资源描述
5.2.3 求解一元一次方程教案
教学目标：
1．会把实际问题建成数学模型，会用去分母的方法解一元一次方程；了解一元一次方程的解法的一般步骤．
2．会通过列方程解决实际问题，并会将含有分母的方程化归成已经熟悉的方程，逐步体会化归的方法，掌握解方程的程序化方法．
3．结合从实际问题中得出的方程，学会用“去分母”解一元一次方程，进一步体会化归的思想．新情境引入新问题（如何去分母），使学生的探究欲望得到激发．
教学重点与难点：
重点是学会去分母解一元一次方程；结合例题了解一元一次方程的解法的一般步骤．
难点是探究通过“去分母”的方法解一元一次方程．
教法与学法指导：
教法：采用让学生回顾、自学、探究、反思、自评的教学方式，让学生的主体地位得到充分体现；把理论与实际的应用合为一体，帮助学生在学习的过程中理解、掌握新知识，提高他们的自学能力和解决实际问题的能力．
学法：引导学生主动探索，发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括，形成能力．
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、前置诊断 ，复习旧知(课前完成)
问题1：去括号是应该注意什么？
问题2：等式的性质2是怎样叙述的？
问题3：（1）6，3，4的最小公倍数是多少？
（2）2，4，5的最小公倍数是多少？
（3）3，4，12的最小公倍数是多少？
设计意图：通过复习旧知，为本节课的学习做好铺垫，扫除知识障碍．
二、创设情境，引入新课
师：（大屏幕展示）毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，有一次有位数学家问他：“尊敬的毕达哥拉斯先生，请告诉我，有多少名学生在你的学校里听你讲课？” 毕达哥拉斯回答说：“我的学生，现在有在学习数学，在学习音乐，沉默无言，此外，还有三名妇女．”算一算：毕达哥拉斯的学生有多少名？
生1：解：设毕达哥拉斯的学生有x名．
根据题意得： （教师板书）
通过解方程求出x的值，即可得到答案．
师：大家观察这个方程同上节课学习的方程有什么不同，你们是否会用移项、合并同类项的方法解这个方程呢？
生2：这个方程含有分数系数，但同样可以用移项、合并同类项的方法来解，只不过合并起来要通分，计算量较大．
师：回答得很好，那有什么办法避免繁琐的通分合并吗？这节课我们就来共同研究这种含有分数系数的一元一次方程的解法．[板书课题：5.2 求解一元一次方程（3）]
设计意图：用数学小故事引入新知，激发学生的学习兴趣，让学生自然地展开对含有分数系数的一元一次方程的学习．利用列方程解决实际问题，让学生感受方程的优越性，提高学生主动使用方程的意识．通过设问，让学生发现问题，把学生引入探究新解法的情境，自然地引入本节课的课题——用去分母法解一元一次方程．
三、自主探究，获取新知
师：下面请大家自学教材第138页至第139页的例5内容．思考下面两个问题：
（1）两种解法有什么不同？
（2）解法二中如何把方程中的分母化去的？依据是什么？
（学生自学例5内容，部分学生阅读完后开始在小组内讨论．教师巡视，及时帮助学困生）
师：通过刚才大家的自学，结合例题，你们应该不难回答老师刚才提出的两个问题．
（多媒体出示例5及两种解法）
例5 解方程 ．
解法一：去括号，得． 解法二：去分母，得 ．
移项，合并同类项，得． 去括号，得 ．
两边同时除以(或同乘以)，得， 移项，合并同类项，得．
即 ． 方程两边同除以-3，得．
师：两种解法有什么不同？你认为哪种解法好？
生3：解法一是我们已经学过的，按去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化1的步骤来解的；解法二是先去的分母，然后再按去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化1的步骤来解的．
生4：我认为解法二比较好．都是整数好计算．
师：解法二中如何把方程中的分母化去的？
生5：方程两边同时乘以28就可以了．
师：方程的左、右两边同乘以56、84、……能达到去分母的目的吗？
