第一章 答案.doc

习题1.1
1、写出下列随机试验的样本空间.
（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.
（2）在单位园中任取一点记录其坐标.
（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和.
解：（1）
（2）
（3）
2、同时掷两颗骰子，、分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，表示“点数之差为零”，表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件，，.
解：

3、设某人向靶子射击3次，用表示“第次射击击中靶子”（），试用语言描述下列事件.
（1） （2） （3）
解：（1）第1，2次都没有中靶
（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶
（3）第二次中靶
4．设某人向一把子射击三次，用表示“第次射击击中靶子”（=1，2，3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：
（1）“至少有一次击中靶子”可表示为 ；
（2）“恰有一次击中靶子”可表示为 ；
（3）“至少有两次击中靶子”可表示为 ；
（4）“三次全部击中靶子”可表示为 ；
（5）“三次均未击中靶子”可表示为 ；
（6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 .
解：（1）; (2) ;
(3); (4) ; (5)
(6)
5.证明下列各题
（1） （2）
证明：（1）右边==且=左边
（2）右边==
习题1.2
1.设A、B、C三事件，, ，求A、B、C至少有一个发生的概率.
解：

=
2.已知 ， ， ，求 （1） ， (2)， (3)， (4).
解：（1）

（2）

3.设=0.2 =0.6 .互斥，求.
解：互斥，
故
4.设A、B是两事件且=0.4,
（1）在什么条件下取到最大值，最大值是多少？
（2）在什么条件下取到最小值，最小值是多少？
解：由加法公式=
（1）由于当时，达到最小， 即，则此时取到最大值，最大值为0.4
（2）当达到最大， 即，则此时取到最小值，最小值为0.2
5.设

求
解：

=
习题1.3
1.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.
解：设事件={3张中至少有2张花色相同}
则={3张中花色各不相同}

2.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.
解法一 随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有种取法，而发生“某一个部件强度太弱”这一事件只有这一种取法，其概率为，而10个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为

解法二 样本空间的样本点的总数为，而发生“一个部件强度太弱”这一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为

3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.
解法一 设表示“取出的3个数之积能被10整除”，
表示“取出的3个数中含有数字5”，
表示“取出的3个数中含有数字偶数”，

解法二设，。
则

由于是有放回地取数，所以各次抽取结果相互独立，并且
，

因此
4.袋内装有两个5分，三个2分，五个1分的硬币，任意取出5个，求总数超过1角的概率.
解 共10个钱币，任取5个，基本事件的总数，有利的情况，即5个钱币总数超过一角的情形可列举6种（1）5，5，2，2，2；（2）5,5,2,2,1;(3)5,5,2,1,1;(4)5,5,1,1,1;(5)5,2,2,2,1;(6)5,2,2,1,1.故包含的基本事件数为

故所求概率为
5.设有N件产品，其中M件次品，今从中任取件，
（1）求其中恰有件次品的概率；
（2）求其中至少有2件次品的概率.
解：（1） （2）1-
6．设n个朋友随机的围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：
（1）甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边；
（2）甲、乙、丙三人坐在一起；
（3）如果n个人并列坐在一张长桌的一边，再求上述事件的概率.
解（1）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为
而事件为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件发生的样本点个数为
于是
（2）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为，而事件为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件发生的样本点个数为
于是
（3）n个人并列坐在一张长桌的一边，样本空间样本点总数为，
而事件为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件发生的样本点个数为
于是
而事件为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件发生的样本点个数为
于是
7.在一分钟内，一个正常信号与一个干扰信号均随机地各出现一次，设正常信号出现后持续10秒钟，干扰信号出现后持续5秒钟，若这两个信号相遇，则系统就受干扰了，求系统受干扰的概率.
解

样本空间的面积
系统受干扰的面积（阴影部分面积）
系统受干扰的概率0.2326
8.两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1h和2h，求有一艘轮船停靠泊位时不需要等待一段时间的概率.
X
解 Y

