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集合与不等式习题
1．设集合，集合为函数的定义域，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意知，，因此，故选D.
考点：1.不等式的解法；2.集合的交集运算
2． (2012年怀化一模)若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝{x|<0}，则A∩B是 (　　)
A．{x|－1<x<－或2<x<3}
B．{x|2<x<3}
C．{x|－<x<2}
D．{x|－1<x<－}
解析：|2x－1|<3⇒－3<2x－1<3⇒－1<x<2，
∴A＝{x|－1<x<2}；
<0⇒(2x＋1)(3－x)<0⇒(2x＋1)(x－3)>0⇒x<－或x>3，
∴B＝{x|x<－或x>3}．
结合数轴：

∴A∩B＝{x|－1<x<－}．
答案：D
3．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1<x<}，则ab的值为(　　)
A．－6 B．－5
C．6 D．5
解析：因x＝－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，
∴－＝－1＋，∴＝，又－1×＝，
∴a＝－3，b＝－2，∴ab＝6.
答案：C
4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝Ø，则实数a的值的集合是 (　　)
A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4}
C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4}
解析：由题意知a＝0时，满足条件．a≠0时，
由得0<a≤4，所以0≤a≤4.
答案：D
5．设全集为，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由集合B可得,由A可得，即,故选C.
考点：集合运算
6．设集合,则下列关系中不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于，而C集合中的元素为点.所以选项A,B,C正确.
【考点】1.描述法表示集合的含义.2.集合的运算.
7．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：，故，故选B．
考点：1.一元二次不等式的解法；2. 集合的运算．
8．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或或－或1.经检验当x＝或－时满足题意，故选B.
？9．已知集合A＝{y|y＝()x2＋1，x∈R}，则满足A∩B＝B的集合B可以是(　　)
A．{0， } B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|0<x<} D．{x|x>0}
【答案】C
【解析】由题意得A＝{x|0<x≤}，B⊆A，所以选C项．
10．设全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B＝[－1，＋∞)，则下列关系正确的是(　　)
A．B⊆A B．A⊆∁UB
C．(∁UA)∪B＝B D．A∩B＝∅
【答案】C
【解析】借助数轴逐一判断．画出数轴易知A，B错误；因为∁UA⊆B，所以(∁UA)∪B＝B，故C正确；又A∩B＝(1，＋∞)，所以D错误，故选C.
11．设集合A={x|x2－(a+3)x+3a=0},B={x|x2－5x+4=0},集合A∪B中所有元素之和为8,则实数a的取值集合为( )
A.{0} B.{0,3} C.{1,3,4} D.{0,1,3,4}
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可得，当时所以，所以符合集合A∪B中所有元素之和为8，当时符合题意.当时符合题意.当时.所以.故选D.
考点：1.集合的概念.2.集合的运算.

12．已知M＝{x|x2＋x－6≤0}，N＝{x||2x＋1|>3}，则M∩N等于 (　　)
A．(－3，－2]∪[1,2] B．(－3，－2)∪(1，＋∞)
C．[－3，－2)∪(1,2] D．(－∞，－3)∪(1,2]
解析：M＝{x|(x＋3)(x－2)≤0}＝{x|－3≤x≤2}，N＝{x|x<－2，或x>1}，故M∩N＝[－3，－2)∪(1,2]．
答案：C
13．已知集合，则B中所含元素的个数为（）
A．3 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】
考点：元素与集合关系的判断．
分析：由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项
解答：解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，
x=4时，y=1，2，3，
x=3时，y=1，2，
x=2时，y=1
综上知，B中的元素个数为10个
故选D
点评：本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数
14．在上定义运算：，若不等式对任意实数都成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据定义可得不等式为即，此不等式对任意实数都成立，所以，从中解得，故选C.
考点：1.新定义；2.一元二次不等式.
15．设全集为实数集R，,则图中阴影部分表示的集合是( )

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵，∴或，∴，
∵，由图可知，阴影部分表示的是，
∴，∴阴影部分为．
考点：一元二次不等式、集合的交集补集运算．
16．若不等式的解集为{x| x<-或x>}，则的值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题可知是方程的根，则，那么．
考点:一元二次不等式的解集，根与系数的关系．
二、填空题
17．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<4}，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集为________．
解析：解法一：∵(x－2)(x－4)<0，即－x2＋6x－8>0的解集为{x|2<x<4}，
∴不妨假设a＝－1，b＝6，c＝－8，则cx2＋bx＋a<0
即为－8x2＋6x－1<0，解得{x|x>或x<}．
解法二：由题意得⇒
∴cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得{x|x>或x<}．
答案：{x|x>或x<}

