弧长、弦长与扇形面积、弓形面积案例教学设计.doc

数学案例教学
题目：弧长、弦长与扇形面积、弓形面积案例教学设计
作者：左春香 王瑞霞
单位：唐山市丰南区职教中心

教学内容分析：
下料问题是机械专业每天都要遇到的实际生产问题。经常要遇到的是长度、周长、弧长、弦长、扇形、弓形面积和各种体积重量的计算等数学知识。本节数学课紧密地和生产实习的实例相联系，学生经过自己充分地思考和讨论后，能够更深刻地理解和记忆公式，掌握数学知识在专业生产中的应用。

教学目的：（1）通过学习掌握圆周长、弧长、弦长、扇形面积和弓形的面积的计算。
（2）能熟练运用所学的数学知识解决机械专业中气割、钳工、钣金等工种的计算和下料等实际问题。
教学重点：弧长、弦长、扇形面积、弓形面积的计算。
实际生产问题和数学问题的联系。
课 时：2课时
教学方法：讲练结合、理论联系实际
教学用具：投影仪、黑板、硬纸板做成的两个防护罩和一个圆锥形的烟囱帽、胶片7张，
如下所示：
教学目标：
①理解并熟练掌握本节课所学的数学知识。

②会灵活应用这些知识解决实际问题。

胶片1

胶片1

三角带传动，要安装防护罩，一种形状如左图所示，另一种如右图所示，尺寸要求已在图中标出，请计算下料时(1)所用材料的面积,（2）的侧面积

（1） 胶片2 （2）

2

C
A

B

练习一：用钢板气割一个罐盖，形状如图所示，求气割长度。

胶片3

3

例1 一带轮如图所示，在轮毂和轮缘之间焊接12根辐条，辐条用φ25mm的圆钢制成。求在轮缘d1=1600mm和轮毂d2=350mm上的辐条中心距lB1、lB2。

胶片4

4

胶片5

胶片5

5

例2 扇形钢板如图所示，求其面积。

胶片6

6

胶片7

7

教学过程：[投影本节课的学习目标][出示胶片1]
教学目标：
①理解并熟练掌握本节课所学的数学知识。

②会灵活应用这些知识解决实际问题。

胶片1

胶片1

案例引入：[出示胶片2]
三角带传动，要安装防护罩，一种形状如左图所示，另一种如右图所示，尺寸要求已在图中标出，请计算下料时(1)所用材料的面积,（2）的侧面积

（1） 胶片2 （2）

2

C

A

B

（并用硬纸板按尺寸或比例做两个模型向学生展示，让学生边观察边回答问题）。
提出问题：[单独提问]
[师]： 左图中有几个侧面？是什么形状？
[生甲]： 3个，A和B是扇形的一部分，展开后C可能是矩形。
[师]： 回答得很正确，如何计算各侧面的面积和全面积？
[生乙]： 要计算它的侧面积需要掌握扇形的面积公式，全面积当然就是矩形面积和另两个侧面积之和。
[师]： 有道理，可是，你知道那个矩形的长是多少吗？如何计算？
[生丙]： 要计算它的长度还需要掌握弧长公式。
[师]： 右图中的前后侧面是什么形状？它的面积如何计算？
[生丙]： 前后侧面是弓形
[师]： 用气割方法下料时气割长度各是多少应如何计算？
[生丁]： 是各面边线长度的总和。
引入数学知识：
[师]： 要解决这些问题，要用到数学中，弧长、弦长、扇形的面积的计算等。这次课我们就介绍这些知识，同时，共同探讨一下机械专业中有关的下料问题
复习导入：
[出示胶片3]

练习一：用钢板气割一个罐盖，形状如图所示，求气割长度。

胶片3

3

（让学生独立完成，找个别同学回答）
[生]：气割长度为大圆和小圆的周长之和。
L=π×250＋π×1500=1750π=5497.8mm
[师]： 刚才这个问题中，复习了圆周长计算公式：
[板书]：圆的周长：L=πd=2πr（d为直径）
[出示胶片4]
例1 一带轮如图所示，在轮毂和轮缘之间焊接12根辐条，辐条用φ25mm的圆钢制成。求在轮缘d1=1600mm和轮毂d2=350mm上的幅条中心距lB1、lB2。

胶片4

4

[师]： 这个长度还是一个完整的周长吗？
[生]： 答：不是。
[师]： 请同学们看图，在轮缘上和轮毂上两个辐条中心的部分是什么图形？
[生]： 是圆弧。
[师]： 弧的长度应如何计算？本节课我们先研究这个问题。
[板书]： 一、弧长
[师]：360o的圆心角所对的弧长就是圆周长L=πd=2πr，那么1o的圆心角所对的弧长是
多少？
[生]： =
[师]：于是可得半径为r（直径为d）的圆中，o的圆心角所对的弧长Ln的计算公式：
是什么？
[生]： Ln==
[板书]： 360o的圆心角所对的弧长即圆周长 L=πd=2πr，
1o的圆心角所对的弧长是 = 。
半径为r（直径为d）的圆中，o的圆心角所对的弧长
Ln= =
[师]： 有了弧长公式，例1中的问题可迎刃而解了。
[经学生讨论后得出结论并找学生板演]
例1 解：两根辐条间所夹的圆心角==30o,轮缘上两根辐条中心距弧长L1===418.88mm
轮毂上相邻辐条中心距弧长
L2===91.63mm
[师]： 事实上弧与角很难测量，故实际工作中常以弦长为检验尺寸，在一圆周上n等分，
求弦长就是圆的内接正n边形的边长。那么弦长如何计算呢？
[出示胶片5]