=0.8793
习题1.4
1.一盒中有新旧两种乒乓球100只，其中新球中有40只白的和30只黄的，旧球中有20只白的和10只黄的.现从中任取一只，则：
（1）取到一只新球的概率是 ；
（2）取到一只黄球的概率是 ；
（3）已知取到的是新球，该球是黄球的概率是 ；
（4）取到一只新黄球的概率是 .
解（1）0.7 （2）0.4 （3）3/7 （4）0.3
2.已知 求
解

3.已知，求.
解

4.掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）.
解法一 设事件为“两颗骰子点数之和为7”，事件“一颗骰子点数为1”，所求概率为

解法二 点数为7的种数为3（6，1；5，2；3，4），其中一个点数为1的种数为1，则所求概率为1、
5.已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率.
（1）两只都是正品， （2）两只都是次品，
（3）一只是正品，一只是次品， （4）第二次取出的是次品.
解（1）
（2）
（3）
（4）第一次取出的是正品而第二次取出的是次品的概率

第一次取出的是次品而第二次取出的是次品的概率

所以第二次取出的是次品的概率为
6.由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15，刮风（用B表示）的概率为7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求、、.
解

7.12个乒乓球中有9个新的，3个旧的，第一次比赛取出了3个，用完后放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.
解 设表示第一次比赛时用了个新球，表示第二次取到的3个球中有2个新球的概率.
由全概率公式

8.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取4只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？
解 设表示箱中有件次品，表示顾客买下该箱玻璃杯
（1）由全概率公式

（2）由贝叶斯公式

9.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求
（1）第一次取出的零件是一等品的概率；
（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.
解 设表示从第箱中取得的是一等品（取出的零件不放回），表示从第一箱中取零件，表示从第二箱中取零件
（1）由全概率公式

（2）由全概率公式

因此有

习题1.5
1.已知, , ,
(1)若事件与互不相容，求；
(2)若事件与相互独立，求.
解（1）

于是
（2）即
于是
2.甲、乙两人射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，两人同时独立射击，求(1)两人都中靶的概率； (2)甲中乙不中的概率； (3)乙中甲不中的概率.
解 设表示甲击中，表示乙击中
（1）
（2）
（3）
3.甲、乙、丙三人独立的去破译一个密码，他们各自能破译该密码的概率分别为，求：（1）该密码能被他们破译的概率；（2）该密码被仅仅三人中的一人破译的概率.
解 设分别表示甲、乙、丙独立的去破译出密码，
（1）该密码能被他们破译的概率为

（2）该密码被仅仅三人中的一人破译的概率为

4.某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是0.7，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率.
解 作出正确决策的概率为.

5.某电子元件在每一次试验中发生故障的概率为0.3，当故障发生不少于3次时，指示灯发出信号
（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；
（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.
解（1）进行了5次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为

（2）进行了7次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为

6.甲乙为交战双方，甲方一架飞机要飞过乙方的一个高炮阵地，假设该处每门炮能够击落该飞机的概率均为0.4，若要保证以不低于95%的概率击落该飞机，那么该阵地至少需要配置多少门这种高炮？
解 设表示击落该飞机（即至少有一门炮击中飞机），且需要配置门这种高炮

因此若要保证以不低于95%的概率击落该飞机，那么该阵地至少需要配置6门这种高炮.
7.某射手射靶5次，各次射中的概率都是0.6，求下列各事件的概率：
（1）前3次中靶，后2次脱靶；
（2）第一、三、五次中靶，第二、四次脱靶；
（3）五次中恰有三次中靶；
（4）五次中至少1次中靶.
解 设表示第次中靶
（1）

（2）

（3）
（4）

第一章复习题(A)
1.填空题
（1）设,,,则= , = , .
答案; 1.(1)0.1 0.5 0.9
（2）设，是任意两个随机事件,则 答案0
（3）设，相互独立，=0.6, ,则
答案：
2.选择题
（1）设，，，则下列结论正确的是 .
A.事件A与事件B相互独立, B.事件A与事件B互逆,
C., D..
答案：A
（2）设，是任意两个随机事件,且，则下列结论正确的是 .
A., B.,
C. , D. .
答案：A
（3）设A，B为两个互斥事件，且，则下列结论正确的是 .
A. B.
C. D.
答案:C
（4）设表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 .
A.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”， B.“甲种产品滞销”，
C.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”. D.“甲、乙都畅销”，
答案：A
3、设事件满足，试把下列事件表示为互不相容的事件的和：
.
答案：（1）
（2） （3）
4.设为两事件，且设 求.
解：