18．(2012年衡水一模)已知关于x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪(－，＋∞)，则a＝________.
解析：<0⇔(ax－1)(x＋1)<0，
根据解集的结构可知，a<0且＝－，∴a＝－2.
答案：－2
19．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的图象如图所示．
由图象可知不等式f(1－x2)>f(2x)可化为
或
解得0≤x<－1＋或－1<x<0.
∴－1<x<－1＋.
答案：(－1，－1)
20．若，则的值为________．
【答案】D
【解析】因为，那么可知b=0,a=-1,那么可知=1，选D
21．对于非空实数集A，记A*＝{y|∀x∈A，y≥x}．设非空实数集合M，P，满足M⊆P.给出以下结论：
①P*⊆M*；②M*∩P≠∅；③M∩P*＝∅.
其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．
【答案】①
【解析】对于①，由M⊆P得知，集合M中的最大元素m必不超过集合P中的最大元素p，依题意有P*＝{y|y≥p}，M*＝{y|y≥m}，又m≤p，因此有P*⊆M*，①正确；对于②，取M＝P＝{y|y<1}，依题意得M*＝{y|y≥1}，此时M*∩P＝∅，因此②不正确；对于③，取M＝{0，－1,1}，P＝{y|y≤1}，此时P*＝{y|y≥1}，M∩P*＝{1}≠∅，因此③不正确．综上所述，其中正确的结论是①.
22．已知集合 ,若,,则的值等于　　　.
【答案】-7
【解析】
试题分析：因为而,,所以，即是方程的根，因此
考点：不等式解集与方程根的关系
23．若关于的不等式的解集为，则________.
【答案】
【解析】试题分析：因为等式的解集为,所以为方程的根,
即,故填.
考点：绝对值不等式 绝对值方程
三、解答题
24．解下列不等式：
(1)19x－3x2≥6；
(2)－3x2－2x＋8≥0；
(3)12x2－ax>a2(a∈R)．
解：(1)解法一：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0，
方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝，x2＝6.
函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点和(6,0)．
所以原不等式的解集为{x|≤x≤6}．
解法二：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0
⇒(3x－1)(x－6)≤0⇒(x－6)≤0.
∴原不等式的解集为{x|≤x≤6}．
(2)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
∵Δ＝100>0，∴方程3x2＋2x－8＝0的两根为－2，，结合二次函数y＝3x2＋2x－8的图象可知原不等式的解集为{x|－2≤x≤}．
(3)由12x2－ax－a2>0⇔(4x＋a)(3x－a)>0
⇔>0，
①a>0时，－<，解集为；
②a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a<0时，－>，解集为.

25． (2013年洛阳二中月考)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.

解：(1)由根与系数的关系解得a＝3.
所以不等式变为2x2－x－3>0，解集为(－∞，－1)∪.
(2)由题意知，3x2＋bx＋3≥0的解集为R，
Δ＝b2－4×3×3≤0，解得b的取值范围是[－6,6]．

26. 设，，.①=，求a的值；②，且=，求a的值；③=，求a的值；
解答:解:(1)∵B={x|x2-5x+6=0}={ 2，3 }，A∩B=A∪B，∴A=B.
∴2和3是方程 x2-ax+a2-19=0 的两个根，∴2+3=a，∴a=5.
(2)∵∅⊊(A∩B)且A∩C=∅，∴A与B有公共元素而与C无公共元素，∴3∈A
∴9-3a+a2-19=0，解得a=-2，或a=5.
当a=-2时，A={3，-5}满足题意;当a=5时，A={2，3}此时A∩C={2}不满足题意，∴a=-2
(3)A∩B=A∩C≠∅，∴2∈A，∴4-2a+a2-19=0解得a=-3，a=5.
当a=-3时，A={2，-5}满足题意;当a=5时，A={2，3}不满足题意，故a=-3.
故答案为:5，-2，-3.

