九年级数学圆的辅导 新人教版.doc

初三数学第二十四章——圆

圆
切线长
切线
圆与圆的位置关系系
圆的切线
直线与圆的
位置关系
点与圆的位置关系
垂径定理及其推论
圆周角、同弧上圆周角的关系
弧、弦与圆心角
与圆有关的位置关系
圆的基本性质
圆的对称性
两圆公切线
与圆有关的计算
正多边形与圆
弧长和扇形的面积
圆锥的侧面积和全面积

一【知识脉络】

二、基础知识
（1）掌握圆的有关性质和计算
① 弧、弦、圆心角之间的关系:
在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.
② 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
③ 在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.
④ 圆内接四边形的性质:
圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.
（2）点与圆的位置关系
① 设点与圆心的距离为，圆的半径为，
则点在圆外； 点在圆上； 点在圆内．
② 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆.
③ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

（3）直线与圆的位置关系
① 设圆心到直线的距离为，圆的半径为，
则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交．
②　切线的性质:与圆只有一个公共点；
圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径.

③　切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.
到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.
④ 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
⑤ 切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
⑥ 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
（4）圆与圆的位置关系
①　圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.
设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含 　　
② 两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.
由对称性知:两圆相切，连心线经过切点. 两圆相交，连心线垂直平分公共弦.
③ 两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.
两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线.
两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线.
④ 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.
（5）与圆有关的计算
① 弧长公式： 　　　　 扇形面积公式：
（其中为圆心角的度数，为半径）
② 圆柱的侧面展开图是矩形．
圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．
圆柱的侧面积＝底面周长×高
圆柱的全面积＝侧面积＋２×底面积
③ 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．　
圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．
④ 圆锥的侧面积＝×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积

能力锻炼与提升（一）—— 圆中的有关概念和性质
一、知识点回顾：
1.确定一个圆有两要素，一是 ，二是 ，圆心确定 、半径确定 ；
2.圆既是 对称图形，又是 对称图形；它的对称中心是 ，对称轴是 ，
有 条对称轴。
3.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等。
典型题1：如图，AB、CD是⊙O的两条弦
① 若AB=CD， 则有 = ， =
② 若AB=CD， 则有 = ， =
③ 若∠AOB=∠COD， 则有 = ， =

4.在在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角 ，相等的圆周角所对的弧 ，同弧或等弧所对圆周角是其所对的圆心角的 。
典型题2.如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠CAB＝∠CBA，
∠COB与∠COA相等吗？为什么？

典型题3．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝30°，
则∠BOC= °， ∠OBC= °
5.半圆或直径所对的圆周角都是 °，90°的圆周角所对的弦是圆是 。
典型题4．填空：
1、如图，AB是⊙O的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °，
∠ABD= °

2、如图，⊙O的直径AB=10，弦BC=5，∠B= °

6.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平弦所对的弧。
即：如图，若AB⊥CD，则有AP PB，AC(︵) CB(︵)，AD=
典型题5．如上图，若CD=10，AB=8，求PC的长？

典型题6．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____．

7．三角形的内心和外心
（1）确定圆的条件： 三个点确定一个圆．
（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的 ，圆心就是 的交点，叫做三角形的外心．
（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的 ，圆心是 的交点，叫做三角形的内心。
典型题7. 在△ABC中，∠A=62°，点I是外接圆圆心，则∠BIC=___________

8. 与圆有关的角
（1）圆心角： 叫圆心角． 圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
（2）圆周角： 的角，叫圆周角．
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
（3）圆心角与圆周角的关系．
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ．

典型题8.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°
则∠BOC的大小是（ ）
A．60○ B．45○
C．30○ D．15○
典型题9.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，
点C在⊙O上．如果∠P＝50○ ，那么∠ACB等于（ ）
A．40○ B．50○
C．65○ D．130○

二、基础达标练习：
（一）选择题：
1．下列命题正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弦相等 B．等弦所对的弧相等
C．等弧所对的弦相等 D．垂直于弦的直线平分弦
2．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图1－3－5，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ）
A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
3．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
4．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（ ）
A．180° B．15 0° C．135° D．120°

（二）填空题：
5．如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．
6．如图，A、B、C是⊙O上三个点，当 BC平分∠ABO时，能得出结论___ __ __（任写一个）．

7．如图1－3－9，已知AB是⊙O的直径，AD ∥ OC，∠BAD的度数为80°，则∠BOC=_________.
8．如图1－3-10，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中和∠1相等的角有___ _ _ .
9．如图1－3－l1，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.

