第7章 假设检验.doc

第7章 假设检验习题解答
第7章 假设检验

1，一车床工人需要加工各种规格的工件，已知加工一工件所需的时间服从正态分布，均值为18分，标准差为4.62分。现希望测定，是否由于对工作的厌烦影响了他的工作效率。今测得以下数据：
21.01, 19.32, 18.76, 22.42, 20.49, 25.89, 20.11, 18.97, 20.90
试依据这些数据（取显著性水平），检验假设：
。
解：这是一个方差已知的正态总体的均值检验，属于右边检验问题，
检验统计量为
。
代入本题具体数据，得到。
检验的临界值为。
因为，所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设，即认为该工人加工一工件所需时间显著地大于18分钟。

2，《美国公共健康》杂志（1994年3月）描述涉及20143个个体的一项大规模研究。文章说从脂肪中摄取热量的平均百分比是38.4%（范围是6%到71.6%），在某一大学医院进行一项研究以判定在该医院中病人的平均摄取量是否不同于38.4%，抽取了15个病人测得平均摄取量为40.5%，样本标准差为7.5%。设样本来自正态总体，均未知。试取显著性水平检验假设：。
解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，
检验统计量为
。
代入本题具体数据，得到。
检验的临界值为。
因为，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设，即认为平均摄取量显著地为38.4%。

3，自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观察值为8.3，标准差为0.025。设样本来自正态总体，均未知。试依据这一样本取显著性水平检验假设：。
解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题，
检验统计量为
。
代入本题具体数据，得到。
检验的临界值为。
因为（或者说），所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设，即认为铜含量显著地小于8.42%。
4，测得某地区16个成年男子的体重（以公斤计）为
77.18, 80.81, 65.83, 66.28, 71.28, 79.45, 78.54, 62.20
69.01, 77.63, 74.00, 77.18, 61.29, 72.19, 90.35, 59.47
设样本来自正态总体，均未知，试取检验假设：。
解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，
检验统计量为
。
代入本题具体数据，得到。
检验的临界值为。
因为，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设，即认为该地区成年男子的平均体重为72.64公斤。

5，一工厂的经理主张一新来的雇员在参加某项工作之前至少需要培训200小时才能成为独立工作者，为了检验这一主张的合理性，随机选取10个雇员询问他们独立工作之前所经历的培训时间（小时）记录如下
208， 180，232，168，212，208，254，229，230，181
设样本来自正态总体，均未知。试取检验假设：。
解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于右边检验问题，
检验统计量为
。
代入本题具体数据，得到。
检验的临界值为。
因为，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设，即认为培训时间不超过200小时。

6，一制造商声称他的工厂生产的某种牌号的电池的寿命的方差为5000（小时2），为了检验这一主张，随机地取26只电池测得样本方差为7200小时2，有理由认为样本来自正态总体。现需取检验假设。
解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验。
检验统计量为
。
代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。
因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为电池寿命的方差为5000小时2。

7，某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下
146，141，135，142，140，143，138，137，142，136
设样本来自正态总体，均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取）：。
解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。
检验统计量为
。
代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。
因为，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设，即认为电池容量的标准差发生了显著的变化，不再为1.66。

8，设X是一头母牛生了小牛之后的305天产奶期内产出的白脱油磅数。又设X~，均未知。今测得以下数据：
425，710，661，664，732，714，934，761，744，
653，725，657，421，573，535，602，537，405，
874，791，721，849，567，468，975
试取显著性水平检验假设。
解：题中所要求检验的假设实际上等价于要求检验假设

这是一个正态总体的方差检验问题，属于右边检验。
检验统计量为
。
代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。
因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为标准差不大于140。

9，由某种铁的比热的9个观察值得到样本标准差。设样本来自正态总体，均未知。试检验假设（）。
解：题中所要求检验的假设实际上等价于要求检验假设

这是一个正态总体的方差检验问题，属于左边检验。
检验统计量为
。
代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。
因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为标准差不小于0.0100。

10，以X表示耶路撒冷新生儿的体重（以克计），设X~，均未知。现测得一容量为30的样本，得样本均值为3189，样本标准差为488。试检验假设（）：
（1）。
（2）。
解：（1）这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题，检验统计量为
。
代入本题具体数据，得到。
检验的临界值为。
因为，所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设，即认为。
（2）题中所要求检验的假设实际上等价于要求检验假设

这是一个正态总体的方差检验问题，属于右边检验。
检验统计量为
。
代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。
因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为标准差不大于525。

11，两个班级A和B，参加数学课的同一期终考试。分别在两个班级中随机地取9个，4个学生，他们的得分如下：
A班
65 68 72 75 82 85 87 91 95
B班
50 59 71 80
设A班、B班考试成绩的总体分别为， ，均未知，两样本独立。试取检验假设。
解：这是两个正态总体（方差相等但未知）均值之差的检验问题，属于右边检验。检验统计量为

