运动状态，在数学上难以做到，而且也没有必要。对于固体运动，特别是简化为刚体运动后，虽然刚体由无穷多个质点构成，但质点之间具有固定的位置和距离，这时只需要研究刚体上两个质点的运动就可以反映刚体的运动状态，所以拉格朗日法在固体力学中应用较多。欧拉（Euler）法与力学中惯用的方法不同，它不是考察流体中的某一流体质元的运动过程，而是研究各流体质元的速度、压强、密度等物理量对流经的空间及时间的分布规律，即从场的观点、整体上来把握流体的运动。这种方法的物理意义不如拉格朗日法直观，但对研究流体流场的运动状况较为方便，在流体力学中得到广泛应用，本章将用欧拉法来讨论流体的运动规律。

二、理想流体
实际气体和液体都是可以压缩的，即流体的体积随其所受压强不同而改变。气体的可压缩性（compressibility）非常明显，如用不太大的力推动活塞，就可以使汽缸中的气体明显地压缩。但对于流动着的气体，由于气体的密度小，在压强差不太大，流速不很高的情况下，也能使密度较大处的气体迅速流向密度较小的地方，使气体的密度趋于均匀，因此可近似地看成是不可压缩的。液体不容易被压缩，如每增加一个大气压，水体积的减少量不到其原体积的两万分之一，水银体积的减少量不到其原体积的百万分之四。在一般情况下，实际液体可近似地认为是不可压缩的。
实际流体运动时，层与层之间存在阻碍相对运动的内摩擦力，这被称为流体的黏滞性。不同流体的黏滞性不同，如从玻璃杯中倒出水来很容易，但要倒出油漆则要困难得多。油类的黏滞性较大，水、酒精的黏滞性较小，气体的黏滞性更小。
实际流体的运动很复杂，影响因素很多。在一些实际问题中，根据可压缩性、黏滞性对流体运动的影响不同，可分别将流体抽象为不可压缩流体、非黏性流体和既不可压缩又无黏性的理想流体（ideal fluid）等理想模型，即突出了运动的主要特征，又简化了问题。
三、流场、流线和流管
（a）流场 （b）流线 （c）流管
图2-1流场、流线和流管
流体运动时，流体质元（宏观大、微观小的区域中流体分子的集合）的运动情况，一般是各不相同的。在流体运动过程中，任一瞬间，在流体占据空间的任一点都具有一定的速度，每一点都有一个流速矢量，通常将由这些流速矢量构成的空间称为流速场，简称流场（flow field），如图2-1所示。
图2-2流体绕过不同障碍物时的流线
当流体做规则运动时，为了形象描述流场，引入流线（streamline），任一瞬间，流线上的任意一点的切线方向，与流过该点流体质元的速度方向一致。在流体内部，由流线围成的细管称为流管（stream tube），在流体力学中，往往取一流管作为代表加以研究。图2-2显示了流体绕过不同障碍物时流场的变化。
流体运动时，若流线无头无尾形成闭合曲线，这样的流动称为有旋流动，如河流中的涡旋，对应的流场为有旋场；若流线有头有尾不形成闭合曲线，这样的流动称为无旋流动，对应的流场为无旋场。
一般而言，当某时刻一个物理量在空间中每一点都有确定值，即物理量在空间有确定分布时，则该物理量在此空间形成一个场。例如在第一章遇到的重力场、本章要讨论的流场和下面要涉及的电磁场。如果物理量是标量，这个场就是一个标量场；若是矢量，则是一个矢量场。在标量场中，常用等值面（如等温面、等势面）形象地表示物理量的空间分布状态。在矢量场中，则常用矢量线描述场中物理量的分布（如用流线表示流场），不仅可以用矢量线上每一点的切线方向表示该点矢量的方向，还可以用矢量线的稀密表示矢量的数值。随时间变化的场叫做可变场或非稳定场（如可变电磁场），不随时间变化的场则叫做稳定场。