（三）解答题：
10．⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，求 AB与CD之间的距离．

11.（2007大连中考）如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE。
A
B
C
D
O
E
F
求证：∠D=∠B

12 圆O中，弦AB＝AC，AD是圆O的直径。
    求证：AD平分∠BAC

三、能力提高训练：
1. 用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（ ）

2. 小芳在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分（如图所示），请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．

能力锻炼与提升（二）——圆中的位置关系
一、知识点回顾：
1.点与圆的位置关系
A点在圆 OA r B点在圆 OB r
C点在圆 OC r
2. 直线与圆的位置关系(设⊙O半径为，圆心到直线距离为)
①与⊙O相交 r ②与⊙O相切 r ③与⊙O相离 r
典型题1．Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论：
①以点C为圆心1．3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（ ）
A．0个 B．l个 C．2个 D．3个
3、切线性质：圆的切线 于经过切点的半径.
4、切线识别：经过半径的 （内、外）端且 于这条半径的直线是圆的切线。
典型题2．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交 ⊙O于点B，
PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（ ）

（例3
4
）

典型题3.如右图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆 的切线，点P为切点，两圆的半径分别为5cm和3cm，则AB=
典型题4.如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB，
AC是⊙O的切线吗？（写出详细的过程）

5. 圆与圆的位置关系
（1）用公共点的个数来区分
①两个圆如果没有公共点，那么就说这两个圆 ，如图3的
②两个圆有一个公共点，那么就说这两个圆 ，如图3的
③两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆 ，如图3的

（2）用数量关系来区别：设两圆的半径分别为、，圆心距为：
① 用数轴表示圆与圆的位置与圆心距d之间的对应关系
（在数轴上填出圆心距d各在区域中对应圆与圆的位置名称）

② 根据数轴填表
两圆的位置关系
数量关系及其识别方法
外　离

外　切

相　交

内　切

内　含

典型题5. 已知相切两圆的半径分别为3cm和2cm，则两圆的圆心距是____cm．

6. 切线长定理：
从圆 一点可以引圆的 条切线，它们的切线长 ．这一点和圆心的连线 这两条切线的 角．
即：如右图， PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，则PA PB， PO平分∠ .

典型题6．填空：
1、如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，∠P=60°PA=10cm，那么AB的长为

2、如图，PA，PB分别为⊙O的切线，AC为直径，切点分别为A、B，∠P=70°，则∠C=

二、基础达标练习：
（一）选择题：
1、已知⊙O的半径为6，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定
2、圆最长弦为12，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为，那么（ ）
A． B． C． D．
3、已知圆⊙O1和⊙O2的半径的6cm和8cm，当O1O2=12cm时, ⊙O1和⊙O2的位置关系为（ ）
A．外切 B．相交 C． 内切 D．内含
4、两圆半径和为24cm，半径之比为1：2，圆心距为8cm，则两圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．相交 C． 内切 D．外切
5.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（ ）
A． B．2 C．3 D．4
6.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
7．两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（ ）
A．d＞8 B．0＜d≤2
C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞8
（二）填空题：
8．在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有______，在圆上的有________，在圆内的有________.
9．△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：
⑴ 当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____；
⑵ 当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____；
⑶ 当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.
10.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有___个．
11.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径为___cm．
12.已知两圆半径分别为4cm和2cm，圆心距为10cm，则两圆的内公切线的长为_________cm．
13.已知两圆的圆心距是5，两圆的半径是方程的两实根，则两圆的位置关系是 。

（三）解答题：
14．如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，求AB的长．

15．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B， ∠APB=90°，OP=4，求⊙O的半径．

三、能力提高训练：
17. 已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线．

18．如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠A=300，延长斜边AB到D，使BD等于⊙O半径，求证：DC是⊙O切线。

19．（2007盐城中考）已知：如图所示，直线l的解析式为，并且与x轴、y轴分别交于点A、B。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位/秒的速度向x轴正方向运动，问在什么时刻与直线l相切；
（3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以0.5个单位/秒的速度运动，问在整个运动过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆内部）上，一共运动了多长时间？
能力锻炼与提升（三）—— 圆中的有关计算
一、知识点回顾：
1. 正多边形和圆
    （1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
（ 2）正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。
典型题1. 正三角形的边心距、半径和高的比是（    ）
    A. 1∶2∶3                          B.
    C.                     D.
典型题2. 正三角形的边长是边心距的        倍。正九边形的中心角是        度，每个内角为       度。
典型题3 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。
    解：∵正六边形的半径等于边长
    ∴正六边形的边长
      正六边形的周长
      正六边形的面积
    点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。

2. 弧长的计算
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长
典型题4．填表：
半径r
圆心角度数n
弧长l
10
36°

5

2

120°
12
（圆周率用表示即可）

3. 扇形面积计算：
方法一：如果已知扇形圆心角为n，半径为r，那么扇形面积
方法二：如果已知扇形弧长为l，半径为r， 那么扇形面积
典型题5．填表：
半径r
圆心角度数n
弧长l
扇形面积
10
36°

6

6
2

6

4

3. 圆锥的侧面积与表面积
（1）如图1：为圆锥的 ，为圆锥的 ，为圆锥的 ，
由勾股定理可得：、、之间的关系为：

（2）如图2：圆锥的侧面展开后一个 ：圆锥的母线是扇形的
而扇形的弧长恰好是圆锥底面的 。故：
圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的 。
圆锥的表面积= +

