九年级数学上册 用一元二次方程解决实际问题教学设计 冀教版.doc

用一元二次方程解决实际问题 教学设计
教学目标
知识与技能：
1．能根据世纪问题正确列出方程并求解，并能根据具体问题的实际意义建议结果的合理性；
2．提高分析问题、解决问题的能力，进一步增强数学的应用意识。
过程与方法：
经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识方程模型的重要性。
情感态度价值观：
在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性，在发现的过程中提高思维品质和探究学习能力。
教学重难点
重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题
难点：根据数与数字关系找等量关系
疑点：列一元二次方程解应用题时，应注意是方程的解，但不一定符合题意，因此求解后一定要检验，以确定适合题意的解．例如线段的长度不为负值，人的个数不能为分数等。
解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决决．列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程．
教学方法
教师通过复习，讲练结合，和学生一起研究一元二次方程的应用题，列方程解应用题一般分为审题，设未知数，解列方程，检验写出答案四步进行，其中审题过程虽在草纸上进行，但这一步非常重要，只有经过认真审题，分清已知条件和所求的量，弄清量与量之间的数量关系，才能准确找出相等关系，列出方程．
教学媒体
多媒体
课时安排
2课时
教学过程设计
第一课时
一、复习引入
提问
1．一元二次方程有哪些解法？（要求学生答出：开方法、配方法、公式法、因式分解法．）
2．回忆一元二次方程解的情况．（要求学生按△＞0，△＝0，△＜0三种情况回答问题．）
3．我们已经学过的列方程解应用题时，有哪些基本步骤？（要求学生回答：①审题；②设未知数；③根据等量关系列方程（组）；④解方程（组）；⑤检验并写出答案．）
前面我们已经遇到过与一元二次方程有联系的应用．此类问题还有吗？回答是肯定的：还有很多！本课我们将深入研究有关一元二次方程的应用题．
二、一起探究
如图，某小区内有一块长、宽比为1︰2的矩形空地，计划在该空地上建筑两条宽均为2m的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪。如果四块草坪的面积之和为321m2，请求出原来矩形空地的长和宽。

1．请找出上述问题中等量关系。
2．列出方程，并求出方程的解。
3．写出方程的答案，并与同学交流各自的思考过程。
学生根据自己已有的经验先自主探究，再小组交流，然后师生共同解决。
等量关系：（1）大矩形的面积—两条小路的面积=四个小矩形的面积之和；
（2）四个小矩形的面积之和=长和宽都比大矩形的长和宽少1m的矩形的面积
设大矩形空地的宽为xm，则长为2xm，则（2x－2）（x－2）=312
解得 x1=14，x2=－11（舍去）。2x=28
所以长为28m，宽为14m。
注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。
三、做一做
如图，有一块长80cm，宽60cm的硬纸片，在四个角各减去一个同样的小正方形，用剩余的部分做一个地面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求剪去的小正方形的边长。

学生独立完成，然后全班交流。
老师对学习有困难的学生及时进行点拨。
解：设需要剪去的小正方形边长为x cm，则盒底面长方形的长为（80—2x）cm，宽为（60－2x）cm，据题意：（80—2x）（60—2x）=1500．
整理后，得—70x十825=0，
解得x1=15，x2=55．
∵当x=55时，80—2x=－30（不合题意，舍去．）
答：截取的小正方形边长应为15cm，可制成符合要求的无盖盒子．
本题教师启发、引导、学生回答，注意以下几个问题．
（1）因为要做成底面积为1500cm2的无盖的长方体形的盒子，如果底面的长和宽分别能用含未知数的代数式表示，这样依据长×宽=长方形面积，便可以找等量关系，列出方程，这是解决本题的关键．
（2）求出的两个根一定要进行实际题意的检验，本题如果截取的小正方形边长为55时，得到底面的宽为—30，则不合题意，所以x=55舍去．
（3）本题是一道典型的实际生活的问题，在学习本章之前，这个问题无法解决，但学了一元二次方程的知识之后，这个问题便可以解决．使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识．
三、例题
某商场销售一种服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元。经市场调查发现：如果每件服装降价1元，平均每天能多售出2件。在国庆节期间，商场决定采取降价销售的措施，以达到减少库存、扩大销售量的目的。如果销售这种服装每天盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？
分析：如果设每件服装降价x元，则每件服装的盈利为（40－x）元，每天销售的服装为（20+2x）件。根据等量关系：每件服装的赢利×每天销售的服装件数=1200元，即可列出方程，进而求的问题的答案。
解：设每件服装降价x元，根据题意，得
（40－x）（20+2x）=1200
整理，得 x2－30x+200=0
解这个方程，得x1=10，x2=20
所以，当每件服装降价10元或20元时，每天赢利1200元
因为要达到减少库存的目的，所以应取x=20。
答：每件服装应降价20元。
四、练习
课本P43
五、小结
1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．
2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．
3．剖示考点：一元二次方程的应用在中考中出现的频率较高，大量是以与现实生活实践相结合的应用题形式出现，考查用数学的意识．
六、板书设计
用一元二次方程解实际问题
一起探究 做一做 例1