1.2 定常流动
一般情况下，流场中各点的流速随位置和时间的变化而改变，流线的形状亦随时间而变，这种随时间而变化的流动称为非定常流动。如果流场中各点的流速不随时间变化，这种流动称为定常流动。对于定常流动，流线不随时间改变，不同时刻的流线不相交；流管形状也不随时间改变，流管内的流体不会流出到管外，流管外的流体不会流入到管内。
1.3 连续性方程
图2-3流管中流量的连续性
流体作定常流动时，在任一细流管内取与流管垂直的两个截面ΔS1和ΔS2与流管构成封闭曲面，流体由ΔS1流入，从ΔS2流出，如图2-3所示。当选取的流管截面足够小时，流管上任一截面上各点的物理量都可视为均匀的。若设ΔS1和ΔS2处流体的速度分别为v1和v2，流体的密度分别为r1和r2，由于流体是作定常流动，流管内各点流体的密度不随时间改变，因此封闭曲面内流体的质量不会有变化，即在Δt时间内，从ΔS1流入封闭曲面流体的质量m1应等于由ΔS2流出流体的质量m2，即
m1= m2
r1（v1Δt）ΔS1=r2（v2Δt）ΔS2
r1 v1ΔS1=r2 v2ΔS2
上式对流管中任意两个与流管垂直的截面都是正确的，一般可以写成
Q m =r v ΔS=常量 （2-1）
式中Q m称为质量流量。该式表明：在定常流动中，单位时间内通过同一细流管的任一垂直截面流体的质量相同，该式称为定常流动的连续性方程，也称为质量流量守恒定律。
对于不可压缩流体，r为常量，则有
v1ΔS1= v2ΔS
及
Q v = v ΔS=常量 （2-2）
式中Q v 称为体积流量。该式表明：不可压缩流体作定常流动时，单位时间内通过同一细流管的任一垂直截面流体的体积相同，该式称为不可压缩流体的连续性方程，也称为体积流量守恒定律。
连续性方程的物理实质体现了流体在流动中质量守恒。这些方程均是对细流管而言，若不是细流管，则v、r 应理解为其在截面ΔS上的平均值。
由连续性方程可知：（1）不可压缩流体作定常流动时，流管的任一垂直截面积与该处的平均流速的乘积为一恒量。（2）同一流管，截面积较大处流速小；截面积较小处流速较大。（3）流场中，流线密集处流速较大；流线稀疏处流速较小。
河道宽的地方水流比较缓慢，而河道窄处则水流较急，这已是人们熟知的常识。
[例2-1] 正常人心脏在一次搏动中泵出血液70 cm3 ，每分钟搏动75次。心脏主动脉的内径约2.5cm，腔静脉的内径约3.0cm，毛细血管横断面的总面积比主动脉的横断面面积约大220～440倍。若将血液的循环看作是不可压缩流体在刚性管道中的定常流动，试求：主动脉、腔静脉和毛细血管的平均血流速度。
[解]：心脏输出血液的流量Q=
主动脉的横截面积
上、下腔静脉的总横截面积

根据连续性方程有：
主动脉的平均血流速度
腔静脉的平均血流速度
毛细血管的平均血流速度为
由此可见，血液经主动脉、大动脉、动脉、小动脉、微动脉到毛细血管，虽各类血管的管径愈来愈小，但其总截面积愈来愈大，所以血流速逐渐减慢。血液经毛细血管流入微静脉、小静脉、静脉、腔静脉，回到右心房，各类血管的总截面积又逐渐减小，回流在各种静脉血管的血液流速逐渐增大。

§2 理想流体的伯努利方程
2.1 理想流体的伯努利方程
1738年伯努利（D. Bernoulli）提出了著名的伯努利方程。
图2-4伯努利方程的推导
在作定常流动的理想流体中，取任一细流管，设在某时刻t，流管中一段流体处在a1a2位置，经过很短的时间Δt，这段流体到达b1b2位置，如图2-4所示。这段流体的机械能有何变化呢？由于是理想流体作定常流动，流体中各点的压强、流速、密度等物理量不随时间变化，因此b1a2段流体的运动状态在流动过程中没有变化，即该段流体的动能和重力势能没有改变，只需考虑a1b1和a2b2两段流体的机械能E1、E2的改变。
由连续性方程可知，a1b1和a2b2两段流体的质量、体积和密度均相等，可分别设为Δm、ΔV和r。如图2-4所示，设这两段流体在重力场的高度分别为h1和h2、速度分别为v1和v2、压强分别为p1和p2。则这两段流体的机械能增量为

