湘教版七年级数学列代数式教案.doc

列代数式
一、本单元教学内容及要求
　　1．在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，掌握用字母表示数，在探索现实世界数量关系的过程中，逐步建立符号意识；
　　2．了解代数式的概念，会列出代数表示简单的数量关系，掌握代数式的书写注意事项。
　　二、学习指导
　　1．代数式
　　例1．下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式。
　　(1) 　　 (2)a　　 (3) 26+38　　 (4) s=vt　　 (5) a2+2ab+b2 　　(6)
　　(7) 2+3=5　　 (8)3a>4b　　 (9) 5n+2　　 (10) 2(x-y)+3
　　分析：用运算符号把数字或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者字母也是代数式，在理解这个定义时，应注意下述几个问题：
　　（1）运算符号是指加，减，乘，除,乘方和开方（乘方、开方运算以后再讲）这六种运算,不再包含其它运算。
　　（2）等号不是运算符号，所以代数式中不允许有等号，同样不等号“>”或“<”号也不是运算符号。
　　（3）代数式中可以有指定运算顺序的括号，如小括号，中括号和大括号。如2(x-y)+3是代数式。
　　（4）代数式中可以不同时含有数字或表示数的字母，但数字和表示数的字母都没有，只含有运算符号，那就不是代数式。
　　（5）单独的一个数或字母也是代数式。
　　（6）注意研究代数式与指定的数集有关系，我们这一章是在有理数集上研究代数式。随着知识的不断增加，对代数式的认识也会不断深入。
　　（7）(4)题S=Vt是公式，不是代数式；(7)题2+3=5 (8)题3a>4b中分别有“=”、“>”，它们分别表示等式和不等式，也不是代数式。
　　解：
　　(1) ；(2)a；(3) 26+38；(5) a2+2ab+b2 ；(6) ；(9) 5n+2 ；(10) 2(x-y)+3都是代数式；
　　(4) s=vt，(7) 2+3=5，(8)3a>4b 不是代数式。
　　点评：本题考查对代数式概念的理解。要注意含有等号和不等号的式子都不是代数式。
　　2．“字母表示数”的意义
　　（1）从知识上看，用字母表示数体现了算术与代数的本质区别。
　　（2）从思维方法上看，用字母表示数体现了直观形象思维向抽象思维的过渡，是认识上的一个飞跃。
　　（3）用字母表示数具有两个特点：
　　第一，不确定性：字母表示数但并不代表某一个具体的数。例如字母a可以表示任意数，这反映了特殊与一般的关系。
　　第二，抽象性：用字母表示数，是数的概念的发展，是更高层次上的抽象，这反映了现象与本质的关系。

　　从确定的数到字母表示数，是数学方法由低级向高级，从具体到抽象，由特殊到一般的过渡，是学习代数的重要方法，应在学习中逐步体会。从算术到代数的过渡，就是要完成字母表示数的过程，在这个过程中要不断地摆脱具体数字概念的束缚，才能提高概括水平。
　　例2．填空：
　　（1）y×7 用代数式表示一般要写成_________；
　　（2）长方形的面积是acm2，它的宽是bcm，那么它的长是________cm，周长是________cm；
　　（3）某校同学向希望工程捐献图书，其中有m个人每人捐献4本书，有n个人每人捐献a本书，那么他们一共捐献图书_______本；
　　（4）一批冰箱原价每台售价m元，现在八折出售，出售了9台，销售额为_______元。
　　解：
　　(1) y，或 ·y或 ；
　　(2) , 2(b+ )；
　　(3) (4m+an)；
　　(4) 9× m, 或9×80%m。
　　点评：本题考查书写代数式。这类问题的关键是准确理解题意，明确运算关系及运算顺序。书写代数式时要注意以下几点：
　　①在同一个式子中，不同的字母表示不同的数，相同的字母表示相同的数。
　　②在同一个问题中，不同的量必须用不同的字母表示。如长方形的长和宽必须用不同的字母来表示。
　　③在数字和表示数的字母相乘时，乘号可以省略，但要把数字因数写在字母因数的前面。若字母因数是带分数，通常要化成假分数。如(1)题y×7 写成 y或 。
　　④在含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数形式如(2)题中，长方形的长为 不写成a÷b的形式。1÷a写成 等。
　　⑤列代数式时不写单位名称，单位名称在答案中写出来，如果代数式是乘、除关系，单位名称写在式子后面，如(2)题中 cm,(4)题中9× m元等；如果代数式是加，减关系，必须把代数式用括号括起来以后再写单位名称，如(3)题中的(4m+an)本.
