理论力学第二章习题课.doc

第二章 习题解答(2.1,2.3,2.5,2.16,2.19)2.1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为,所对的圆心角为2，并证半圆片的质心离圆心的距离为。2.1 解 均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。有质心公式设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元，又因为所以对于半圆片的质心，即代入，有2.3 重为的人，手里拿着一个重为的物体。此人用与地平线成角的速度向前跳去，当他到达最高点时，将物体以相对速度u水平向后抛出，跳的距离增加了多少？2.3 解 建立如题2.3.1图所示的直角坐标，原来与共同作一个斜抛运动。当达到最高点人把物体水平抛出后，人的速度改变，设为，此人即以 的速度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以作匀速直线运动，运动的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离 第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有可知道 水平距离跳的距离增加了=2.5 半径为，质量为的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速转动，求绕此轴的动量矩。解 因为质点组队对一固定点的动量矩所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的求和变为积分。如图2.5.1图所示薄圆盘，任取一微质量元， 所以圆盘绕此轴的动量矩=2.16 雨滴落下时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。2.16解 这是一个质量增加的问题。雨滴是本题。导致雨滴变化的微元的速度。所以我们用书上p.138的（2.7.4）式分析雨滴的质量变化是一类比较特殊的变质量问题。我们知道处理这类问题常常理想化模型的几何形状。对于雨滴我们常看成球形，设其半径为，则雨滴质量是与半径的三次方成正比（密度看成一致不变的）。有题目可知质量增加率与表面积成正比。即为常数。我们对式两边求导由于=，所以对式两边积分以雨滴下降方向为正方向，对式分析 （为常数）当时，所以2.19试以行星绕太阳的运动为例，验证维里定理。计算时可利用1.9中所有的关系和公式，即认为太阳是固定不动的。2.19证 假设该行星做2.19证 假设该行星做椭圆运动，质量为，周期为。某一时刻位置为，速度为，则又因为于是=