初中数学破除常规另辟蹊径——谈分式方程的巧解学法指导.doc

破除常规 另辟蹊径
——谈分式方程的巧解
王洪伟

我们知道，解分式方程的常规步骤是：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）验根．但对于某些分式方程，按以上常规步骤去解非常困难，而且容易出错．这时若根据分式方程的特征，对分式方程进行适当的变形处理，就会使解方程的过程简化．下面列举几例，说明相关的解题策略．

一、先化简，再解方程
例1 解方程：
分析：按常规思路，先找出最简公分母（x+2）2（x-2）2，但去分母后，运算过程比较复杂．我们观察分式方程的特点，发现分式和的分子、分母都是多项式，而且分解因式后均可约分，约分后方程形式得到化简．
解：原方程可化为
约分，移项，得
方程两边同乘以（x+2）（x-2），得6（x-2）-（x+2）2+x2=0.
解这个方程，得x=8．
检验：把x=8代入最简公分母（x+2）（x-2），得（8+2）（8-2）≠0．
所以x=8是原方程的解．

二、先拆分，再解方程
例2 解方程：
分析：最简公分母是（x-2）（x-7）（x-1）（x-6），按常规步骤直接去分母，解题过程将非常复杂，更易出错．观察可知，各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中可分离出一个整数来（用拆分分式的方法），如，从而使原方程化简，易于求解．
解：原方程可变形为：

即．整理，得．

两边通分得．去分母得-5（x2-7x+6）=-5（x2-9x+14）.解得x=4．
经检验，x=4是原方程的解．

三、先用公式，再解方程
例3 解方程：
分析：本题若采用常规步骤直接去分母，是行不通的．但观察方程特点，我们可注意到有这样的结论：

于是，我们可将方程的左边进行合并、化简，然后再解，这样就容易多了．
解：原方程可化为：

方程两边同乘以2，得，即．解得x=l0．经检验，x=l0是原方程的解．
以上几个例子告诉我们，在解分式方程的过程中，既需要踏踏实实、按部就班，又需要我们开动脑筋、灵活处理．要注意观察方程的结构特点，具体问题具体分析，只有这样才能够寻找出最合适、最恰当的解法．