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均布载荷的平面曲杆怎么求得弯曲内力

弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。

梁Beam——以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。

弯曲bending

平面弯曲plane bending

7.1.2梁的计算简图

载荷：

（1）集中力 concentrated loads

（2）集中力偶 force-couple

（3）分布载荷 distributed loads

7.1.3梁的类型

(1)简支梁simple supported beam 上图

(2)外伸梁overhanging beam

(3)悬臂梁cantilever beam

7.2 梁弯曲时的内力

7.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力shearing force和弯矩bending moment

问题：

任截面处有何内力？

该内力正负如何规定？

例7－1 图示的悬臂梁 AB ，长为 l ，受均布载荷 q 的作用，求梁各横截面上的内力。

求内力的方法——截面法

截面法的核心——截开、代替、平衡

内力与外力平衡

解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开 。

梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力。

剪力 —— 作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。

弯矩 —— 位于纵向对称面内。

剪切弯曲 —— 横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。

纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

   工程上一般梁（跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h ＞5），其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。

规定：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负。

7.2.2弯矩图bending moment diagrams

弯矩图：以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。

例7－2 试作出例7－1中悬臂梁的弯矩图。

解 （1）建立弯矩方程 由例7－1知弯矩方程为

（2）画弯矩图

   弯矩方程为一元二次方程，其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。

例7－3 图示的简支梁 AB ，在C点处受到集中力 F 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均为已知，试作出梁的弯矩图。

解 （1）求约束反力

（2）建立弯矩方程 上例中梁受连续均布载荷作用，各横截面上的弯矩为x的一个连续函数，故弯矩可用一个方程来表达，而本例在梁的C点处有集中力F作用，所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。

例7－4 图示的简支梁 AB ，在C点处受到集中力偶 M 0 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均为已知，试作出梁的弯矩图。

解 （1）求约束反力

（2）建立弯矩方程 由于梁在C点处有集中力偶M作用，所以梁应分AC和BC两段分别建立弯矩方程。

（3）画弯矩图

两个弯矩方程均为直线方程

总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律：

（1）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小 。

（2）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致 。

（3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。

7.3 梁纯弯曲时的强度条件

7.3.1梁纯弯曲(pure bending)的概念Concepts

纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

Q = 0，M = 常数。

7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力  Normal Stresses in Beams

1．梁纯弯曲时的 变形特点 Geometry of Deformation:

平面假设：

1）变形前为平面变形后仍为平面  

2）始终垂直与轴线  

中性层 Neutral Surface ：既不缩短也不伸长（不受压不受拉）。

中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。

中性轴 Neutral Axis ：中性层与横截面的交线。

变形时横截面是绕中性轴旋转的。

2．梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律  

纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。

   由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。

以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零 。

3．梁纯弯曲时正应力计算公式  

   在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为

式中， M 为作用在该截面上的弯矩（ Nmm ）； y 为计算点到中性轴的距离（ mm ）； Iz Moment of Area about Z-axis 为横截面对中性轴z的惯性矩（ mm 4 ）。

   在中性轴上 y = 0 ，所以 s = 0 ；当 y = y max 时， s = s max 。

   最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处，

Wz横截面对中性轴 z 的抗弯截面模量( mm 3 )

计算时， M 和 y 均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。

   弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪切弯曲的梁，只要其跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h ＞5，仍可运用这些公式计算弯曲正应力。

