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应力坐标变换

进行数值计算分析的时候经常会遇到要对应力的计算结果进行坐标变换，在此将其计算公式罗列如下：

   式中：l1,m1,n1为x’与x、y、z的夹角余弦；l2,m2,n2为y’与x、y、z的夹角余弦；l3,m3,n3为z’与x、y、z的夹角余弦；x’y’z’为新坐标系，xyz为旧坐标系。
计算最后得到的公式为：
dx'=l1^2*dx+2*l1*m1*Txy+2*l1*n1*Txz+m1^2*dy+2*m1*n1*Tyz+dz*n1^2
dy’=l2^2*dx+2*l2*m2*Txy+2*l2*n2*Txz+m2^2*dy+2*m2*n2*Tyz+n2^2*dz
dz’=l3^2*dx+2*l3*m3*Txy+2*l3*n3*Txz+m3^2*dy+2*m3*n3*Tyz+n3^2*dz
Tx’y’=(l1*n2+n1*l2)*Txz+(n1*m2+m1*n2)*Tyz+(l1*m2+m1*l2)*Txy+l1*l2*dx+m1*m2*dy+n1*n2*dz
Ty’z’=(l2*n3+n2*l3)*Txz+(n2*m3+m2*n3)*Tyz+(l2*m3+m2*l3)*Txy+l2*l3*dx+m2*m3*dy+n2*n3*dz
Tx’z’=(l1*n3+n1*l3)*Txz+(n1*m3+m1*n3)*Tyz+(l1*m3+m1*l3)*Txy+l1*l3*dx+m1*

§2.6 坐标变换的应力分量和应力张量

学习思路:  
    一点的应力不仅随着点的位置改变而变化，而且由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。因此必须探讨一点任意截面应力之间的变化关系。应力分量能够描述一点的应力状态，因此确定不同截面应力分量的变化规律，就可以确定应力状态。
    本节分析坐标系改变时应力分量的变化规律。为了简化分析，首先假设斜截面的法线与新坐标轴方向相同，建立斜截面应力矢量表达式。然后利用斜截面应力矢量与应力分量的关系，将应力矢量投影于各个坐标轴得到应力分量表达式。
    应力分量的转轴公式说明：应力分量满足张量变换条件。
    根据切应力互等定理，应力张量是二阶对称张量。
    转轴公式说明了一点的应力状态，尽管截面方位的变化导致应力分量改变，但是一点的应力状态是不变的。
学习要点：
    1. 坐标系的变换；
    2. 坐标平面的应力矢量;
    3. 应力分量的投影;
    4. 应力分量转轴公式;
    5. 平面问题的转轴公式。
一点的应力不仅是坐标的函数，随着弹性体中点的位置改变而变化，而且即使同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不相同。一点的应力随着截面的法线方向的改变而变化称为应力状态。
    应力状态分析就是讨论一点不同截面的应力变化规律。由于应力分量可以描述应力状态，因此讨论坐标系改变时，一点的各个应力分量的变化就可以确定应力状态。
    当坐标系改变时，同一点的各个应力分量将作如何的改变。
    容易证明，坐标系仅作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的，因此只须考虑坐标系旋转的情况。
    假设在已知坐标系Oxyz中，弹性体中某点的应力分量为

    如果让坐标系转过一个角度，得到一个新的坐标系Ox'y'z'。设新坐标系与原坐标系之间有如下关系:

其中，li，mi，ni表示新坐标轴Ox'y'z'与原坐标轴Oxyz之间的夹角方向余弦。
如果用

表示同一点在新坐标系下的应力分量。 作斜截面ABC与 x' 轴垂直，其应力矢量为pn，则

根据应力矢量与应力分量的表达式

设i'，j'，k' 为新坐标系Ox'y'z'的三个坐标轴方向的单位矢量，

如图所示。

将 pn ，即px'向x' 轴投影就得到s x'； 向y' 轴投影就得到t x'y'； 向z' 轴投影就得到t x'z'；
所以

将应力矢量分量表达式代入上述各式，并分别考虑 y，z方向，则可以得到转轴公式

注意到, tx'y' =ty'x' , ty'z' =tz'y' , tx'z' =tz'x' 。

用张量形式描述，则上述公式可以写作

应力变换公式表明：当坐标轴作转轴变换时，应力分量遵循张量的变换规律。坐标轴旋转后，应 量的九个分量均有改变，但是作为一个整体所描述的应力状态是不会发生变化的。

应力张量为二阶对称张量，仅有六个独立分量。新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应 量确定。因此，应力张量的六个应力分量就确定了一点的应力状态。

对于平面问题，如Ox 轴与Ox' 成 j 角。则新旧坐标系有如下关系：

根据转轴公式，可得

上述公式即材料力学中常用的应力变换公式。

应该注意的问题是：材料力学是根据变形效应定义应力分量的，而弹性力学是根据坐标轴定义应 量的符号的。因此对于正应力二者符号定义结果没有差别，但是对于切应力符号定义是不同的。例如 两个相互垂直的微分面上的切应力，根据弹性力学定义，符号是相同的，而根据材料力学定义，符号是反的。