流体流动是由后方流体推动前方流体前进，前方流体有阻碍作用，即压力F1作正功，压力F2作负功。理想流体从a1a2流到b1b2位置过程中，外力所作的总功为
A=A1＋A2
=F1 v1Δt－F2 v2Δt
=p1ΔS1 v1Δt－p2ΔS2 v2Δt
= p1ΔV－p2ΔV
=（p1－p2）ΔV
根据功能原理，理想流体从a1a2流到b1b2位置过程中，其机械能的增量等于外力所作的功
A= E2－E1
即

（2-3）
考虑到ΔS1、ΔS2的任意性，上式还可以写成
=常量 （2-4）
（2-3）式、（2-4）式称为伯努利方程。伯努利方程给出了理想流体作定常流动时，同一流管上的任一截面处流体压强、流速和高度之间的关系。显然、rgh分别相当于单位体积流体所具有的动能和重力势能，而p则可视为单位体积流体的压强能。可见，伯努利方程实质上是能量守恒定律在流体运动中的具体表现。由于、rgh和p都是压强的量纲，因此常称为动压强，rgh＋p为静压强。
在以上的推导过程中，选择的是一段细流管内流体的运动，所涉及的压强p和流速v实际上是细流管横截面上的平均值。若令ΔS→0，流管就演变为一条流线，（2-4）式中的各量则表示在同一流线上各点的取值。可得以下结论：重力场中的理想流体作定常流动时，同一流管内（或流线上）各点的量p++rgh为一常量。

2.2 伯努利方程的应用
在流体力学中，伯努利方程十分重要，应用极其广泛。伯努利方程表明了压强、流速、高度三个变量之间的关系。压强与流速有关，也与高度有关。
一、压强与高度的关系
若流管中流体的流速不变或流速的改变可以忽略时，伯努利方程可以直接写成

或
=常量
上式表明流速不变时，理想流体稳定流动过程中流体压强能与重力势能之间的转换关系，即高处的压强较小，低处的压强较大。两点的压强差为

由此可见，静止流体是定常流动流体的特例。
（1） “管涌”的力学原理
图2-5管涌示意图
在汛期,若防洪大堤出现大面积管涌,会造成大堤溃口。管涌是如何形成的呢？为何会危及堤坝？管涌的形成原因是多方面的，一般来说，堤身下的上层是相对不透水的粘性土或壤土，其下面是粉沙、细沙，再下面是砂砾卵石等强透水层，并与河水相通(图2-5)。在汛期，水位由平时的h1增高到h2，并一直处于高水位h2状态，由于水位增高了Dh，根据伯努利方程可知，堤坝外深水区各处水的静压强相应增大，地下水经强透水层的渗流也随之增大，大堤背水侧数百米范围内表土层底部要承受很大的水压，如果这股水压冲破了粘土层，粉沙、细沙就会随水流出，形成管状的渗流通道（管涌）。因此，当堤坝防御水位提高，渗水压增大，或堤背水侧的地面粘土层厚度不够时，都有可能引发管涌。管涌一旦形成，随着出水口涌水挟沙增多，涌水量也随着增大，如将附近堤(闸)基下沙层淘空，就会导致堤（闸）身骤然下挫，甚至酿成决堤灾害。
（2） 体位对血压的影响
血液的压强简称为血压。血压的测量以心脏的位置为参考水平。根据伯努利方程，在流速不变的条件下，利用压强与高度的关系，可以解释体位因素对血压的影响。人体取平卧位时，头部与足部的动脉压大致相等，但比心脏的动脉压要略低一些；头部与脚部的静脉压大致相等，但比心脏的静脉压要略高一些。而当取直立位时，与平卧位相比，头部位置升高，位于心脏水平以上的脑的动、静脉血压会减少相当于从脑至心脏垂直高度的一段血柱的压强值；足部则高度降低，所以位于心脏水平以下的足部的动、静脉血压会增加相当于从心脏到足部垂直高度的一段血柱的压强值。因此，在测定人体血压时，应将测量部位置于心脏相同的水平位置。同理，在行手背部小静脉穿刺输液时，手背与心脏的相对高度也会对静脉压产生影响，从而影响液体的流速。
二、流速与高度的关系（小孔流速）
图2-6小孔流速
在自然界、工程技术和我们的日常生活中，存在着许多与容器排水相关的问题，如水库放水（泻洪与发电）、水塔经管道向城市供水及用吊瓶给患者输液等，其共同的特点是液体从大容器经小孔流出。如图2-6所示，大容器的下部有一个小孔，小孔的面积比容器内液体自由表面积小很多，根据连续性方程，小孔处流出液体时，容器自由表面的液面高度h下降非常缓慢，可近似认为零。若将容器中的液体看作是理想流体，对于任一流线AB，由伯努利方程得