典型题6．看图1、填表：

底面积
底面圆的周长
侧面积
表（全）面积
3

5

5
13

6
8

（圆周率用表示即可）
二、 基础达标练习：
<一> 填空题：
1．在半径为3的⊙O中，弦AB=3，则AB的长为
2．圆锥底面半径为6cm，母线长为10cm，则它的侧面展开图圆心角等于 ，表面积为 ；
3．已知扇形的圆心角为150°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径是 cm，扇形的面积是 cm2；
4．一个圆锥的侧面展开图形是半径为4cm 的半圆, 那么这个圆锥的底面半径等于__ _cm.；
5．如图是一个徽章，圆圈中间是一个矩形，矩形中间是一个菱形，
菱形的边长是 1 cm ，那么徽章的直径是 ；
6．如图，将一个半径为4cm的半圆绕直径AB的一个端点A旋转40°,那么,图中阴影部分的面积为________cm；
<二> 选择题：
7．扇形的周长为16，圆心角为’，则扇形的面积为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．16π
8.一个扇形的弧长为，面积为则这个扇形的圆心角是（　　）
A. B. C . D.
9．一个扇形的半径为30，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面圆的半径是　 ）
A. 10 B. 12　 C. 14 D. 15
10．扇形的弧长为4π，扇形的半径为3，则其面积为 （ 　　）
A. 12π　 B. 6π 　C . 7π　 D . 1.5π
11．若圆锥的底面半径为 3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于 （　　）
A． 108° B． 144° C． 180° D． 216°
12．若圆锥的底面直径为6cm，母线长为5cm，那么圆锥的侧面积为（ ）
A. 7.5πcm2 B. 30πcm2 C. 15πcm2 D. 22.5πcm2
<三> 解答题：
13．在Rt△ABC中，∠C=90º，AB=5，BC=3，以AC所在直线为轴旋转一周，求所得圆锥的侧面展开图的面积.

三、能力提高训练：
14．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，PB交⊙O于C，
PA＝2cm，PC＝1cm,则图中阴影部分的面积S是 （　　）
A. B C D

15．如图，把直角三角形 ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B′C″的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到 A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是____________（计算结果不取近似值）

16．如图，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm，10cm、∠AOB＝120㎝，求这个广告标志面的周长．1.如果圆锥母线长为6cm，底面直径为6cm，那么这个圆锥的侧面积是 cm2 ；

17．如图，等腰直角△ABC的斜边AB＝4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于D、E，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）。

18．如图，已知⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心、以BC为半径，求弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积；

能力锻炼与提升（四）——圆与中考
班别： 姓名： 学号：
一、选择题：
1.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连结五等分点，如图所示，五角星的每一个角的度数为（ ）
A．30° B、35° C．36° D．37°
2.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x2－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
3.如图 ，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果
∠BOD=120°，那么∠BCE等于（ ）
A．30° B．60°
C．90° D．120°
4.如图，图中有五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度沿弧ADA1、弧A1EA2、弧A2FA3、弧A3GB路线爬行，乙虫沿弧ACB路线爬行，则下列结论正确的是 （　　）
A.甲先到B点　 B. 乙先到B点　
C.甲、乙同时到B点　 D. 无法确定
5．如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为 S1、S2、S3，则它们之间的关系正确的是 （　　）
A. S1＋S2＞S3　 B.　S1＋S2＜S3　　
C. S1＋S2＝S3　　 D.　S12＋S22＝S32
6．已知，如图，在△ABC中，BC=2，AC=，AB = 4，以A为圆心，AC为半径画弧交AB于E，以B为圆心，BC为半径画弧交AB于F，则图中的阴影部分的面积是 （ ）
A． B． C． D．

二、填空题：
8．现用总长为的建筑材料，围成一个扇形花坛，当扇形半径为_______时，可使花坛的面积最大；

2
9．如图，已知OA、OB是⊙O的半径，且OA＝10，∠AOB＝30°，AC⊥OB于C，则图中阴影部分的面积S＝ ；(π取3.14，结果精确到0.1)
10．如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OE长为半径的
半圆交AB于E、F两点，弦AC是小半圆的切线，D为切点，
又已知AO＝4，EO＝2。则阴影部分的面积是 ；

11．如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都为1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个阴影部分的面积之和是 ；
12．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接。若AB＝1，则曲线CDEF的长是 ；
13．如图，正方形ABCD边长为，那么阴影部分的面积S是 ；

三、解答题：
14．如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．
（1）求证：AB是⊙O切线；
（2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且AB=4， 求弧ECF的长。

15．如图，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC．
（1）在图⑴中有否在AB上确定一点E，使得AO=AE·AB，为什么？
（2）在图⑵中，在条件⑴的结论下延长 EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由．

B
A
O
·
E
D
C
16．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连结AE、EF。（1）求证：AE是∠BAC的平分线；（2）若∠ABD = 60°，则AB与EF是否平行？请说明理由。

17.如图，⊙ O的直径AB=10，DE⊥AB于点H，AH=2．
（1）求DE的长；
（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，若PC=22，求PD的长．