　　⑥在不同的问题中，要注意字母的取值范围。如(3)中n, m, a均为自然数。
　　例3．选择题（只有一个答案正确）
　　下列各式中表示方法符合代数式书写要求的是（　 ）
　　A、xy÷3　　 B、a×15b　　 C、1 ×xy2　　 D、
　　分析：用书写代数式应遵循的一般要求进行检验，A、B、C均不符合要求。
　　解：应选择D。
　　例4．说出下列代数式的意义：
　　(1) 3a-b　　 (2)3(a-b)　 　(3) a2-b2 　　(4) (a+b)(a-b)
　　(5) 　　 (6) 3-a2 　　(7) 3a2 　　(8) a-
　　解：
　　(1)3a与b的差；或3a减去b的差；或a的3倍减去b；或a的3倍与b的差；
　　(2)3与a-b的积；或a减去b的差的3倍；或a与b的差的3倍；
　　(3)a与b的平方差；或a的平方减去b的平方的差，或a的平方与b的平方的差或a，b两个数的平方差；
　　(4)a，b两个数的和与这两个数的差的积；
　　(5)x除以ab的商，或x比ab
　　(6)3与a2的差；或3减去a的平方的差；
　　(7)a的平方的3倍或3乘以a的平方；
　　(8)a减去 的差；或a与1除以a的商的差；或a与a的倒数的差。
　　例5．用代数式表示：
　　(1)a的平方与b的2倍的差；
　　(2)m与n的和的平方与m与n的积的和；
　　(3) x的三分之二与y的一半的差；
　　(4)比 a除b的商的2倍小4的数。
　　解：(1) a2-2b　 (2) (m+n)2+mn　 (3) x- y　　 (4) -4
　　点评：
　　①例4，例5类型不论是说出代数式的意义还是用代数式表示，都要认真审题，弄清题目中表示的有关的数量关系和运算顺序，要抓住关键词语，如和（加），差（减），积（乘），商（除），大，小，多，少，倍，几分之几，倒数，平方，立方，增加到，增加了等词语的意义。
　　②要注意题目中的“的”字的作用：如例5(1)题中共有3个“的”字，这三个“的”字把题目分成了三段：a的平方记作a2；b的2倍记作2b；把a的平方与b的2倍的差记作a2-2b。列代数式抓住“的”字把句子分成几个层次，逐层分析，一步步列出代数式。
　　③注意“除”与“除以”的意义是不同的，a除b就是b除以a的意思，表示为 ，a除b的商的2倍可记作2× 写成 。
　　例6．用代数式表示：
　　(1) 偶数，奇数；(2)三个连续整数；(3)被2除商m余3的数
　　解：
　　(1)2n, 2n+1或2n-1 (n为整数)
　　(2)n, n+1, n+2 (n为整数)
　　(3) 2m+3 (m为整数)
　　点评：
　　①在处理整数，整除问题时，注意列出的代数式中字母的取值范围。要在代数式后面特别指明
　　②三个连续整数也可以设中间整数为x，那么表示为x-1, x, x+1； 也可以设最大的一个整数为n，它们表示为n-2, n-1,n. 注意连续整数间数差为1
　　③被除数=除数×商+余数，(3)题实质上求的是被除数。
　　例7．说出下列各组代数式的意义有什么不同。
　　(1) 2(a+b),　2a+b,　a+2b
　　(2) a2- ,　 (a2-b2),　( )2
　　解法：
　　(1) 2(a+b)是a与b的和的2倍；
　　2a+b是a的2倍与b的和；
　　a+2b是a与b的2倍的和。
　　(2) a2- 是a2与b2的一半的差；
　　 (a2-b2)是a, b两数平方差的一半；
　　( )2是a, b两数差的一半的平方
　　点评：注意理解运算顺序，如“和的积”和“积的和”运算顺序不同，前者是先和后积，后者是先积后和，又如“两数平方差”和“两数差的平方”运算顺序也不同，前者是先平方后差，式子是a2-b2，而后者是先做差后平方，式子是(a-b)2。
　　例8．一个两位数，十位上的数字为a，且十位上的数比个位上数大3，试用含a的代数式表示个位上的数和这个两位数。
　　分析：此类问题首先要弄清两位数是怎么回事，例如36这个两位数十位上的数是3，个位上的数是6，
36=3×10+6，两位数=十位上的数×10+个位上的数，三位数=百位上的数×100 +十位数上的数×10+个位上的数
　　解法：个位上的数为a-3，这个两位数为10a+(a-3)
　　例9．一个三位数的百位数字是5，十位数字为a，个位数字为b ,这个三位数为__________，把它的三位数字颠倒过来，这个三位数为________。
　　解法：500+10a+b,　 100b+10a+5.