式中p0表示大气压，v为小孔处液体流速，r为液体的密度，可得

所以理想液体从自由面下h处的小孔流出时的速率，与物体从同一高度自由落下的速率相同，与液体自身的密度无关。这一关系是意大利物理学家、数学家托里拆利（E.Torricelli）首先发现的，又称为托里拆利定理。它反映了压强不变时，理想流体稳定流动过程中，流体重力势能与动能之间的转换关系。
三、压强与流速的关系
在许多问题中，所研究的流体是在水平或接近水平条件下流动。此时，有h1=h2或h1≈h2，伯努利方程可直接写成

或
=常量
上式表明，在重力势能不变的情况下，理想流体稳定流动过程中，压强能与动能之间的转换关系，即我们早已熟知的事实：平行流动的流体，流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
（1） 流速计
图2-7流速计原理
在图2-7中，a是一根直管，b是一根直角弯管，直管下端的管口截面与流线平行，而弯管下端的管口截面与流线垂直，流体在-A处受阻形成流速为零的“滞停区”，即A点流速为零，该点称为驻点。对流线OA应用伯努利方程得
（2-5）
式中vO是O点的速率，对于粗细均匀的这段流管，也就是管中各点的速率。PA比PO大，表明流体的动压在滞停区全部转化为静压。
图2-8皮托管
（2-5）式可用来测量流体的流速，只要知道了PA与PO的差值及流体的密度r，就可以求出流体的速率vO，这就是测速用的皮托管的基本原理。图2-8是一种可以测量气体流速的皮托管的结构示意图，它由两个很细的同轴管组成，内管的开口正对气体，外管开口在管壁上，两管分别与盛有工作液体（密度为r ¢）的U型管相连。考察流线OA与QB。其中A点为驻点，流速为零，B点的流速即为气体的流速。在远处未受皮托管干扰的地方，流体以相同的速度相对皮托管作匀速运动，O、Q两点对应的量可认为是相等的；两个同轴管很细，A与A两点的高度差很小，可认为hA≈hB。由此，根据伯努利方程有

式中r为气体的密度，A、B两点的压强差为
PA - PB =r¢gh
可得气体的速率
（2-6）
（2） 流量计
汾丘里流量计的设计原理如图2-9所示，一段中间细两端粗的管子，在管子的粗、细部分分别开口接一垂直细管，测量时，将其水平接入被测管路。根据伯努利方程有

由连续性方程得
Q =S1 v1= S2 v2
所以
（2.7）
图2-9汾丘里流量计
从图2-9中可见，由于S2的截面积较小，该处细管中液体上升的高度比S1处的低，若管中的流体速度很大，则可出现S2处细管内的压强小于细管外的压强，于是该处的流体带着从管外吸入的气体（或液体）一并流走，这种现象被称为空吸作用，水流抽气机、喷雾器、汽化器等就是根据空吸作用的原理制成的。
根据压强与流速的关系，还可以解释飞机升力的形成、水翼船的高速行驶、运动中的车船具有吸引力、换气扇与吸排油烟机的原理等等。
图2-10虹吸管从水库取水
[例2-2] 用一根跨过水坝的粗细均匀的虹吸管，从水库里取水，如图2-10所示。已知虹吸管的最高点C比水库水面高2.50 m，管口出水处D比水库水面低4.50 m，设水在虹吸管内作定常流动。（1）若虹吸管的内径为1.50×10-2m2，求从虹吸管流出水的体积流量。（2）求虹吸管内B、C两处的压强。
[解]：水面为参考面，则有B、B点的高度为零，C点的高度为2.50 m，D点的高度为- 4.50 m。
（1）取虹吸管为细流管，对于流线ABCD上的A、D两点，根据伯努利方程有