胶片5

胶片5

胶片5

5

[师生共同分析]：∵在Rt△BOC中，∠BOC=，BC=，
∴ = = sin
∴L=2r sin=d sin
[板书]：二、弦长公式
由 = = sin
得o的圆心角所对的弦长
L=2r sin=d sin
其中圆心角=，则L=dsin.
[师] 那么例1中若求轮缘和轮毂上的中心距弦长如何计算？[找学生板演]
[生] 解：设它们分别为l1和l2，则
l1=d1sin=1600×sin15o=414.11mm
l2= d2sin=350×sin15o=90.59mm
评注： 如果再求两辐条间间隙距离，只要把上面的值分别减去φ25mm即可。
[出示胶片6]
例2 有一块钢板如图所示，求其面积。

胶片6

6

[师] 通过观察，我们看出这块钢板面是什么图形？
[生] 大扇形中去掉了一个小扇形。
[师] 那么我们要求钢板的面积，就得知道扇形的面积如何计算，下面我们探讨扇形的面积公式。同学们知道扇形是什么图形的一部分吗？
[生甲] 圆的一部分。
[师] 整个圆的圆心角是多少度？
[生] 360o
[师] 再接着想一想，在半径为r的圆中，圆心角为1o的扇形的面积是多少？
[生]
[师] 那么圆心角为o的扇形的面积是多少？
[生]
[板书] 三、扇形面积公式
由圆心角为1o的扇形面积
得圆心角为o的扇形面积公式为
[师] 弧长公式与扇形面积公式有什么关系？
[生] 两公式中都含有= Ln。
[师] 那么我们又得出了扇形的另一个面积公式为：
[生] S = Lnr
(教师板书添上此公式) S扇 = = Lnr

[师] 有了这个公式，上面的问题就很简单了（请一位同学板演）。
解：钢板的面积S===238952mm2=0.239m2

[出示胶片7]
胶片7

7

[师] 上面三个图中阴影部分是什么图形呢？这三个图形都是弓形，它和我们看到的哪件物品有关系？
[生] 它和第二个防护罩的侧面是一种图形。
[师] 可见要解决开始提出的问题，我们还得学习弓形的面积公式。
同学们接着观察上面的三个图形中，弓形的面积和扇形的面积有何关系？
[生] 把扇形OAmB的面积以及△OAB的面积计算出来，就可以得到弓形的面积，
图（1）中，弓形AmB的面积小于半圆的面积，这时S弓形=S扇－S△ABC,
图（2）中，弓形AmB的面积大于半圆的面积，这时S弓形=S扇＋S△ABC,
图（3）中，弓形AmB的面积等于半圆的面积，这时S弓形=S圆。
[板书] 四、弓形面积公式
（1）弓形AmB的面积小于半圆的面积，这时S弓形=S扇－S△ABC,
（2）弓形AmB的面积大于半圆的面积，这时S弓形=S扇＋S△ABC,
（3）弓形AmB的面积等于半圆的面积，这时S弓形=S圆。
[师] 同学们，通过我们共同探讨和总结得出了哪些结论呢？
[生] 弧长公式、弦长公式、扇形面积公式、弓形面积公式。
[师] 我们掌握了这些知识是非常重要的，而且有些公式不可死记，要理解它的推导过程，同时可以促进我们逻辑推理能力的提高。当然，也可以很容易地解决本次课开始提出的问题了。

[出示胶片2]
三角带传动，要安装防护罩，一种形状如左图所示，另一种如右图所示，尺寸要求已在图中标出，请计算下料时(1)所用材料的面积和（2）的侧面积

（1） 胶片2 （2）

2
A
B
C

并展开硬纸片做成的模型（1），把各个面展示给学生，让学生求其全面积，(学生板演)。
解：S侧=－= 262788.56 mm2
S全=2×S侧＋120×=593401.12 mm2
展开模型（2），让学生求其侧面积，学生板演。
解：S侧=－× 2×400sin= 131840mm2
[课下思考题]
[师] [拿出做好的烟囱帽模型]，这是一个做好烟囱帽模型，谁能看出它是什么形状？
[生] 是圆锥形。
[师] 如果沿一条母线展开这个模型，展开后是什么形状呢？
[沿一条母线展开这个模型]
[生] 是扇形。
[师] 如果已知这个圆锥形的底边周长和母线长，要用铁片做一个烟囱帽，应如何下料？留作课下思考。
本节小结：通过本次课的学习，大家应理解对弧长公式，弦长公式，扇形面积公式，弓形面积公式的推导，识记这些公式，并会灵活的应用到实际生活、生产中。
板书设计：
弧长、弦长与扇形面积、弓形面积
复习：圆的周长 L=πd=2πr
一、弧长公式：Ln== （及推导过程）
二、弦长公式：L=2r sin=d sin（及推导过程）
（其中圆心角=，则L=dsin）.
三、扇形面积公式：S扇= = Ln r （及推导过程）
四、弓形面积公式：
（1）弓形AMB的面积小于半圆的面积，这时S弓形=S扇－S△ABC,
（2）弓形AMB的面积大于半圆的面积，这时S弓形=S扇＋S△ABC,
（3）弓形AMB的面积等于半圆的面积，这时S弓形=S圆。

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布置作业：
1．要气割一块如图（1）所示的钢板求气割的总长度。
2．型钢横断面如图（2）所示，求其面积。

（1） （2）

3．连接件样板如图（3）所示，求样板面积。
4．防护罩如图（4）所示，求其侧面积。

（3） （4）
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