7.3.3惯性矩和抗弯截面模量

简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式

7. 3.4梁纯弯曲时的强度条件

对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为 危险点 。

梁的弯曲强度条件是 ： 梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。

   运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。

7.4 提高梁强度的主要措施

   提高梁强度的主要措施是：

1）降低弯矩 M 的数值 2)增大抗弯截面模量 W z 的数值

7.4.1降低最大弯矩 M max 数值的措施

1．合理安排梁的支承

2．合理布置载荷

7.4.2合理选择梁的截面

1．形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式，则 Wz 值可能不相同

2．面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量 Wz 值不相同

3．截面形状应与材料特性相适应

7.4.3采用等强度梁

对于等截面梁，除 M max 所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于许用应力。

   为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。

等强度梁 ——使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称之。《建筑桩基技术规范》按梁上荷载分布将承台梁分为4种情况(图1)。内力计算根据荷载情况分跨中和支座分别计算见表1。
 在表1的公式(1)～(7)中
 p0——线荷载的最大值(kN/m),p0＝
 a0——自桩边算起的三角形荷载的底边长度;
 LC——计算跨度,LC＝1．05L;
 L——两相邻桩之间的净距;
 q——承台梁底面以上的均布荷载。

表1 墙下条形桩基连续承台梁内力计算公式

内力 计算简图编号 内 力 计 算 公 式
支座
弯矩 （a）、（b）、（c）
           （1）

（d） M＝－                  （2）

跨中
弯矩 （a）、（c） M＝                （3）

（b）
      （4）

（d）
M＝                  （5）

最大
剪力 （a）、（b）、（c）
Q＝                  （6）

（d）
Q＝                  （7）

图1 计算简图

a0按下式计算:
 中间跨                    （8）

 边 跨                     （9）
 其中 EC——承台梁砼弹性模量;
    EK——墙体的弹性模量;
    I——承台梁横截面的惯性矩;
    bK——墙体宽度。
 当承台梁为矩形截面时,I＝bh3
 则: 中间跨           a0＝1．37h      （10）

    边 跨          a0＝1．05h        （11）
 其中 b、h——分别为承台梁的宽度和高度。
 表1中弯矩公式共5个,公式中荷载取值也不统一,式(1)、(3)、(4)采用P0,式(2)、(5)采用q,这也给计算带来了不便。下面分别对跨中和支座弯矩进行分析。
 (1)跨中弯矩 从计算简图可看出,(d)图是(b)图所示受力情况的特例,当a0≥LC时,取a0＝LC代入式(4)即可得式(5)。当a0＜时,跨中弯矩采用式(3),a0≥时,采用式(4)。
 令β＝,并将P0＝＝代入式(3)和式(4)
 得:            M＝β2qL2C         （13）
            （14）
 将上两式统一表示为:  

                 M＝A0qL2C         （15）

 式(15)即为跨中弯矩计算公式,它适用于图(a)～(d)所示的四种受力简图。
 (2)支座弯矩 图(a)、(c)、(d)均为图(b)所示受力情况的特例,式(1)为支座弯矩计算通式。
 将β＝和P0＝＝代入式(1)
 得              M＝β（2－β）   （16）
 或              M＝B0qL2C         （17）
 (3)弯矩系数A0、B0
 跨中弯矩           M＝A0qL2C        （15）
 支座弯矩           M＝B0qL2C          （17）
其中 A0、B0——弯矩系数,分别为:
       β＝≤0．5，A0＝β2
       β＞0.5时,A0＝β
       B0＝－β（2－β）
 A0、B0皆为β的单值函数,为简化计算,将其列表(表2)。