5.在某城市中发行三种报纸经调查，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有30%，同时订阅A及B报的有10%，同时订阅A及C报的有8%，同时订阅B及C报的有5%，同时订阅报的有3%，试求下列事件的概率：
（1）只订A报的； （2）只订A及B报的； （3）只订一种报纸的；
（4）正好订两种报纸的； （5）至少订阅一种报纸的.
解：（1）

（2）
（3）
=++
=

(4)
=++

（5）
=0.45+0.35+0.30-0.10-0.08-0.05+0.03=0.90
（6）
6.从5个数字1，2，3，4，5中等可能地，有放回地连续抽取3个数字，试求下列事件的概率：事件“三个数字完全不同”，事件“三个数字不含1和5”，事件“三个数字中5恰好出现两次”，事件“三个数字中5至少出现一次”.
解：（1）
（2）
（3）= 0.096
（4）0.512
7.将个球随机地放入（≥）个盒子中去，设盒子的容量不限，试求
（1）每个盒子至多有一只球的概率；
（2）个盒子中各有一球的概率.
解：（1）每个盒子至多有一只球共有种不同的方法，每一个 球都可以放入个盒子中的任意一个盒子，共有种不同的方法，故所求概率为
（2）个盒子可以有种不同的选法，对于选定的个盒子，每个盒子各有一个球的放法有种。故所求概率为
8.某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项同时都投资的概率为0.19，
（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？
（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解：记A={把资金投入基金}，B={购买股票}，依题意有

（1）所求概率为：
（2）所求概率为：
9.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8、0.7，在两批种子中任意选取一颗，试求：（1）这两颗种子都能发芽的概率.(2)至少有一颗发芽的概率.
解：A={甲发芽}，B={乙发芽}
（1）
（2）
10.某商场各柜台受到消费者投诉的事件数为0,1,2三种情形，其概率分别为0.6,0.3,0.1有关部门每月抽查商场的两个柜台，规定：如果两个柜台受到投诉的事件数之和超过1，则给商场通报批评；若一年中有三个月受到通报批评，则该商场受挂牌处分一年，求该商场受处分的概率.
解：记A={商场某月受到通报批评}
={第一个柜台受次投诉的事件}
={第二个柜台受次投诉的事件}
则

以X记一年中受到通报批评的次数，则

11.第一个盒子中有5只红球，4只白球，第二个盒子中有4只红球，5只白球，先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取一球，求取到白球的概率.
解;设为“从第一个盒子中取到只白球”
A为“从第二个盒子中取到白球”
由全概率公式

12.甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7，如果只有1人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击浇的概率.
解：设分别表示甲、乙、丙击中飞机，表示有个人击中飞机

由全概率公式

13.有两批产品：第一批20件，有5件特级品；第二批12件，有两件特级品，今按下列两种方法抽样：
（1）将两种产品混在一起，从中任取2件；
（2）从第一批中任取2件混入第二批中，再从混合后的第2批中任取2件；
试分别求出两种抽样情况下所抽两件都是特级品的概率.
解：设A为“取到的两件是第一批的产品”
B为“取到的两件是第二的产品”
AB为“取到的两件，一个是第一批的，一个是第二批的“
C为“所抽两件都是特级品”
（1）解法一
解法二：

（2）设为“从第一批中任取2件有件特级品”
由全概率公式

14.某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格，如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2，如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6，如果三个部件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9.
（1）求仪器的不合格率；
（2）如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大.
解：设B为“仪器不合格”
为“仪器上有个部件不是优质品”
，，，

（1）由全概率公式，有

（2）由贝叶斯公式，有

由此可知，一台不合格仪器中有一个部件不是优质品的概率最大.
第一章复习题(B)

