浙江省瑞安市安阳镇上望一中七年级数学 第7讲 不循常规巧解题教学案（教师版）.doc

第7讲 不循常规巧解题 有些数学问题，若用常规方法求解，比较复杂、繁琐，有时甚至难以奏效。如果采用非常规方法去解答，则会显得异常简捷明快。本文举例说明如下：一. 不用一般用特值 例1. 设，则的值是（ ） A. B. 1C. 或D. 3或 分析：此题按常规解法，需要对a、b、c的值进行讨论，比较繁琐，且易混易漏解，采用取特值的方法要比常规方法简便得多。 解：由 不妨设 则原式 故选B。二. 不按顺序按倒序 例2. 计算分析：若按常规解法是顺着依次运算，则难以奏效，若从后往前倒序计算，则变得非常轻松。 解：原式 三. 不通分母通分子 例5. 由小到大排列各数： 分析：此题按常规应将分母通分，使异分母分数变为同分母分数再比较大小。但通分分母数值实在太大，计算困难，不如通分分子，让分子相同，再比较大小显然容易。 解：， 因为 故四. 不求具体求整体 例6. 若，求的值。分析：此题按常规解法应先分别求出a、b、c的值，再代入求值式中计算求值很难完成，采用求值式变形为条件式，则简单易求。 解： 五. 不用验证用排除 例7. 满足的一组自然数是（ ）A. B. C. D. 分析：此题若用常规解法，需要把x、y的值一一代入方程验证，因数值较大，计算太繁，不如用排除法快捷。 解：由于方程右端1982x必是偶数 而1982x与1981y的差为1983（奇数） 因此1981y和y只能是奇数 故排除A、B、D，而选C。六. 不先计算先归纳 例8. 计算： 分析：此题若用常规方法直接计算，运算量实在太大，计算困难，不如“以退为进”，先对题设条件进行分析，找出规律，再运用规律求解来得方便。解： 于是我们发现若干个从1开始的连续自然数的立方和，恰好等于这几个自然数的和的平方。 在有理数的运算中，除了一些常见的巧算方法外，还可以用平均数的估算法、连续整数的求和法、求分数和的裂项相消法等 例1 计算：（-1+-）（-）1分析 在运算中合理运用运算律，可以达到简化运算的目的要做到合理，关键是仔细观察题中数之间的联系解：原式= 练习1 1-2912=_21995减去它的，再减去余下的，再减去余下的，依次类推，一直减到余下的，试求最后剩下的数3计算：472 6342472 6352472 633472 635472 634472 636 例2 计算：3-6+9-12+1995-1998+2001-2004 分析 此题解法较多，如何根据其特点使运算简而巧是关键这个题的特点是每一个数均是3的倍数，当提取公因数3后，很容易发现这个和实际上是由668个数组成，且可相邻的两个数为一组，组成334组就可解决 解法1：原式=3（1-2+3-4+665-666+667-668） =3（1-2）+（3-4）+（665-666）+（667-668） =3（-334） =-1002 解法2：原式=（3-6）+（9-12）+（1995-1998）+（2001-2004） =-3334 =-1002 练习21计算：1+2-3-4+5+6-7-8+1998-1999-2000+2001+2002-2003-20042计算：999998 998 999-998999 999 9983计算：+ 例3 计算：Sn=+ 分析 将每一项拆成两项之差，使得总和中构成相反数的项相消拆项中常常用到： =-； =（-）； =- 解：先将假分数化成带分数，并适当拆项 由1+1+（-）， 知：1+（1-） =1+（-） 因此Sn=n+（1-）+（-）+（-）+（-）=n+1+-= 练习311-22+32-42+992-1002+1012 2+=_3已知：P=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1） 那么P的个位数是_例4 计算：（+）（1+）-（1+）（+） 分析 四个括号中均包含+，我们可以用一个字母表示它，简化计算 解：设+A，则： 原式（A+）（1+A）-（1+A+）A A+A2+A-A-A2-A= 练习41求S=1+3+32+33+320052求1+3比较：Sn=+（n是正整数）与2的大小 练习5 1已知如下数表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 那么第200行所有数的和为_第二节 凑整与分拆 内容讲解 在进行有理数运算时，根据参加运算的各数的特点，有意识地把参加运算的数“凑整”或“分拆”，使之方便“相互抵消”，达到简化运算的目的所谓“凑整”，就是想办法将算式中的数凑成1，凑成整10，凑成整100，凑成整1000，（或它们的倍数）而通常采用的方法，多是加上（或减去）适当的数，乘以（或除以）适当的数有时还可以先分解再“凑整”等，所谓“分拆”，就是将式中的某个数或某几个数，分成两个（或多个）数的和或差，然后“相互抵消” “分拆”常用到以下几个关系式（其中a、b为正整数）： （1）； （2），； （3）； （4） “凑整”或“分拆”的目的是为了简化运算，怎样“凑”和“分”，要根据具体的算式而定 