　　例10．x表示一个三位数，y表示一个两位数，如果把x放在y的左边，组成一个五位数，试表示这个五位数。
　　分析：要想把x放在y的左边组成一个五位数，由于x表示一个三位数，y是一个两位数，需将x乘以100成为五位数，100x实质上是后两位为0的五位数，再加上y这个两位数，即成所求的五位数。
　　解法：这个五位数为100x+y。
　　例11．甲、乙两地之间公路全长为100千米，某人从甲地到乙地每小时走v千米，用代数式表示：
　　（1）某人从甲地到乙地需要走多少小时？
　　（2）若每小时减少2千米，需要多少小时？
　　（3）减速后比原来慢多少小时？
　　分析：这个实际问题是研究距离，速度与时间的关系，属于行程问题。它的基本关系是：距离=速度×时间或者速度= ，时间= ，按照这个关系来具体分析本题不难找出它们的代数式。
　　解法：
　　（1）某人从甲地到乙地需要走 小时
　　（2）若每小时速度减少2千米，此时速度为（v-2）千米，需要走 小时。
　　（3）减速后比原来慢（ - ）小时。
　　例12．用代数式表示下列问题的答案。
　　（1）甲，乙二人从同一地点出发，甲每小时走akm，乙每小时走bkm，（b<a），用代数式表示：
　　①反向行走t小时，两人相距多少km?
　　②同向行走t小时，两人相距多少km？
　　③反向行走，甲比乙早出发m小时，乙走n小时，两人相距多少km?
　　④同向行走，甲比乙晚出发m小时，乙走n小时(n>m)两人相距多少km?
　　解法及分析：本题是行程问题
　　①两人从同一地点出发，反向而行，t小时后两人之间的距离为两人所走路程之和。得(a+b)tkm或(at+bt)km
　　②二人从同一地点出发，同向而行，t小时后两人之间的距离为两人所走路之差得(a-b)tkm或(at-bt)km.
　　③反向而行，甲比乙早出发m小时，故甲先走makm，然后甲，乙又同时走n小时，分别走nakm, nbkm，这时两人之间的距离为他们所走的路之和。得（ma+na+nb）km，或者为[ma+n(a+b)]km或[(m+n)a+nb]km.
　　④同向而行，乙走n小时(n>m)乙走距离为nbkm, 甲比乙晚出发m小时，那么甲走的路程为(n-m)akm，甲，乙两人同向而行，两人之间的距离为二人所走路程之差。
　　当(n-m)a<nb时，得[nb-(n-m)a]km.
　　当(n-m)a≥nb时得[(n-m)a-nb]km.
　　（2）一项工程，甲队单独完成需用a天，乙队单独完成用b天，若两队全做， 完成这项工程共需多少天？
　　解法与分析：本题是工程问题，工程问题的特点是把完成整个工程看作1。甲队单独完成需用a天，则甲队每天完成工程的 ，乙队单独完成需用b天，则乙队每天完成工程的 ，甲，乙两人合作一天能完成工程的 + 。工程问题的基本关系是：工作量=工作效率×工作时间，或者效率= ，时间= 。

　　因为甲，乙两人合作一天能完成工程的 + 即合作的效率，工作量为1，由基本关系可得完成这项工程所需时间为 天。

　　（3）某轮船在静水中的速度为vkm/时，水流速度为dkm/时，求这艘轮船在相距skm的两个码头间往返一次所需时间。
　　解法与分析：本题为行程问题的特殊问题，它的特点是上游船速=静水船速-水速；下游船速=静水船速+水速。这艘船在相距skm的两个码头间往返一次，若去时是下游，则返程为上游；若去时是上游，则返程是下游。故轮船往返一次为上游，下游各一次。上游船速为v-d，下游船速为v+d。
　　所以轮船往返一次所花的时间为( + )小时
　　（4）m亩地，亩产水稻a千克，n亩地亩产水稻b千克，求这些地平均亩产量。
　　分析：本题为平均数问题，其特点为：平均数=
　　解法：∵总产量为(ma+nb)千克，总亩数为(m+n)亩
　　∴平均亩产量为 千克。