专题七-距离空间的可分性与完备性(投).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,距离空间的可分性,有理数在实数集中的稠密性,专题七 距离空间的可分性与完备性,距离空间的完备性,实数的完备性,一般距离空间的完备化,1,已知：,在实直线上，,存在一个处处稠密的可数子集,Q,且成立完备性定理（即柯西收敛原理,),。,问题：,在一般的距离空间中，是否存在一个处处稠密,的可数子集？完备性定理是否总成立？,2,一、距离空间的可分性,1.,距离空间中的稠密子集,定义,1,（,稠密性,),设,X,是距离空间,，,AX,，,BX,.,(1)B,在,A,中稠密,若对于,xA,x,n,B,使,x,n,x(n),(2),B,在,X,中处处稠密,(,或,B,是,X,的一个稠密子集,),若对于,xX,x,n,B,使,x,n,x(n).,注,:1),B,在,A,中稠密,xA,0,S(x,),内含有,B,中的点,xA,有,xB,或,xB,AB,2)B,在,X,中稠密,xX,0,S(x,),内含有,B,中的点,xX,有,xB,或,xB,XB B=X,3,例,1,有理数集在,R,中处处稠密,例,2 R,n,中的有理点集在,R,n,中稠密可数,例,3,多项式集合,P,在,C a,b,L,P,a,b,中处处稠密,(,魏尔斯特拉斯一致逼近定理,:,x(t)Ca,b,p,n,(t)P,使,p,n,(t),x(t)(n),即,p,n,(t),按,Ca,b,中的距离收敛于,x(t).,4,例,4 a,b,上的有界可测函数集合,Ba,b,在,L,p,a,b(p,1),中处处稠密,.,证,:,x(t)L,p,a,b,做函数列,x,n,(t)(n=1,2,),是,a,b,上的有界可测函数,且有,x(t)L,p,a,b,x(t),p,L,1,a,b,0,0,使当,E,0,E=a,b,m(E,0,)N,时,m(E(xn)0,=(/2K),p,y(t)Ca,b,使得,m(E(x(t)y(t)(,由鲁金定理,),不妨设,y(t)K,E,0,=E(x(t)y(t),(x,y)0,p(t)PCa,b,使,(x,p)=max,|x(t)-p(t)|0,p,0,(t)P,0,P,使,(p,p,0,)=max|p(t)-p,0,(t)|,p,0,(t)P,0,PCa,b,使,(x,p,0,)=max|x(t)-p,0,(t)|,max|x(t)-p(t)|+max|p(t)-p,0,(t)|,0,有理系数多项式,p,0,(t)P,0,，使,C,(x,p,0,)=max,|x(t)-p,0,(t)|/(b-a,)1/p,例,5 L,P,a,b,是可分的,.,（多项式集合,P,在,C a,b,L,P,a,b,中稠密,有理系数多项式集合,P,0,在,L,p,a,b,中稠密可数）,9,例,6,l,p,(,p,1),与,c,都,是可分的,.,（有理点集,A=x=(x,1,x,n,0,),|x,i,Q,在,l,p,(,p,1),和,c,中都处处稠密）,例,7,设,X,是离散距离空间,证明,X,可分,X,是可数集,证,：,在离散距离空间中没有稠密真子集，所以,X,中唯一的稠密子集只有,X,自身,。,故,X,可分,X,可数。,注,：可见,并非所有的距离空间都是可分的,。,10,注：,定义在任何一个势为,(,即不可数,),非空集合上的离散距离空间一定是不可分的。,(,上例中的,A,也是不可分的。,),2,）,证明,m,中没有可数稠密子集,(,反证法,),设,m,可分,A,0,=x=(,1,2,n,),|,i,|,K,m,可数,且在,m,中稠密,A,0,=x,1,x,2,x,k,其中,x,k,=(,1,(k),2,(k),n,(k),),，,且,A,m,S(x,k,1/3,）,(k=1,2,),A,0,可数,A,不可,x,yA,xy,并,x,0,A,0,使,S(x,0,1/3)x,y,1=(x,y)(x,x,0,)+(x,0,y)0,N=N(),当,m,nN,时,有,(x,m,x,n,)0,N,当,m,nN,时,同时有,(x,n,x)/2,(x,m,x)N,时,有,(x,m,x,n,)(x,n,x)+(x,m,x)0,N=N(),当,m,nN,时,有,(x,n,x,m,)=max,|x,n,(t)-x,m,(t)|N,时,，,有,|,x,n,(t)-x,m,(t)|,N,时,有,设,x,i,(,k,),x,i,(k)(,i,=1,2,n),令,x=(,x,1,x,n,)R,n,（,k,）,R,n,按欧氏距离构成的欧氏空间是完备的,.,x,i,(,k,),是基本列,因而,x,i,(,k,),收敛,0,N,当,k,jN,时,有,0,N,当,kN,j,时，有,15,例,6,空间,L,P,a,b,、,l,p,、,l,(or,m),、,c,均为完备的距离空间。