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第7讲 不循常规巧解题
有些数学问题，若用常规方法求解，比较复杂、繁琐，有时甚至难以奏效。如果采用非常规方法去解答，则会显得异常简捷明快。本文举例说明如下：
一. 不用一般用特值
例1. 设，则的值是（ ）
A. B. 1 C. 或 D. 3或
分析：此题按常规解法，需要对a、b、c的值进行讨论，比较繁琐，且易混易漏解，采用取特值的方法要比常规方法简便得多。
解：由
不妨设
则原式
故选B。
二. 不按顺序按倒序
例2. 计算
分析：若按常规解法是顺着依次运算，则难以奏效，若从后往前倒序计算，则变得非常轻松。
解：原式
三. 不通分母通分子
例5. 由小到大排列各数：
分析：此题按常规应将分母通分，使异分母分数变为同分母分数再比较大小。但通分分母数值实在太大，计算困难，不如通分分子，让分子相同，再比较大小显然容易。
解：，
因为
故
四. 不求具体求整体
例6. 若，求的值。
分析：此题按常规解法应先分别求出a、b、c的值，再代入求值式中计算求值很难完成，采用求值式变形为条件式，则简单易求。
解：
五. 不用验证用排除
例7. 满足的一组自然数是（ ）
A. B. C. D.
分析：此题若用常规解法，需要把x、y的值一一代入方程验证，因数值较大，计算太繁，不如用排除法快捷。
解：由于方程右端1982x必是偶数
而1982x与1981y的差为1983（奇数）
因此1981y和y只能是奇数
故排除A、B、D，而选C。
六. 不先计算先归纳
例8. 计算：
分析：此题若用常规方法直接计算，运算量实在太大，计算困难，不如“以退为进”，先对题设条件进行分析，找出规律，再运用规律求解来得方便。
解：
于是我们发现若干个从1开始的连续自然数的立方和，恰好等于这几个自然数的和的平方。
在有理数的运算中，除了一些常见的巧算方法外，还可以用平均数的估算法、连续整数的求和法、求分数和的裂项相消法等．
例1 计算：（-1+÷-）÷（-）×1．
分析 在运算中合理运用运算律，可以达到简化运算的目的．要做到合理，关键是仔细观察题中数之间的联系．
解：原式＝
=
=．
练习1
1．-29×12=_________．
2．1995减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…依次类推，一直减到余下的，试求最后剩下的数．
3．计算：472 6342＋472 6352－472 633×472 635－472 634×472 636．
例2 计算：3-6+9-12+…+1995-1998+2001-2004．
分析 此题解法较多，如何根据其特点使运算简而巧是关键．这个题的特点是每一个数均是3的倍数，当提取公因数3后，很容易发现这个和实际上是由668个数组成，且可相邻的两个数为一组，组成334组就可解决．
解法1：原式=3×（1-2+3-4+…+665-666+667-668）
=3×[（1-2）+（3-4）+…+（665-666）+（667-668）]
=3×（-334）
=-1002．
解法2：原式=（3-6）+（9-12）+…+（1995-1998）+（2001-2004）
=-3×334
=-1002．
练习2
1．计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+1998-1999-2000+2001+2002-2003-2004．
2．计算：999×998 998 999-998×999 999 998．
3．计算：×+．
例3 计算：Sn=++…++．
分析 将每一项拆成两项之差，使得总和中构成相反数的项相消．拆项中常常用到：
①=-；
②=（-）；
③=[-]．
解：先将假分数化成带分数，并适当拆项．
由＝1+＝1+（-），
知：＝1+（1-）
=1+（-）
…
因此Sn=n+（1-）+（-）+…+（-）+（-）
=n+1+--
=．
练习3
1．1-22+32-42+…+992-1002+1012．
2．+++…+=________．
3．已知：P=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．
那么P的个位数是________．
例4 计算：（++…+）（1+++…+）-
（1+++…+）（++…+）．
分析 四个括号中均包含++…+，我们可以用一个字母表示它，简化计算．
解：设++…+＝A，则：
原式＝（A+）（1+A）-（1+A+）·A
＝A+A2++A-A-A2-A=．
练习4
1．求S=1+3+32+33+…+32005．
2．求1++++…+．
3．比较：Sn=+（n是正整数）与2的大小．
练习5
1．已知如下数表：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
…
那么第200行所有数的和为__________．
第二节 凑整与分拆
内容讲解
在进行有理数运算时，根据参加运算的各数的特点，有意识地把参加运算的数“凑整”或“分拆”，使之方便“相互抵消”，达到简化运算的目的．所谓“凑整”，就是想办法将算式中的数凑成1，凑成整10，凑成整100，凑成整1000，…（或它们的倍数）．而通常采用的方法，多是加上（或减去）适当的数，乘以（或除以）适当的数．有时还可以先分解再“凑整”等，所谓“分拆”，就是将式中的某个数或某几个数，分成两个（或多个）数的和或差，然后“相互抵消”．
“分拆”常用到以下几个关系式（其中a、b为正整数）：
（1）；
（2），；
（3）；
（4）．
“凑整”或“分拆”的目的是为了简化运算，怎样“凑”和“分”，要根据具体的算式而定．
例题剖析
例1 计算．