由连续性方程有，因SA远大于SD，所以vA可以忽略不计，pA= pD=p0。整理后得

从虹吸管流出水的体积流量

结果表明，通过改变D点距水面的垂直距离和虹吸管内径，可以改变虹吸管流出水的体积流量。
（2）对于同一流线上A、B两点，应用伯努利方程有

即
根据连续性方程可知，均匀虹吸管内，水的速率处处相等，vB=vD。所以有

结果表明，在压强不变的情况下，流速大处压强小，流速小处，压强大。B点压强小于大气压，水能够进入虹吸管。
对于同一流线上的C、D两点，应用伯努利方程有

均匀虹吸管内，水的速率处处相等，vC=vD，整理得

可见，虹吸管最高处C点的压强比入口处B点的压强低，正是因为这一原因，水库的水才能上升到最高处，从而被引出来。

§3 黏性流体的运动
上节讨论的是仅考虑由流动性决定的流体运动规律。但实际流体是同时具有黏滞性和可压缩性的，这两种性质对实际流体的运动状态都会产生一定影响。本节我们讨论主要由黏滞性决定的流体运动的一些规律。
3.1 黏性流体的运动
一、层流
图2-11粘性流体的流动
如图2-11(a)所示，如果在一支竖直放置的玻璃管中注入无色甘油，然后在它上面再加一段着色甘油，二者之间存在明显的分界面。当打开玻璃管下端的活塞使甘油缓慢流出，经过一段时间，分界面呈“锥”型，表明沿管轴流动的甘油流速最大，而距管轴越远，甘油流速越小，在管壁上甘油附着，流速为零。这表明管内的甘油的流动是分层的，如图2-11(b)，这种流动称为层流（laminar flow）。流体层流时，流动稳定，相邻各层以不同的速度作相对运动，彼此不相混合。
流体作层流时，相邻流层作相对滑动，两层之间存在切向的相互作用力。流速快的流层对流速慢的流层的作用力方向与流速方向相同，使其加速；流速慢的流层对流速快的流层的作用力方向与流速方向相反，阻碍其流动，这对作用力即为流体的内摩擦力，也称为黏性力。
二、牛顿黏滞定律 黏性系数
黏性流体作层流时，速度的逐层变化可以用速度梯度来定量表示。如图2-11(c)所示，若相距的Dx两流层的速率差为Dv，则表示这两层之间的速率变化率，当Dx→0时，有

式中称为沿x方向（与流速方向垂直）的速率梯度。实验证明，流体内部相邻两流体层之间黏性力F的大小与这两层之间的接触面积DS及该处流体的速率梯度成正比，即
（2-8）
上式称为牛顿黏滞定律，式中的比例系数h 称为黏性系数或粘度，它是反映流体黏性的宏观物理量。黏性强的流体其黏性系数也大。黏性系数的量纲是L-1MT-1。在国际单位中，黏性系数的单位为牛顿·秒·米-2，即帕斯卡·秒（Pa·s）；在厘米·克·秒制中，黏性系数的单位是达因·秒·厘米-2，称为泊（P）。1泊（P）=0.1帕·秒（Pa·s）。
表2-1 几种流体的黏性系数
流体
温度
（℃）
黏性系数
（×10-5Pa·s）
流体
温度
（℃）
黏性系数
（×10-3Pa·s）
空气
0
1.71
水
0
1.8

20
1.82

37
0.69

100
2.71

100
0.3
氢气
20
0.88
酒精
0
1.77

251
1.30

20
1.19
二氧化碳
20
1.47
水银
0
1.68

100
1.83

20
1.55

250
2.45
蓖麻油
17.5
1225.0
氧气
20
2.03

50
122.7
氦气
20
1.96
甘油
20
8.30
甲烷
20
1.10

26.5
4.94
氨
20
0.974
血液
37
3.0~5.0
水蒸气
100
1.30
血浆
37
1.0~1.4

血清
37
0.9~1.2

表2-1 给出几种流体的黏性系数。流体的黏性系数与物质的性质有关，还与温度有关。液体的黏性系数随温度的升高而减小，气体的黏性系数随温度的升高而增大，大致以正比于的规律增大（T为绝对温度）。一般说来，液体的内摩擦力小于固体之间的摩擦力，古人开凿运河，用于运输；用机油润滑机械，减少磨损，延长使用寿命，都是这一原理的应用。气体的黏滞性则更小，气垫船的使用就是利用了气体的这一特性。
遵从牛顿黏滞定律的流体称为牛顿流体，不遵从牛顿黏滞定律的流体称为非牛顿流体。一般说来，只含有相同物质的均匀流体多为牛顿流体，而含有悬浮物或弥散物的流体则多为非牛顿流体。水、酒精、血浆都是牛顿流体，其黏性系数不随速度梯度的变化而改变；血液、胶体溶液和燃料水溶液都是非牛顿流体，它们的黏性系数随速度梯度的变化而改变，不再是常数。