,证,:,x,(,k,),l,为一基本列,对于,i,=1,2,n,当,k,j,N,时,有,|,x,i,(,k,),x,i,(,j,),|N,时，有,x,(k),l,x,i,(k),M,k,(k=1,2,),x,i,x,i,-x,i,(k),+x,i,(k),+M,k,i=1,2,x=x,1,x,2,x,n,),l,0,N,当,k,jN,时,有,16,例,6,有理数集,Q,按距离,(x,y)=,|x-y|,是距离空间,但不完备,.,事实上，在有理数集,Q,中，有理数列,(1+1/n),n,收敛,因而是基本列,但其极限为,eQ,，故,Q,不完备,.,例,7 a,b,上实系数多项式全体,Pa,b,按,Ca,b,中通常的距离构成,Ca,b,的子空间,但它是不完备的距离空间。,事实上,存在多项式列,p,n,(t),一致收敛于,x(t):,x(t),Ca,b.x(t)Pa,b,(,但是确实存在着不完备的距离空间,),17,例,9 C0,1,按距离 构成的距离空间,是,L,1,0,1,的子空间，但它按,1,(x,y),不完备,.,证,:,构造函数列,x,m,(t)C0,1:,(,m,=1,2,),x,m,C0,1,是基本列。,0,1,1/2,a,m,0,1,1/2,a,m,a,n,18,如果存在,x(t),使,1,(x,m,x)0(m),由于,显然,x(t),C0,1,，所以,C0,1,按距离,1,(x,y),不完备。,可以证明,x,m,在,C0,1,中按,1,(x,y),不收敛。,19,例,10 Ca,b,按距离 构成的距离,空间是,L,2,a,b,的子空间，,但它按,2,(x,y),不完备,.,证,:,构造函数列,x,n,(t)Ca,b:,|x,n,(t)|0,N0,当,nN,时,(x,n,x)N,mN,时,(x,n,x,m,)(x,n,x)+(x,x,m,)m)x,n,S,n,S,m,(x,m,x,n,)r,m,0(m,nm)x,n,X,是基本列,X,完备,xX,使,x,n,x(n),(x,n,x,m,)r,m,x,n,x(x,m,x,n,)(x,m,x)r,m,(m=1,2,),xS(x,m,)(m=1,2,),2,）,唯一性,(x,y)r,n,0 (n)(x,y)=0,3.,完备距离空间的两个基本定理,23,定义,5,（稀疏集与第二纲集）设,X,是距离空间,1,）若,X,中任一个球都含有某一个球，使后者不含,A,的点，则称,A,为,X,中的稀疏集（疏朗集）。,2,）若,A=,A,n,，每个,A,n,都在,X,内稀疏，则称,A,是在,X,内的第一纲集,而,X,内的非第一纲集的集合称为第二纲集,.,注：,1,在稀疏集定义中，“任意球”可以是开球或闭球,.,2,在,R,中，有理数集是第一纲集，而无理数集是第二纲集。,24,定理,3,设,X,是距离空间，,A,是稀疏集,A,不在,X,的任意球中稠密。,证“”设,A,稀疏,S(x,0,),S(x,1,)S(x,0,),使,S(x,1,)A=,A,不在,S(x,0,),中稠密,“”设,A,不在任一球中稠密,S(x,0,),x,1,S(x,0,),但,x,1,A,S(x,1,)S(x,0,),使,S(x,1,)A=,定理,4(,第二纲集定理,),设,X,是完备的距离空间，则,X,是第二纲集。,推论：给定完备的距离空间,X,，若,A,X,是第一纲集，则,A,C,是第二纲集。,例如：由于有理数是,R,内的第一纲集，故无理数是,R,内的第二纲集。,25,注：,1,）,闭球套定理是完备距离空间中的重要定理之一；,刻划了距离空间的完备性；,是实数中的康托区间套定理的推广。,2,）第二纲集定理是完备距离空间的重要定理之二。,26,完备性可以使空间具有很好的性质和广泛的应用，对于不完备的距离空间，它在应用上将会造成很多困难。,4.,距离空间的完备化,问题：能否在不完备的距离空间中补充一些新,“,点,”,，使之成为完备的距离空间？,例如在有理数集,Q,中加入,“,无理数,”,，便得到完备巨龙间,R,，并且,Q,在,R,中稠密。这就是所谓的距离空间完备化问题。,定义,6,（等距映射与等距同构）设,(X,X,),和,(Y,Y,),是两个距离空间,如果存在一个满射,T:XY,使得,x,yX,有,Y,(Tx,Ty)=,X,(x,y),则称,T,使,X,到,Y,的,等距映射,，并称,X,与,Y,是,等距同构,的。,27,定义,7,（完备化空间）设,(X,X,),是距离空间,(Y,Y,),是一个完备的距离空间，,Y,1,Y,如果,(1)X,与,Y,1,等距同构；,(2)Y,1,在,Y,内稠密,则称,Y,是,X,的,完备化空间,定理,4,（完备化空间的存在性）设,(X,X,),是任一距离空间,则必存在唯一完备的距离空间,(Y,Y,),，使,X,与,Y,的一个稠密子集,Y,1,等距同构,注：泛函分析中，把两个等距同构的距离空间不加区别而视为同一。,28,