第二课时
一、复习引入
提问：列方程解应用题有哪几步？
今天我们要学习与工农业生产及日常生活密切有关的增长率问题，像生产计划、银行存款的利息等等．
某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产_______个？（200个）

4．某种储蓄的年利率为6％，某人存1000元，存满一年，利息=________．（利息=本金×利率）=60元）
存满一年连本带利的钱数是________．（1060元）
二、一起探究
2003年我国政府工作报告指出：为解决农民负担过重问题，在近两年的税费改革中，我国政府采取了一系列政策措施。2001年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为180亿元，2003年达到304.2亿元。2001年到2003年，中央财政每年投入支持这项改革资金的平均增长率是多少？
如果设平均每年的增长率为x，则中央财政用于支持这项改革试点的资金：
（1）2002年比2001年增长了_________亿元，增长到_________亿元。
（2）2003年比2002年增长了_________亿元，增长到_________亿元。
（3）根据题意，列方程得_____________________。
（4）解方程，并与同学交流所得的结果。
（5）在上面的问题中，两年的增长率相同，列方程时有无规律可循？
学生先独立思考，然后合作交流，最后师生一起归纳总结此类问题的解决策略和建立方程的一搬方法。
注意：认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．
三、例题
例2 太阳能是无污染的天然能源，具有极大的开发和利用价值。某企业生产的一种新型太阳能热水器，前年获利1000万元，今年获利1560万元。今年利润增长率比去年利润增长率多10个百分点。去年和今年的利润增长率各是多少？
分析：根据等量关系“增长利润率=利润基数×利润增长率”，如果设去年利润增长率为x，则有下表：
时间
利润基数/万元
利润增长率
利润/万元
去年
1000
x
1000（1+x）
今年
1000（1+x）
x+0.1
1000（1+x）（1+x+0.1）
再根据今年获利1560万元，就可以列出方程
解：设去年利润增长率为x，则今年利润增长率是x+0.1，根据题意，得
1000（1+x）（1+x+0.1）=1560
整理，得
x2+2.1x－0.46=0
解这个方程，得
x1=0.2，x2=－2.3（不合题意，舍去）
x+0.1=0.2+0.1=0.3
答：去年的利润增长率是20%，今年的利润增长率是30%
教师引导，点拨、板书，学生回答．
四、练习
某饮料厂1月份生产饮料的产量为500吨，3月份上升到720吨，求这个饮料厂2月份和3月份产量的平均增长率。
五、小结
求平均增长率的步骤是：
第1步：设平均每次增长率为x；
第2步：利用原有产量与平均增长率x表示历次的产量；
第3步：根据题目的相等关系，列出方程；
第4步：解方程，求出x；
第5步：检验所求结果，做出答案．
六、作业
1．某厂1月间印刷了科技术籍50万册，第一季度共印175万册，问2月，3月平均每月的增长率是多少？
2．制造一种产品，原来每件的成本是300元，经过两次降低成本，现在的成本是195元．平均每次降低成本百分之几（精确到1％）
3．某人在银行存入1500元，两年后他连本带利取得了1815元，若按复利计算，问年利率是多少？（说明：复利是指一年后把利息计入本金再生利息）
作业的答案或提示：
1．设每月增长率是x，则二月份印刷50（1+x）万册，三月份印刷50（1+x）2万册
50+50（1+x）+50（1+x）2=175

答：二、三月份平均增长率约为16％．
2．设每次降低成本的百分率为x，则300（1－x）2=195，1－x≈±0.81，x=19％．
3．设年利率为x，则1500（1+x）2=1815．x=10％．
六、板书设计
用一元二次方程解实际问题

一起探究 例2 练习