相关链接：超流动性

在寒冷的冬天，随着温度降低，水蒸汽凝结成水，水又结成冰，这即是所谓的相变或者物质状态的变化，可以粗略地用经典物理理论来描述和理解。温度下降时，气体、液体和固体中的热运动就会减弱。
但是对于氦，则情况不同。自然界中，存在氦的两种同位素：4He和3He，3He极其稀少。在一个大气压下，4He在绝对温度4.125K（-269.025℃）液化，3He在绝对温度3.191K（-269.959℃）液化。1911年荷兰物理学家昂尼斯(H·K·Onnes)在实验中发现，当温度降到绝对温度2.2K（-270.95℃）附近时，液4He不但停止了收缩，反而开始膨胀。1932年昂尼斯的学生凯松（W·H·Keesom）等发现，液4He的比热曲线在绝对温度2.2K附近是不连续的，其在相应温度有一突变，形状与希腊字母l相似。这意味着相变的发生，相变点的温度被称为l点，记为Tl(-2.17K)。人们把Tl以上的液4He相称为4HeI相，Tl以下的相称为4HeⅡ相。
1938年苏联的卡皮查（P·L·Kapitaz）与英国的阿伦（J·F·Allen）和密申纳（D·Misener）分别独立发现，当温度降到-2.17K（-270.98℃）以下，4HeⅡ可以以每秒几厘米的速度轻易地流过小于0.1微米的通道，其黏度至少比4HeI小1500倍，在10-10Pa·s以下，流速几乎与通道两端的压强差大小无关，意味着此时4HeⅡ流过通道时的黏度实际上是零。卡皮查将这种4HeⅡ在极低温（-2.17K以下）情况下，没有黏滞性的流动称为超流动性。
1972年，美国物理学家李（D·M·Lee）、奥谢罗夫（D·D·Osheroff）和理查森（R·Richardson）在mK级的低温下，又发现了3He的超流动性。3He对温度的要求极为苛刻——比4He转换为超流体的温度低1000倍。
当液体变为超流体时，液体中的原子突然失去随机运动的特性，而以有序的方式运动。这种情况下液体失去所有的内摩擦力，它们可以从杯子中溢出，可以从很小的孔内流出，能无阻地穿过0.1微米的间隙，此外还表现出其它许多非经典的效应。要理解超流体的性质,必须用到量子力学，因此这种极低温下的流体又被称为量子流体。虽然超流体原理的应用尚在研究之中，但这一领域已经曙光初现。2002年，德国科学家实现了铷原子气体超流体态与绝缘态的可逆转换。世界科技界认为该成果将给量子计算机研究领域带来重大突破。
超流现象发现40年后，1978年的诺贝尔物理奖授给了卡皮查。但遗憾的是在有关超流的颁奖介绍中，没有提到阿伦和密申纳的工作。美国物理学家李、奥谢罗夫和理查森3人被授予1996年诺贝尔物理奖。苏联物理学家朗道（L·D·Landau）因其超流动性的理论研究在1962年获得诺贝尔物理奖。具有英国和美国双重国籍的科学家莱格特（A·J·Leggett）因最先成功地从理论上解释了新发现的3He的超流动性，获2003年诺贝尔物理奖。

