理论力学第二章习题课.doc

第二章 习题解答
(2.1,2.3,2.5,2.16,2.19)
2.1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为,所对的圆心角为2，并证半圆片的质心离圆心的距离为。
2.1 解 均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。

有质心公式

设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元，

又因为

所以

对于半圆片的质心，即代入，有
2.3 重为的人，手里拿着一个重为的物体。此人用与地平线成角的速度向前跳去，当他到达最高点时，将物体以相对速度u水平向后抛出，跳的距离增加了多少？
2.3 解 建立如题2.3.1图所示的直角坐标，原来与共同作一个斜抛运动。

当达到最高点人把物体水平抛出后，人的速度改变，设为，此人即以 的速度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以作匀速直线运动，运动的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离
①
②
③
第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有

可知道

水平距离

跳的距离增加了
=
2.5 半径为，质量为的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速转动，求绕此轴的动量矩。
解 因为质点组队对一固定点的动量矩

所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的求和变为积分。如图2.5.1图所示薄圆盘，任取一微质量元，

所以圆盘绕此轴的动量矩
=

2.16 雨滴落下时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。
2.16解 这是一个质量增加的问题。雨滴是本题。导致雨滴变化的微元的速度。
所以我们用书上p.138的（2.7.4）式分析
①
雨滴的质量变化是一类比较特殊的变质量问题。我们知道处理这类问题常常理想化模型的几何形状。对于雨滴我们常看成球形，设其半径为，则雨滴质量是与半径的三次方成正比（密度看成一致不变的）。
②
有题目可知质量增加率与表面积成正比。即
③
为常数。我们对②式两边求导
④
由于③=④，所以
⑤
对⑤式两边积分

⑥
⑦
以雨滴下降方向为正方向，对①式分析
⑧

（为常数）
当时，，所以

2.19试以行星绕太阳的运动为例，验证维里定理。计算时可利用1.9中所有的关系和公式，即认为太阳是固定不动的。
2.19证 假设该行星做2.19证 假设该行星做椭圆运动，质量为，周期为。某一时刻位置为，速度为，则
又因为

于是
=