生6：可以，但没必要，因为增大了计算量，给解方程的过程带来麻烦．
师：28同原方程的分母7、4之间有什么关系？
生7：28是7和4的最小公倍数．
师：大家现在可以总结出化去方程中的分母的一般方法吗？
生：（齐答）方程的左、右两边同时乘以各分母的最小公倍数．
师：大家能总结出去分母的理论依据吗？
生8：依据是等式的性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得的结果仍是等式．
师：通过你对例5的分析你能说出解一元一次方程有哪些步骤吗？
生9：解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1．
师：回答的很好．我们解一元一次方程的基本思想是把“复杂”转化为“简单”，把“新”转化为“旧”，最终 “转化”成x＝a的形式．
设计意图：通过让学生阅读教材，培养学生的自学能力，借助问题思考让学生体会化归的思想，培养学生的归纳能力．通过师生互动、共同探究同一方程的不同解法，让学生亲自感受到去分母能够使解方程的过程更加便捷，明白为什么要去分母，这是“去分母”这一步骤的必要性；同时让学生认同“去分母”是科学的、可行的，明确为什么能去分母．这样，学生就会自觉参与探索去分母的一般做法的活动，从而发现“方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数”这一去分母的一般方法以及解一元一次方程的步骤．
四、应用新知，深入理解
师：既然已经知道了解一元一次方程的步骤，下面大家动手尝试一下吧．
例6 解方程：（多媒体出示）
（教师让一名学生板演，其余学生先独立完成，然后小组互相检查，核对过程与结果，教师巡视，及时发现学生在解题过程中出现的问题；学生完成后，先讲评板演学生的解题过程，同时用多媒体展示做的比较规范的两名同学的解题过程，再展示发现问题的解题过程，边讲评，边总结归纳）
师：我们先看一下这两位同学的解题过程，两位同学的解题过程都非常好，希望大家要注意学习．刚才我在下面巡视的时候，发现有同学解题的过程如下．请大家帮助他找出其中的错误，并加以改正．（展示该学生的解题过程）
解法一：解：去分母，得 ．
……
解法二：解：去分母，得．
去括号，得6x+15=15—10 x—70．
移项，得6 x—10 x =15—70－15．
合并同类项，得-4 x = -70．
方程两边同时除以－4，得x = ．（学生踊跃发言．）
生11：做法一中，第一步有一处错误是方程右边的项“”未乘以最小公倍数30．
生12：做法二中第二步有两处错误：一是方程左边去括号时应将6同每一项相乘，结果应是6 x +90；二是方程右边去括号时应变号．
生13：做法二中第三步将-10 x移到方程左边应变号．
生14：做法二第五步中分子、分母写倒了．
师：大家纠正得非常好，尤其是第一、二步中的三个易错点，是许多同学经常犯的错误，希望大家以此错误为戒，今后再也不要出现类似的错误．请填写下表，总结解一元一次方程各步骤中应注意的问题及依据．（多媒体出示表格，师生共同总结）
解一元一次方程基本步骤
注意事项
依据
去分母
防止漏乘（尤其没有分母的项）；
注意添括号
等式性质2
去括号
注意符号；防止漏乘
乘法分配率
移项
移项要变号；防止漏项
等式性质1
合并同类项
系数为1或-1时要注意
乘法分配率的逆运算
未知数系数化为1
分子、分母不要写倒了
等式性质2
师：下面大家回过头来解关于毕达哥拉斯的学生有多少名的方程．
生15：毕达哥拉斯的学生有28名．
设计意图：通过解题过程的体验，把含有分母系数的一元一次方程化成了不含分母系数的方程，然后求解，使学生对解方程的知识更加完整，渗透了化归的思想．通过小组检查，学生加强了合作学习，树立了小组的榜样．分析学生在解题过程中出现的错误，借助其他学生的帮助，引起全体学生的注意，使学生对本节课知识的学习热情达到高潮，极大地调动了学生的学习热情．照应开头，使实际问题得到圆满解决，让学生体会到学好数学能更好地解决现实生活中的许多问题．
五、巩固训练，提升能力
1．将方程去分母后，正确的结果是（ ）
A．2 x -1=1-(3- x) B．2（2 x -1）=1-(3- x)
C．2（2 x -1）=8-3- x D．2（2 x -1）=8-3+ x