三、湍流和雷诺数
黏性流体作层流时，层与层之间仅作相对滑动而不混合。但当流速逐渐增大到某种程度时，层流的状态就会被破坏，出现各流层相互混淆，外层的流体粒子不断卷入内层，流动显得杂乱而不稳定，甚至会出现涡旋，这种流动称为湍流（turbulent flow）。建议打开水笼头观察水的流动：流速缓慢时，细流清晰；流速略有增大后，流水出现颤动；再增大流速，流动开始紊乱。烟雾也有类似的流场特征，烟雾自下而上，先是细流清晰，而后出现紊乱。
英国科学家雷诺（O·Reynolds）最早对湍流现象进行系统研究，1883年他通过大量的实验，证实了流体在自然界存在两种迥然不同的流态，层流和湍流，并发现直圆管道中的黏性液体，其流动状态是层流还是湍流主要取决于雷诺数（Reynolds number）Re的大小。
（2-9）
式中为r 液体的密度，r为管道的半径，v是液体的平均流速，h是液体的黏性系数。雷诺数是一个无量纲的纯数，它是鉴别黏性流体流动状态的唯一的一个参数。实验表明，对于直圆管道中的流体，当Re＜1000时，流体作层流；Re＞1500时，流体作湍流；当1000＜Re＜1500时，流体可作层流也可作湍流，称为过渡流。
由（2-9）式可见，流体的黏度愈小、密度愈大、流速愈大、管半径愈大，愈容易发生湍流。在管道弯曲、分支或管半径骤变，以及流体被迫流经小孔、绕过障碍物时，较小的Re值也能发生湍流。人的心脏、主动脉以及支气管中的某些部位，容易产生湍流。
[例2-3] 若主动脉内直径约为2.5×10-2m，血液的平均流速为0.60 m·s-1，血液的黏性系数为3.5×10-3Pa·s，密度为1.05×103kg·m-3，试求雷诺数，并说明血液的流动状态。
[解]：
因Re＞1000，主动脉中血液的流动为湍流。但是由于动脉血管具有良好的弹性，同时由于心脏泵血的周期性，血管中实际的血流状况远比粘性流体在长直刚性圆管中的流动复杂。
流体在作湍流时，能量消耗比层流多，湍流与层流的主要区别之一是湍流能将一部分能量转化为声能（噪声），这在医学上具有实用价值，正是利用湍流的这一特性，医生才能利用听诊器辨别出血流的非正常情况，从而诊断某些心血管疾患；通过听取支气管、肺泡呼吸音的正常与否，诊断肺部疾病。测量血压时，在听诊器中听到的声音，也是血液通过被压扁的血管时，产生湍流所发生的。

相关链接：流动相似性

1883年英国科学家雷诺（O·Reynolds）在研究黏性流体流动状态时，引入与黏性系数有关的无量纲参量——雷诺数Re，并用它来划分层流与湍流。雷诺通过大量实验还证实了这个无量纲参数是描述黏性流体运动的相似参数，发现流动的相似性原理，即雷诺数相等的流场具有相同的流动状态和性质，也被称为雷诺相似准则。例如同在直圆管中流动，但管的粗细、流速、流体种类不同；或都是来自无穷远的均匀流动绕过圆柱体，但流速、圆柱直径、流体种类不同等等这些相似流动，根据流动的相似性原理，只要雷诺数不变，则流动性质就不变，即流动是动力相似的。
流动的相似性原理，在流体力学工程的模拟实验中有着重要的应用。例如在空气动力学的实验中，使气流通过筒形通道，观测气流或气流与物体之间相互作用的装置称风洞。设计飞行器时，将几何相似的小尺度模型置于风洞中，选择气体种类和流动方式，便雷诺数接近实际。这样，风洞中的气流将反映飞行器飞行时空气相对飞行器流动的特点。研究飞行器的性能和设计，都离不开建立在相似性原理基础上的风洞试验。同样，研究船舶的性能和设计，也都离不开建立在相似性原理基础上的水洞试验。随着工业技术的发展，从20世纪60年代开始，风洞试验（主要是低速风洞）从航空航天领域扩大到一般工业部门。如当研究设计水利工程时，可以制造远小于实物的模型，令其中流动的雷诺数与实际情况相近，则模型的流动便能反映真实流动的基本特征。对于大型工厂、矿山群，也可以做成模型，在风洞中进行防止污染和扩散的试验。

3.2 黏性流体的运动规律
一、黏性流体的伯努利方程
前面推导理想流体的伯努利方程时，我们忽略了流体的黏滞性和可压缩性，因此，该方程只适用于理想流体稳定流动的情况。黏性流体作稳定流动时，流体的可压缩性仍可以忽略不计，但是必须考虑由于黏性流体的内摩擦力引起的能量损耗。对于图2-4，黏性流体从a1a2流到b1b2位置，修正后的黏性流体的伯努利方程为
（2-10）
式中W′为单位体积流体在流管中，从a1a2流到b1b2位置过程中所消耗的机械能。
对于截面均匀的水平管，由于h1=h2，v1=v2，所以上式可写为

