资源描述
一元二次方程的根的判别式
教学目标：
知识与技能目标：1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．
2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．
过程与方法目标：1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性．
2．培养学生的推理论证能力．
情感与态度目标：通过例题教学，渗透分类的思想．
教学重、难点：
重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．
难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．
教辅工具：
教学程序设计：
程序
教师活动
学生活动
备注
创设
问题
情景
上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出了什么结论
教师板书
在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．
积极回答
探
究
新
知
1
例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程无实数根
解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，
∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）
＝8k+9．
方程有两个不相等的实数根．
方程有两个相等的实数根．
方程无实数根．
试着写出解答。
看老师板书，体会解答。
本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．
反
馈
训
练
1
练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．
t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？
练习2．已知：关于x的一元二次方程：
kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．
和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．
学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．
教师评价，纠正不精练的步骤．
学生板书、笔答，教师点拨、评价．
探
究
新
知
2
例 求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．
分析：将△算出，论证△＜0即可得证．
证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）
＝4m2-4m4-20m2-16
＝-4（m4＋4m2＋4）
＝-4（m2＋2）2．
∵ 不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．
∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．
∴ （m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．
本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．
体会解法，归纳：
此种题型的步骤可归纳如下：
（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；
（3）判断△的符号；（4）结论．
反馈
训练
应用
提高
练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．
提示：将括号打开，整理成一般形式．
学生板书、笔答、评价、教师点拨．
小结
提高
1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：
（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．
（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．
（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．
2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．
讨论、体会。
布置
作业
1．教材P．31Ｃ １６．
2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．
（2、3学有余力的学生做．）
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