代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。因为，所以样本值落入了拒绝域，因此拒绝原假设，即认为A班的考试成绩显著地大于B班的成绩。

12，溪流混浊是由于水中有悬浮固体，对一溪流的水观察了26天，一半是在晴天，一半是在下过中到大雨之后，分别以X,Y表示晴天和雨天水的混浊度（以NTU单位计）的总体，设， ，均未知。今取到X和Y的样本分别为
X: 2.9, 14.9, 1.0, 12.6, 9.4, 7.6, 3.6, 3.1, 2.7, 4.8, 3.4, 7.1, 7.2
Y: 7.8, 4.2, 2.4, 12.9, 17.3, 10.4, 5.9, 4.9, 5.1, 8.4, 10.8, 23.4, 9.7
设两样本独立。试取检验假设。
解：这是两个正态总体（方差相等但未知）均值之差的检验问题，属于左边检验。检验统计量为

代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接收原假设，即认为雨天的混浊度不必晴天的高。

13，用包装机包装产品，将产品分别装入包装机上编号为1~24的24个注入口，奇数号的注入口在机器的一边，偶数号的在机器的另一边。以分别表示自奇数号和偶数号注入口注入包装机的产品的质量（以g计）。设， ，均未知。在总体X和Y中分别取到样本:
X: 1071,1076,1070,1083,1082,1067,1078,1080,1084,1075,1080,1075
Y: 1074,1069,1067,1068,1079,1075,1082,1064,1073,1070,1072,1075
设两样本独立。试检验假设()。
解：这是两个正态总体（方差相等但未知）均值之差的检验问题，属于双边检验。检验统计量为

代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。因为，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设，即认为产品均值有显著差异。

14，测定家庭中的空气污染。令X和Y分别为房间中无吸烟者和有一名吸烟者在24小时内的悬浮颗粒量（以计）。设， ，均未知。今取到总体X的容量的样本，算得样本均值为，样本标准差为；取到总体Y的容量为11的样本，算得样本均值为，样本标准差为，两样本独立。（1）试检验假设()： 。
（2）如能接受，接着检验假设()： 。
解：（1）这是一个两个正态总体的方差之比的检验问题，属于双边检验。检验统计量为
代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为两总体方差相等。
（2）因为两总体方差相等，所以这是一个方差相等的两个正态总体的均值之差的检验问题，属于左边检验。检验统计量为

代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。因为，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设，即认为有吸烟者的房间悬浮颗粒显著大于没有吸烟者的房间。

15，分别在两种牌号的灯泡中各取样本容量为的样本，测得灯泡的寿命（以小时计）的样本方差分别为。设两样本独立，两总体分别为，分布，均未知。试检验假设()： 。
解：这是一个两个正态总体的方差之比的检验问题，属于右边检验。检验统计量为
代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为第一个总体的方差不比第二个总体的方差大。

16，在第13题中检验假设（取）
。
以说明在该题中我们假设是合理的。
解：这是一个两个正态总体的方差之比的检验问题，属于双边检验。检验统计量为 ，代入第13题中的具体数据得到。
检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为两总体方差相等。

17，将双胞胎分开来抚养，一个由父母亲自带大，另一个不是由父母亲自带大。现取14对双胞胎测试他们的智商，智商测试得分如下，
双胞胎序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
父母亲代大
23 31 25 18 19 25 28 18 25 28 22 14 34 36
非父母带大
22 31 29 24 28 31 27 15 23 27 26 19 30 28
设各对数据的差是来自正态总体的样本，均未知。问是否可以认为在两种不同的环境中长大的孩子，其智商得分是不一样的。即检验假设（取）
解：本题要求一个基于成对数据的检验，双边检验。检验统计量为

代入本题中的具体数据得到
检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为两种环境中长大的孩子智商没有显著差异。

18，医生对于慢走是否能降低血压（以Hg-mm计）这一问题的研究感兴趣。随机地选取8个病人慢走一个月，得到以下数据。
病人序号
1 2 3 4 5 6 7 8
慢走前
134 122 118 130 144 125 127 133
慢走后
130 120 123 127 138 121 132 135
设各对数据的差是来自正态总体的样本，均未知。问是否可以认为慢走后比慢走前血压有了降低。即检验假设（取）。并求的置信水平为0.95的置信区间。
解：本题要求对一组成对数据进行检验，且为右边检验。检验统计量为。
代入本题中的具体数据得到
检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为慢走对于血压的下降没有显著效果。
的置信水平为0.95的置信区间为
。
19，统计了日本西部地震在一天中发生的时间段，共观察了527次地震，这些地震在一天中的四个时间段的分布如下表
时间段
0点—6点 6点—12点 12点—18点 18点—24点
次 数
123 135 141 128
试取检验假设：地震在各个时间段内发生时等可能的。
解：根据题意，要检验以下假设：

