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抛物线的解析式的三种形式
抛物线的解析式有三种形式：
    ①一般式：（a≠0）；
②顶点式：，（h，k）是顶点坐标；
③交点式：（a≠0），其中x1，x2是方程的两个实根。
在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。
利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。
例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析式。（试用两种不同的方法）
分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。
解法一：
设二次函数的解析式为：
因为二次函数图像过点（1，0）
所以
所以
所以函数解析式为。
分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称性，可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0），可选用交点式。
解法二：
设二次函数的解析式为：，
因为二次函数图像过点（－2，3）

所以
所以函数解析式为。
点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。当然此题也可使用一般式，但不如这两种方法简单。

例2、已知二次函数，当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。
分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长，条件似乎不是特别充分。仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－3，0），（1，0），从而可利用交点式解决问题。
解：∵当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4
∴函数图像与x轴交于（－3，0），（1，0）两点。
∴设二次函数的解析式为
∵二次函数过（－1，－4）
∴
∴a＝1
∴
    点评：本题当然还可直接使用顶点坐标公式转化为关于a，b，c的两个等式，再利用“图像在x轴上截得线段长为4”转化为，组合成一个关于a，b，c的方程组来解。不过这种方法计算量大一些。

例3、如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C。
（1）用尺规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；
       （3）在（2）的条件下，求证直线CD是⊙M的切线。
解：（1）如图，点M即为所求。

       （2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而B（4，4）、C（6，2）。
       设经过点A、B、C的抛物线的解析式为，      
依题意，解得，
所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为，    
把点D（7，0）的横坐标代入上述解析式，
得：       ，
所以点D不在经过A、B、C的抛物线上。
    （3）如下图，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，作直线CD。

       所以CE＝2，ME＝4，ED＝1，MD＝5，
在Rt△CEM中，∠CEM＝90°，    
所以，
在Rt△CED中，∠CED＝90°，
所以，
所以，    
所以∠MCD＝90°，  
因为MC为半径，      
所以直线CD是⊙M的切线。
点评：本题第（1）问是一个尺规作图题，需要确定圆心的位置；第（2）问中所给三个点的坐标不具有使用顶点式和交点式的特点，所以只能踏踏实实地利用一般式求解；第（3）问和圆的知识结合起来，求证直线与圆相切。要求熟练使用线段与坐标的相互转化，在证明线与线的垂直关系时还需要使用勾股定理的逆定理。

例4、已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于，两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点为线段的一个三等分点，求直线的解析式；
（3）若一个动点自的中点出发，先到达轴上的某点（设为点），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点），最后运动到点．求使点运动的总路径最短的点，点的坐标，并求出这个最短总路径的长．
解：（1）根据题意，，
所以
解得
所以抛物线解析式为．
（2）依题意可得的三等分点分别为，．
设直线的解析式为．
当点的坐标为时，直线的解析式为；
当点的坐标为时，直线的解析式为．
（3）如图，由题意，可得．

点关于轴的对称点为，
点关于抛物线对称轴的对称点为．
连结．
根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动的最短总路径的长．    5分
所以与轴的交点为所求点，与直线的交点为所求点．
可求得直线的解析式为．
可得点坐标为，点坐标为．
由勾股定理可求出．
所以点运动的最短总路径的长为．
    点评：第（1）问是一个常规的求解析式的问题，比较简单；第（2）问如果注意到线段OA的三等分点有两个，从而判断直线DC有两条，利用待定系数法求出直线解析式，也不难；本题的难点是第（3）问，要求“最短总路径”需要具有扎实的基本功和分析、理解、转化问题的能力。

例5、已知二次函数的图象如图1所示，抛物线与x轴、y轴分别交于点A（－1，0）、B（2，0）、C（0，－2）．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设OQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围．
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

图1
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－2），
∴－2＝a×1×（－2），
∴a＝1，
∴y＝x2－x－2；
其顶点M的坐标是（）．
（2）设线段BM所在直线的解析式为y＝kx＋b，点N的坐标为N（t，  h）， 
∴解得：k＝，b＝－3，
∴线段BM所在的直线的解析式为y＝x－3
∴h＝t－3，
∵－2<h<0，
∴－2<t－3<0，即<t<2
∴S＝S△AOC＋S梯形OCNQ＝×1×2＋（2＋∣∣）t＝．
∴s与t间的函数关系式为s＝．自变量t的取值范围为<t<2．
（3）存在符合条件的点P，且坐标是P1（），P2（）．理由如下：
设点P的坐标为P（m，  n），则n＝m2－m－2．PA2＝（m＋1）2＋n2，  PC2＝m2＋（n＋2）2，  AC2＝5．
分以下几种情况讨论：
若∠PAC＝90°，则PC2＝PA2＋AC2．
∴解得：m1＝，  m2＝－1（舍去）
∴P1（）．
若∠PCA＝90°，则PA2＝PC2＋AC2．
∴解得：m3＝，  m4＝0（舍去）
∴P2（）
由图像观察得，当点P在对称轴右侧时，PA>AC，所以边AC的对角∠APC不可能为直角．
（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，如图2，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2）。
以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图3，此时未知顶点坐标是E（－） ，F（）．
易证△AEO∽△OFC，
∴，又AC＝， 
设OE＝a，  则OF＝－a，  AE＝，
由勾股定理得：（）2＋a2＝1，
∴a＝．
∴OE＝，
再设点E的坐标为（x，  y），由射影定理得:x＝－，  y＝，
∴此时未知顶点坐标是E（－）；同理可求得点F的坐标为（）．