表2 墙下条形桩基连续承台梁内力系数

β 内 力 系 数 β 内 力 系 数
A0 B0 A0 B0
0．10 0．00083 －0．01583 0．56 0．02590 －0．06720
0．12 0．00120 －0．01880 0．58 0．02753 －0．06863
0．14 0．00163 －0．02170 0．60 0．02907 －0．07000
0．16 0．00213 －0．02453 0．62 0．03053 －0．07130
0．18 0．00270 －0．02730 0．64 0．03190 －0．07253
0．20 0．003331 －0．03000 0．66 0．03317 －0．07370
0．22 0．00403 －0．03263 0．68 0．03433 －0．07480
0．24 0．00480 －0．03520 0．70 0．03539 －0．07583
0．26 0．00563 －0．03770 0．72 0．03635 －0．07680
0．28 0．00653 －0．04013 0．74 0．03722 －0．07770
0．30 0．00750 －0．04250 0．76 0．03799 －0．07853
0．32 0．00853 －0．04480 0．78 0．03867 －0．07930
0．34 0．00963 －0．04703 0．80 0．03927 －0．08000
0．36 0．01080 －0．04920 0．82 0．03979 －0．08063
0．38 0．01203 －0．05130 0．84 0．04023 －0．08120
0．40 0．01333 －0．05333 0．86 0．04061 －0．08170
0．42 0．01470 －0．05530 0．88 0．04091 －0．08213
0．44 0．01613 －0．05720 0．90 0．04116 －0．08250
0．46 0．01763 －0．05903 0．92 0．04136 －0．08280
0．48 0．01920 －0．06080 0．94 0．04150 －0．08303
0．50 0．02083 －0．06250 0．96 0．04159 －0．08320
0．52 0．02252 －0．06413 0．98 0．04165 －0．08330
0．54 0．02423 －0．06570 1．00 0．04167 －0．08333

 式(15)和式(17)代替规范的5个公式,公式形式统一,且不需计算P0,直接采用均布荷载,结合内力系数表,设计计算十分简便。剪力计算公式较简单,仍采用原公式。

3 算例(文献〔3〕)

 五层混合结构房屋,砖墙承重,内墙厚240mm,外墙厚370mm。基础采用直径320mm,长6m的钻孔灌注桩。钢筋砼承台梁,梁高300mm,梁宽:外墙400mm;内墙350mm。承台梁底面以上荷载为:横墙q＝142．9kN／m;外纵墙q＝85．0kN／m。试计算外纵墙和内横墙墙下承台梁的内力(图2)。

图2 单元桩基平面图

 解:
 1.外纵墙下承台梁
 承台梁采用C20砼,I级钢筋,墙体采用MU7.5砖、M5混合砂浆。
 EC＝2．55×104N／mm2
 EK＝1500f
  ＝1500×1．37
  ＝2055N／mm2
 (f——墙体抗压强度设计值)
 LC＝1．05L＝1．05（1．65－0．32）
  ＝1．40m＜1．65m
 承台梁尺寸400mm×300mm
 (1)中间跨
 a0＝1．37h
  ＝1．37×300＝977mm
 β＝＝＝0．698
 查表2,得:A0＝0．03536
      B0＝－0．07581
 则:跨中弯矩
 M＝A0qL2C＝0．03536×85×14002
  ＝5．89×106N．mm
 支座弯矩
 M＝B0qL2C＝－0．07581×85×14002
  ＝－12．63×106N．mm
 (2)边跨
 a0＝1．05h
  ＝1．05×300＝747mm
 β＝＝＝0．534
 查表2,得:A0＝0．02372
      B0＝－0．06525
 则：跨中弯矩
 M＝A0qL2C＝0．02372×85×14002
  ＝3．95×106N．mm
 梁端支座弯矩 MA＝0
 第二支座
 MB＝B0qL2C＝－0．06525×85×14002
  ＝－10．9×106N．mm

图3 纵墙承台梁计算简图

 2.横墙下承台梁(近似按中跨计算)
 承台梁尺寸350mm×300mm
   LC＝1．05L＝1．05（1．2－0．32）
    ＝0．92m＜1．2m
   a0＝1．37h＝1．37×300＝1079mm
   β＝＞1．0 取β＝1．0
 查表2,得:A0＝0．04167
      B0＝－0．08333
 跨中弯矩
 M＝A0qL2C＝0．04167×142．9×9202
  ＝5．0×106N．mm
 支座弯矩
 M＝B0qL2C＝－0．08333×142．9×9202
  ＝－10．1×106N．mm
 剪力计算较简单,略。

4 结语

 通过上述分析与计算可以看出,本文提出的计算方法较《建筑桩基技术规范》(JGJ94—94)法形式简捷,计算简便,是一个实用的方法。