例题剖析 例1 计算 分析：观察各数的特征，分母都是3，分子由数字8和9组成，只要将第一个数加上，以后各数分别加上，可将它们凑成30、300、3000，求和后再减去凑上的数，即得 解：原式=（30+300+3000+30000+300000）-（+）=333330-3=333327评注：当此算式按同样的规律继续往后加，分母是3，分子一直加到8，其和可用+）表示 例2 计算20050.5-20062.5-200712.5 分析：因为0.52=1，2.54=10，12.58=100，所以可以采取乘以（或除以）同一个数的办法“凑整” 解：原式20052（0.52）-20064（2.54）+20078（12.58） =1002.51-501.510+16056100 =1002.5-5015+160.56=-3851.94 评注：将因数或除数通过乘以（或除以）同一个数的办法，凑成整10、整100、，可以使运算简便 例3 计算1 分析：将1写作1+，将分拆为+，这是注意到分子为5+6，分母为56，再观察以后各数，均有相同的特点，可作同样的分拆 解：原式=1+-(+)+(+)-(+)+(+)-(+)+(+)=1+= 评注：一般地，这里用到了关系式进行分拆 例4 计算: 1-分析：注意到=-，=-，以后各项均可照此分拆解：原式=1-（1-）-（-）-（） = 评注：一般地，这里用了关系式来分拆各项注意到原式中还有一项1并未分拆，在“正负相抵”的过程中，不要遗忘这样的项 例5 计算+ 分析：通过观察，分子是1，2，3，10分母是2，22，23，210直接计算需通分很麻烦还是通过把每一项“分拆”成正负两项，然后利用“正负相抵”算出结果 解：=2-， 原式（2-）+（- 评注：一般地，用公式S=求和，其中，n为自然数 巩固练习 1选择题： （1）11+101+1001+1的和为（ ）（A）（2）（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）的积为（ ） （A） （D） （3）计算89-899+8999-89999+89999999得（ ）（A）-818181810 （B）-81818189 （C）81818189 （D）818181810 2填空题： （1）计算+1=_； （2）2343+2276-2641+2657-2259+2424=_； （3）=_； （4）=_ 3求的+和4计算 6（1）求证； 32原式=472 635（472 635-472 633）+472 634（472 634-472 636） =472 6352-472 6342 =（472 635-472 634）2 =2 练习2 1-2004 原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+（1997+1998-1999-2000）+（2001+2002-2003-2004） =-4501=-2004 21997原式=（998+1）998 998 999-998（998 998 999+1 001 000-1） =998998 998 999+998 998 999-998998 998 999-998 998 000+998 =999+998=1997 3原式=+=(+1)+ =+=（+1）= 练习3 15151原式=（1012-1002）+（992-982）+（32-22）+1 =（101+100）（101-100）+（99+98）（99-98）+（3+2）（3-2）+1 =201+197+1 = =5151 2 原式=（1-）+（-）+（-） =1-= 35原式=（2-1）（2+1）（22+1）（232+1） =（22-1）（22+1）（232+1） =（232-1）（232+1）=264-1 21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，故264的末尾数字为6，原数的末尾数字为5 练习4 13S=3+32+33+32006， 2S=32006-1，S= 22-设1+=A 则2A=2+1+，A=2- 3Sn2 2Sn=1+ 2Sn-Sn=1+（-）+（-）+（-）+（-）- =1+- 由练2知1+=2- S=2-22198.9将每个数据都减去100得到一组新数据，其和为-11，故原数据和为：10020-11=1989，故平均身高为99.453648.1将原数据的每个数据减去50，得到一组新数据，其和为-1.9，故原数据和为：5013-1.9=648.1答案: 1（1）A；（2）A；（3）C 2（1）10；（2）480；（3） 3 4原式=（-）+（-）+（-）=1-= 5原式=（+）+(+)+(+)=3+4+10=52.6（1）=，原式=（-）+（-）+（）=（+-）=； （2）1=1-+-+-+，1=+，即所取10个整数为2，6，12，20，30，42，56，72，90，10