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、填空  
1、已知二次函数的图像经过点，则这个二次函数为           。
2、若二次函数的图像经过原点，则值必为          。
3、如图所示是一学生推铅球时，铅球行进高度与水平距离的函数图像，铅球推出的距离是

4、已知二次函数的图像开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：________________。
5、函数y＝的对称轴是x＝2，且经过点P（3，0），则a＋b＋c＝            ；
6、抛物线经过点A（－1，0），B（4，0）两点，则这条抛物线的解析式为                          。
7、若2，4是方程的两个根，则对应抛物线y＝的对称轴是_________。
8、关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在_________象限。
9、用铝合金型材料做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2，y与x的函数图象如图2所示。
（1）观察图象，当x＝      m时，窗户透光面积最大。
（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是          m。

10、若点P（1，a）和Q（－1，b）都在抛物线y＝－x2＋1上，则线段PQ的长是____________．
11、若二次函数的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝      。（只要求写出一个）
12、函数的图象与x轴有且只有一个交点，则k＝        ；交点坐标为          。

二、选择题：  
13、在半径为的圆面上，挖去一个半径为的圆，剩下的面积是，则与的函数关系式是（    ）
A.     B.     C.     D.
14、二次函数的图像上有两个点A（－1，y），B（2，y），则y1、y2的大小关系为（   ）   
A. y＞ y  B. y≤y  C. y＜ y   D. y＝ y
15、已知：a＜－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a＋1，y3）都在函数的图象上，则（    ）
A. y1＜y2＜y3      B. y1＜y3＜y2     C. y3＜y2＜y1    D. y2＜y1＜y3
16、二次函数y＝x2＋px＋q中，若p＋q＝0，则它的图象必经过点（    ）     
A. （－1，－1）  B. （1，－1）      C. （－1，1）      D. （1，1）
17、抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点是（3，－5），且与y轴交于点（0，－2），则抛物线解析式为（    ）
A. y＝3x2＋9x－14              B. y＝3x2－16x＋22
C. y＝x2－2x－2              D. y＝x2－6x＋4.
18、抛物线y＝ax2＋bx＋c中，a＞0，b＞0，c＜0，则顶点在（    ）
A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限
19、不论x为何值，y＝ax2＋bx＋c永远是正值的条件是（    ）.（其中△＝b2－4ac）
A. a＞0，△＞0  B. a＞0，△＜0  C. a＜0，△＜0  D. a＜0，△＞0.     
20、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，如图所示（△＝b2－4ac），那么（    ）
A. b＞0 c＜0 △＞0   B. b＞0 c＞0 △＞0
C. b＜0 c＜0 △＞0   D. b＜0 c＞0 △＜0

21、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ）
A. 3.5m       B. 4m       C. 4.5m       D. 4.6m

22、已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y＝x＋3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝－abx2＋（a＋b）x （    ）
    A. 有最小值，且最小值是       B. 有最大值，且最大值是－
C. 有最大值，且最大值是       D. 有最小值，且最小值是－

三、解答题
1、已知二次函数经过点A（－1，0），且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B、C。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标：
（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标。
2、如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，.
（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求点，的坐标；
（2）若过点的抛物线与轴相交于点，求抛物线的解析式和对称轴方程；
（3）若（2）中的抛物线与轴交于点，在抛物线上是否存在点，使的内心在坐标轴上？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
（4）若（2）中的抛物线与轴相交于点，点在线段上移动，作直线，当点移动到什么位置时，两点到直线的距离之和最大？请直接写出此时点的坐标及直线的解析式.

【试题答案】
一、1、；2、m＝3；3、10；4、y＝x2＋2；5、0；6、；
7、x＝3；8、第一；9、1，1.5；10、2； 11、10；
12、0，1，9；（－1/3，0），（－1，0），（1/3，0）
二、13、D；14、C；15、C；16、D；17、C；18、C；19、B；20、B；21、B；22、C。
三、1、（1）y＝x2－2x－3；（2）抛物线的顶点坐标（1，－4）；（3）M（）。
2、解法一：（1）依题意，，
在中，. 
.
而，
. 　　
，，
，
点的坐标分别为. 

解法二：（上同解法一）
. 　　
设点的坐标为，
则.
在中，
，　　
，解得，
点的坐标分别为. 　
（2）设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
　　　解得
抛物线的解析式为. 
对称轴的方程为. 　
（或用配方法：

对称轴的方程为.）
（3）存在这样的点，使的内心在坐标轴上.
解法一：①若的内心在轴上，设直线与轴相交于点，
，
，点的坐标为.
直线的解析式为. 
解方程组　　得，.
点的坐标为. 
②若的内心在轴上，设直线与轴相交于点，
，
，点的坐标为，
直线的解析式为. 
解方程组　　得，.
点的坐标为. 
综合①②可知点的坐标为或. 
解法二：①当的内心在轴上时，
设的坐标为，
，
过作轴于，. 
，
.
点的坐标为. 
②当的内心在轴上时，
设的坐标为，
，
过作轴于，. 
，
，
. 
点的坐标为.
综合①②可知，点的坐标为或. 　
（4）点的坐标为；直线的解析式为.
提示：
根据“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”可知，当直线时，两点到直线的距离之和最大，此时点为垂足。利用三角形相似可求得点的坐标。
点评：此题是一道难得的好题，第1、2小题是常规题，有一定基础的学生均能较轻松的搞定，第3小题是结论存在性问题，又需分类讨论，较容易漏解，第4小题可能比较难，具体解题思路可参考提示。