2．将下列方程去分母
（1）； （2）．
3．解方程：．
设计意图：问题1、问题2目的在于让学生练习去分母．通过去分母，把含有分母系数的一元一次方程化成了不含分母系数的方程，进一步强化渗透化归的思想，体会需要去分母的方程是如何从“新”转化为“旧”的．问题3目的在于规范解题过程，准确运算．
六、课堂小结，反思归纳
师：下面让我们一起来总结这节课，你们学到了什么？需要注意什么？其中你们体会最深的是什么？大家可以相互交流．
生16：我们学会了用去分母的方法解一元一次方程的一般步骤．即去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数化系数为1．
生17：在解方程的过程中，我们要注意三点：一是在方程两边同乘以最简公分母时，不含分母的项不能漏乘；二是分数线相当于括号的作用，去分母时要添括号；三是去括号时要注意，避免出现符号错误．
生18：我们体会最深的有两点：一是方程可以解决实际生活中的问题；二是解方程的过程中若不细心很容易出错．
设计意图：从不同的角度让学生自主总结，欣赏别人的优秀之处，充分展示自己，体验收获的快乐．同时实现了不同的学生在学习数学上获取不同的收获，得到不同的发展．
七、达标检测，反馈矫正
A层：
1．将下列方程去分母：
（1）；（2）．
2．解方程：．
3．小川今年6岁，他的祖父72岁．几年后小川的年龄是他祖父年龄的？
B层：
4．丢番图的墓志铭：
“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿享年仅及其父之半，变进入冰冷的墓，悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”
设计意图：复习巩固检测本节知识训练，培养学生应用知识解决问题的能力．A层题目注重基础面向全体学生，B层题目注重学生能力的培养，面向程度较好的学生，让不同的学生得到不同的发展．
八、分层作业，拓展延伸
必做：课本140页习题5.5 第1题（1）、（3）．
选做：课本140页习题5.5 第2题．
设计意图：学生自由选择完成作业，让每个学生都有成就感，增强了学生学习数学的信心，做到了面向全体学生．
板书设计：
5.2 求解一元一次方程（3）
毕达哥拉斯的学生有多少名？解：设毕达哥拉斯的学生有x名．
根据题意得：
解一元一次方程的步骤：
去分母，
去括号，
移项，
合并同类项，
未知数的系数化为1．
例6：解方程：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
学生活动区
方程两边同时除以16，得
学生活动区
巩固训练：
解方程：
教学反思：
本节课的教学体现了《数学新课程标准》的基本理念，以教材为依据，结合学生的实际情况，在教学过程中，从创设问题情境入手，让学生了解数学家的有关知识，明确一元一次方程在生活中的相关应用，从而激发学生的学习兴趣．通过学生自学，培养学生的自学能力及归纳能力．
整节课都贯穿了活动课教学的思想，通过师生双方的互动，学生接受新知较快，探究、归纳能力不断地得到提高，在教学过程中体现了“发现问题，提出问题，分析问题，解决问题”的教学思想．
从课堂练习反馈看，学生对解一元一次方程的方法掌握很好，相当一部分同学解题过程规范、解法灵活、计算准确，尤其是采用本课时的授课方式，较以前由教师直接讲出效果要好．
整节课的课堂气氛一直是热烈的，学生的参与是积极的，虽说在解方程的过程中出现了漏乘整数项、去分母时未添括号、移项未变号、化系数为1时乘、除相混淆错误，但通过教师的巡视，及时发现了学生在解题过程中存在的问题，并有效地进行了纠正．整节课教者在培养学生自学、探究、归纳等能力方面做了有益的尝试，并取得了较好的效果．
教学建议：
在解题过程中仍然有个别同学对分母的实质理解不够，对分数线的“三重”作用把握不好，出现如下的错误：变形为9－ x =2 x +4；变形为8x－4=3 x +2－12．将分数线的括号作用忽略了，这方面仍需教师给予同学足够的关注，使他们尽快提高．
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