1.填空题
（1）设事件、、相互独立,且 ，,
,则= .
解：

解方程得

由题意
故
（2）设事件，相互独立,且和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相等，则= .
解：根据题意设有

注意到

由有
于是，由事件的独立性及得
解方程得

故

（3）设事件、、,且,则= .
解：

2.选择题
（1）设当事件与同时发生时也发生，则 .
A., B.,
C., D. .
解：已知

故选(D)
解法二：已知，

于是，，选(D)

（2）设，，则下列结论正确的是 .
A.,
B.,
C.,
D. .
解：依题意设

从而
故选B
（3）设事件、、两两相互独立,则、、相互独立的充要条件为 ,
A.与独立. B.与独立.
C.与独立. D.与独立.
解：应该选择A，证明如下：
必要性：设、、相互独立的事件
则有
故事件A与BC独立，从而必要性成立。
充分性：设、、两两相互独立,且与独立.
于是有

由定义知、、相互独立，从而充分性成立。
3.设、独立，，，证明：.
证明：因为，，

而

于是
4.从5双不同的鞋子中任取4只，求取得的4只鞋子中至少有2只配成一双的概率.
解法一 设A表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”
表示“4只鞋子均不成双”
样本点的总数为，
的样本点为（因为第一只鞋子是从5双中选一只有10种选法，
第二只鞋子是从4双中选一只有8种选法，第三只鞋子是从3双中选一只有6种选法，第四只鞋子是从2双中选一只有4种选法）

解法二 样本点的总数为，
的样本点为（因为从5双中任选4双，再从每双中任意取一只）

5.4张卡片标着1到4，面朝下放在桌子上，一个自称有透视能力的人将用他超感觉的能力说出卡上的号码，如果他是冒充者而只是随机地猜一下，他至少猜中一个的概率是多少？
解：A表示“至少猜中一个’
表示“4个全部猜错”

6.一袋中装有只黑球1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第次摸球时，摸到黑球的概率是多少？
解：设A表示“第次摸球时，摸到黑球”
表示第次摸球时，摸到白球”
因为袋中只有一只白球，而每次摸到白球时换入一只黑球放入，故为了第k次摸到白球，则前次一定摸到的是黑球
故
于是所求概率为
7.设分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求方程有实根的概率和有重根的概率.
解：一枚骰子接连掷两次，样本点总数为36，方程组有实数根的充分必要条件为
注意到
B
1 2 3 4 5 6
使的样本点个数
0 1 2 4 6 6
使的样本点个数
0 1 0 1 0 0
由此可见，方程有实根的概率
方程有重根的概率为
8.随机地向半圆（为正常数）内扔一个点，点落在半圆内任何区域内的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率.
解：以D表示半圆，由题设，点应该落在如图的阴影部分G，G的面积为（在极坐标系中计算）

（或G的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上个圆的面积）
D
G
y
x

故
9.设，，证明：独立.
证明：

独立
10.设第一只盒子中装有3只兰球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只兰球，3只绿球，4只白球，独立地分别在两只盒子中各取一只球.
(1)求至少有一只兰球的概率；
(2)球有一只兰球一只白球的概率；
(3)已知至少有一只兰球，求有一只半求一只白球的概率.
解：设={从第只盒子中取得一只白球}
={从第只盒子中取得一只蓝球}
由题设在不同盒子则取球是相互独立的
（1）所求的概率为

（2）因为，则
所求的概率为

（3）
所求的概率为

11. 要验收一批100件的乐器,验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收，设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？
解：设={随机地取3件乐器，其中有件是音色不纯的}（）
A={这批乐器被接收}
，，

，，，
故由全概率公式有

12.设一枚深水炸弹击沉一艘水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率为1/6，并设击伤两次会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.
解：设A为“施放4枚深水炸弹，击沉潜水艇”
B为“施放4枚深水炸弹，均未击中潜水艇”
C为“施放4枚深水炸弹，恰有一枚击则潜水艇”
，

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