分析：观察各数的特征，分母都是3，分子由数字8和9组成，只要将第一个数加上，以后各数分别加上，可将它们凑成30、300、3000，…，求和后再减去凑上的数，即得．
解：原式=（30+300+3000+30000+300000）-（++++）=333330-3=333327．
评注：当此算式按同样的规律继续往后加，分母是3，分子一直加到8，其和可用+）表示．
例2 计算2005×0.5-2006×2.5-2007÷12.5．
分析：因为0.5×2=1，2.5×4=10，12.5×8=100，所以可以采取乘以（或除以）同一个数的办法“凑整”．
解：原式＝2005÷2×（0.5×2）-2006÷4×（2.5×4）+2007×8÷（12.5×8）
=1002.5×1-501.5×10+16056÷100
=1002.5-5015+160.56=-3851.94．
评注：将因数或除数通过乘以（或除以）同一个数的办法，凑成整10、整100、…，可以使运算简便．
例3 计算1．
分析：将1写作1+，将分拆为+，这是注意到分子为5+6，分母为5×6，再观察以后各数，均有相同的特点，可作同样的分拆．
解：原式=1+-(+)+(+)-(+)+(+)-(+)+(+)=1+=．
评注：一般地，这里用到了关系式进行分拆．
例4 计算:
1----…
-．
分析：注意到=-，=-，以后各项均可照此分拆．
解：原式=1-（1-）-（-）-…-（）
=．
评注：一般地，这里用了关系式来分拆各项．注意到原式中还有一项1并未分拆，在“正负相抵”的过程中，不要遗忘这样的项．
例5 计算+．
分析：通过观察，分子是1，2，3，…，10．分母是2，22，23，…，210．直接计算需通分很麻烦．还是通过把每一项“分拆”成正负两项，然后利用“正负相抵”算出结果．
解：∵=2-，，，……，
∴原式＝（2-）+（-
评注：一般地，用公式S=求和，其中，n为自然数．
巩固练习
1．选择题：
（1）11+101+1001+…+1的和为（ ）
（A）
（2）（1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-）的积为（ ）
（A） （D）．
（3）计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）
（A）-818181810 （B）-81818189 （C）81818189 （D）818181810
2．填空题：
（1）计算×+1=_______；
（2）234·3+227·6-264·1+265·7-225·9+242·4=________；
（3）=________；
（4）=________．
3．求的+++…＋和．
4．计算．
6．（1）求证；
3．2
原式=472 635×（472 635-472 633）+472 634×（472 634-472 636）
=472 635×2-472 634×2
=（472 635-472 634）×2
=2．
练习2
1．-2004．
原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（1997+1998-1999-2000）+（2001+2002-2003-2004）
=-4×501=-2004．
2．1997．原式=（998+1）×998 998 999-998×（998 998 999+1 001 000-1）
=998×998 998 999+998 998 999-998×998 998 999-998 998 000+998
=999+998=1997．
3．
原式=×++
=×(+1)+
=×+
=（+1）×
=×=．
练习3
1．5151．原式=（1012-1002）+（992-982）+…+（32-22）+1
=（101+100）×（101-100）+（99+98）×（99-98）+…+（3+2）×（3-2）+1
=201+197+…+1
=
=5151．
2． 原式=（1-）+（-）+…+（-）
=1-=．
3．5．原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）
=（22-1）（22+1）…（232+1）
=（232-1）（232+1）=264-1．
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，故264的末尾数字为6，∴原数的末尾数字为5．
练习4
1．．3S=3+32+33+…+32006，
∴2S=32006-1，∴S=．
2．2-．设1+++…+=A．
则2A=2+1+++…+，∴A=2-．
3．Sn<2． 2Sn=1++++…+．
∴2Sn-Sn=1+（-）+（-）+（-）+…+（-）-
=1++++…+-
由练2知1++++…+=2-．
∴S=2--<2．
2．198.9．将每个数据都减去100得到一组新数据，其和为-11，
故原数据和为：100×20-11=1989，故平均身高为99.45．
3．648.1．将原数据的每个数据减去50，得到一组新数据，其和为-1.9，
故原数据和为：50×13-1.9=648.1．
答案:
1．（1）A；（2）A；（3）C 2．（1）10；（2）480；（3）．
3．
4．原式==（-）+（-）+…+（-）=1-=
5．原式=（++++）+(++)+…+(++…++)=3+4+…+10=52.
6．（1）∵=，
原式=（-）+（-）+…+（）
=（+-）=；
（2）∵1=1-+-+-…-+，
∴1=+++，
即所取10个整数为2，6，12，20，30，42，56，72，90，10．
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