或
这表明，黏性流体在水平管稳定流动时，因克服内摩擦力作功，而造成流体压强下降，图2-12均匀水平管中粘性流
体的压强分布
或者说因克服内摩擦力作功，消耗了液体的压强能。即使在水平管中，也必须有一定的压强差，才能使黏性流体作稳定流动。这个结论可用图2-12所示的实验装置验证。实验显示了黏性液体在粗细均匀的水平管中作层流的情况。几根间隔均匀的竖直管中的液面表明，沿着液体流动方向，液体的压强是逐渐降低的。
二、泊肃叶公式
由图2-12可见，要使管内的黏性液体作匀速运动，必须有外力来抵消液体的内摩擦力，这个外力就是来自管道两端的压强差。1840年法国生理学家泊肃叶（J·L·M·Poiseuille）通过大量实验证明，在水平均匀的细长玻璃圆管内作层流的不可压缩黏性流体，其体积流量Q与管道两端压强梯度及管半径R的四次方成正比，即
（2-11）
式中h 为液体的黏性系数，该式称为泊肃叶公式（或泊肃叶定律）。
若令
（2-12）
则泊肃叶公式可以写成
（2-13）
或 （2-14）
式中Rf称为流阻，医学上称为血流阻力。流阻的国际制单位制是帕·秒·米-3（Pa·s·m-3）。可以看出，黏性液体在水平均匀细长刚性圆管中，以一定的平均速度流动时，流量、压强差、流阻三者之间的关系与电学中的欧姆定律相似。当流体通过几个流阻不同的管道时，可以用电阻的串并联公式来计算它的总流阻。
若流体通过n个串联在一起不同管径的水平细长圆管，其总流阻为各流阻之和，即
（2-15）
若流体通过n个并联在一起不同管径的水平细长圆管，其总流阻的倒数等于各流阻倒数之和，即
（2-16）
通常情况下，血液的循环流动从整体上看，可视为层流。医学上在研究心血管系统时，常用这些关系式近似地分析心输出量、血压降、血流阻力和外周阻力的关系。例如通过泊肃叶公式可以发现，控制血流量的最有效因素是血管半径，在其他条件不变时，血管半径增大1%，可导致血流量增大4%。反之，如果血管半径减小1%，外周阻力增大4%，则必须血压增高4%，才能保证正常的血流量。因此，扩张血管是降低血压的有效方法，降低血液黏度也可以降低血流阻力、血压，保证正常的血流量。这些都是临床治疗中经常采用的方法。
[例2-4] 成年人的主动脉内半径约为1.2×10-2m，问在一段长0.20m的血管中的血流阻力和血压降各为多少？（设血流量Q为2.7×10-4m3·s-1,血液的黏性系数h 为3.5×10-3Pa·s）
[解]：
由
得
与平均动脉压13.3kPa相比较，可知主动脉的血压降是极其微小的。
血液是黏性流体，当血液从主动脉流向外周时，要不断消耗能量，血压也就逐渐降低。在主动脉和大动脉段，血压降落较小。到小动脉时，血管变细，血流阻力大，血压降落的幅度也变大。体循环中，微动脉的血管更细，该段的血流阻力最大，血压降落也最为显著。虽然毛细血管的管径更小，但此时血液不能近似看成牛顿流体，实验和理论都表明毛细血管处的流阻比小动脉处小，血压降落较慢。因此，医学上将小动脉和微动脉对血流的阻力称为外周阻力。由于大动脉中的血压降落很小，所以通常将在上臂测得的肱动脉压代表主动脉压。

3.3 物体在黏性流体中的阻力
静止流体中的物体受到浮力的作用，黏性流体中的运动物体（根据运动的相对性，也可以看成是物体静止，流体运动）则会受到阻力作用。由流体的黏滞性所导致的这种阻力，表现为直接的黏性摩擦阻力与间接的压差阻力。
一、黏性摩擦阻力 斯托克斯阻力公式
流体与物体作相对运动时，物体表面附着了一层流体（附面层），附面层内的流体存在速率梯度，层内与物体相接触的流体微团的流速为零，层外侧的流体微团则具有流体的速度，层与层之间存在内摩擦力，表现为对物体的黏性摩擦阻力。附面层外可近似为无黏性流场。
当物体速度不大或个体较小时，物体所受到的黏性摩擦阻力与速度成正比，即
f=kv （2-17）
比例系数k取决于流体的黏性系数及与物体形状有关的几何量。1851年英国物理学家、数学家斯托克斯（G·G·Stkes）研究了小球在粘性很大的液体中缓慢运动时所受到的阻力问题，给出计算阻力的公式