检验统计量为，其中。
代入本题中的数据得到，检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为地震在各个时间段内发生时等可能的。

20，美国《教育统计文摘》1993年版给出该国18岁或以上的人持有学士或更高学位的年龄分布如下
年 龄
18~24 25~34 35~44 45~54 55~64 65或以上
百分比
5 29 30 16 10 10
在阿拉斯加州随机选择500个18岁或以上的持有学士或更高学位的一项调查给出如下数据
年 龄
18~24 25~34 35~44 45~54 55~64 65或以上
人 数
30 150 155 75 35 55
试取检验该地区年龄分布是否和全国一样。
解：根据题意，要检验以下假设：
阿拉斯加州的年龄分布律为
年 龄
18~24 25~34 35~44 45~54 55~64 65或以上
概 率
0.05 0.29 0.30 0.16 0.10 0.10
检验统计量为。所需计算列表如下：

30
0.05
25
36

150
0.29
145
155.172

155
0.30
150
160.167

75
0.16
80
70.313

35
0.10
50
24.5

55
0.10
50
60.5
，检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为阿拉斯加州的年龄分布与全国的分布一样。

21以下是某地区100个月中各月发生的较大的地震次数
一个月的较大的地震次数
0 1 2 3 4
月 数
57 31 8 3 1
试取检验假设数据来自泊松分布的总体。
解：以随机变量表示该地区一个月的较大的地震次数，则要检验假设，利用极大似然估计可以得到
。
检验统计量为，所需计算列表如下：

57

54.88
59.202

31

32.93
29.183

8

9.88
6.478

3

1.98
4.545

1

0.30
3.333
,检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为数据来自泊松分布的总体。

22，一供货商声称他们厂生产的电子元件的寿命（以小时计）服从均值为的指数分布。现随机地取1000只此种元件，测得如下数据。试取检验假设这些数据来自均值为的指数分布总体。
寿命

只 数
543 258 120 48 20 11
解：要检验假设这些数据来自均值为的指数分布总体。检验统计量为，所需计算列表如下：

543

527.6
558.8495

258

249.2
267.1108

120

117.7
122.3449

48

55.6
41.4388

20

26.3
15.2091

11

23.5
5.1489
,检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为数据来自均值为的指数分布总体。

23，一计算机程序用来产生在区间（0，10）均匀分布的随机变量的简单随机样本值（即产生区间（0，10）上的随机数），以下是相继得到的250个数据的分布情况。试取检验这些数据是否来自均匀分布U(0,10)的总体。亦即检验这一程序是否符合要求。
数据所在区间
0~1.99 2~3.99 4~5.99 6~7.99 8~9.99
频 数
38 55 54 41 62
解：要检验假设这些数据来自均匀分布U(0,10)的总体。检验统计量为，所需计算列表如下：

38
0.2
50
28.88

55
0.2
50
60.5

54
0.2
50
58.32

41
0.2
50
33.62

62
0.2
50
76.88
,检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为这些数据来自均匀分布U(0,10)的总体。这一程序符合要求。

24，下面给出了某医院在1978年统计的70位孕妇的怀孕期（以日计），试取检验这些数据是否来自正态总体。
251， 264， 234， 283， 226， 244， 269， 241， 276， 274
263， 243， 254， 276， 241， 232， 260， 248， 284， 253
265， 235， 259， 279， 256， 256， 254， 256， 250， 269
240， 261， 263， 262， 259， 230， 268， 284， 259， 261
268， 268， 264， 271， 263， 259， 294， 259， 263， 278
267， 293， 247， 244， 250， 266， 286， 263， 274， 253
281， 286， 266， 249， 255， 233， 245， 266， 265， 264
解：本题要求检验：数据来自正态分布。根据极大似然估计计算出，，。
使用分布拟合检验，检验统计量为。数据被分成8组，频数表如下。
怀孕天数
人 数
怀孕天数
人 数
219.5~229.5
1
259.5~269.5
23
229.5~239.5
5
269.5~279.5
7
239.5~249.5
10
279.5~289.5
6
249.5~259.5
16
289.5~299.5
2

检验过程中所需计算列表如下：

1

1.519
0.65833

5

4.564
5.47765

10

10.64
9.39850

16

16.884
15.16228

23

17.192
30.77013

7

11.935
4.10557

6

5.299
6.79373

2

1.967
2.03355
,检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为这些数据来自正态总体。（本章习题解答完毕）
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