27．若B={x|x2－3x+2＜0}，请问是否存在实数a，使A={x|x2－（a+a2）x+a3＜0}满足：A∩B=A？若存在，请求出a相应的取值范围；若不存在，请说明你的理由.
分析：对于不等式x2-（a+a2）x+a3＜0，用因式分解的方法来解（x-a）（x-a2）＜0好．对于条件A∩B=A，理解为A是B的子集．
解答：解：∵B={x|1＜x＜2}，若存在实数a，使A∩B=A，
则A={x|（x-a）（x-a2）＜0}．
（1）若a=a2，即a=0或a=1时，
此时A={x|（x-a）2＜0}=∅，满足A∩B=A，∴a=0或a=1；
（2）若a2＞a，即a＞1或a＜0（舍）时，A={x|a＜x＜a2}，要
使A∩B=A，则⇒1≤a≤，∴1＜a≤；
（3）若a2＜a，即0＜a＜1时，A={x|a2＜x＜a}，
要使A∩B=A，则⇒1≤a≤2，∴a∈∅．
综上所述，当1≤a≤或a=0时满足A∩B=A，
即存在实数a，使A={x|x2-（a+a2）x+a3＜0}且A∩B=A成立．
点评：解含有参数的不等式（x-a）（x-a2）＜0是本题的一个难点，应采用对a进行分类讨论的方法，本题体现了分类讨论的思想方法．

28．已知集合，.
（1）若= 3，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）实数的取值范围为.
【解析】
试题分析：（1）先解出集合A、B，再把= 3代入，即可求；
（2）若，写出满足条件的式子，解出实数的取值范围.
（1） 4分
当m=3时 7分
（2） 14分
考点：集合之间的关系、集合的运算.

29．已知集合A=，
且，求的值。
【答案】
【解析】本试题主要考查了集合的交集，并集的运算综合运用。
利用已知条件先求解A,B,C集合，然后利用集合的运算表示出a,b的值。

解：

30．集合，，，且， ，，求集合和.
【答案】
【解析】用Venn图表示集合可使逆向运算化难为易.

集合转化为.
∵，将4，5填入中；
∵，将1，2，3填入中但
不是中；∵，将6，
7，8填入中但不是中，∴剩下的9，10必在中但不是中.
由图观察得.

31．设集合，．
（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：解题思路：（1）利用解得；（2）利用无公共部分解得；
（3）得．规律总结：涉及集合的子集、交集、并集等问题，要注意利用数形结合思想借用数轴解得．注意点：在分类讨论时注意的情形．
试题解析：（1）由题意知：，，．
①当时，得，解得．
②当时，得，解得．
综上，．
（2）①当时，得，解得；
②当时，得，解得．
综上，．
由，则．
考点：1．集合的运算；2．数形结合思想；3．分类讨论思想．

32．设不等式的解集为.
（1）求集合；
（2）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）A={x|1≤x≤4}（2）的取值范围为．
【解析】
试题分析：（1）求出不等式x2≤5x-4的解集确定出集合A，
（2）若B⊆A，求实数m的取值范围进要注意B是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可．
试题解析：（1）原不等式即为x2-5x+4=（x-1）（x-4）≤0，所以1≤x≤4,
所以不等式的解集A={x|1≤x≤4}.
（2）原不等式等价于
若，则，要，只需
若，则，要，只需
若，则，符合
综上所述，的取值范围为．　
考点：一元二次不等式的解法;集合中的参数取值问题;集合包含关系的判断.

33．已知集合
（1）若，求实数m的值；
（2）设全集为R，若，求实数m的取值范围。
【答案】(1)5;(2)或.
【解析】
试题分析：（1）根据所给的两个集合的不等式，写出两个集合对应的最简形式，根据两个集合的交集，看出两个集合的端点之间的关系，求出结果．（2）根据所求的集合B，写出集合B的补集，根据集合A是B的补集的子集，求出两个集合的端点之间的关系，求出m的值．
试题解析：（1），
（2）
考点：集合之间的关系.

34．已知集合，，若，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
试题分析：解一元二次不等式，可得或，故或，，解一元二次不等式，可得当时，显然符合要求，当时，，当时，，后两种情况均可根据建立关于的不等式组，从而求得的取值范围..
或，∴或，∴，
又∵可化为，
当时，符合要求，
当时，，由，
当时，，由，
综上，的取值范围：．
考点：1.集合的关系；2.集合的运算；3.一元二次不等式.

35．设全集是实数集，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
试题分析：本试题主要是考查了集合的运算以及二次不等式求解的综合运用.(1)因为全集是实数集，，，得到，当时，，故，；(2)由于，得到集合的关系：，进而利用数轴得到的取值范围.
（1）因为，2分
， 6分
（2）因为，当时，
①当，即，满足； 8分
②当即时，
要使，需，解得 10分
综上可得，的取值范围为 12分.
考点：1.集合的运算；2.二次不等式.