必修一 第一章 集合(集合讲义,做的很细,适合初学者).doc

集合

1.1 集合的含义与表示 2
1.11 集合的含义 2
1.12集合的表示 5
1.2 子集、全集、补集 9
1.3 交集、并集 13

第一章 集合

集合
定义、性质、运用
交集、并集
集合的定义及其表示
子集、全集、补集
集合中元素的特性
集合的分类
集合的表示法
定义、性质、运用

1.1 集合的含义与表示
1.11 集合的含义

互异性
集合定义

无序性
元素的特性
集合

有限集

无限集
集合的分类

空集

一、知识梳理
1．集合的含义： 构成一个集合(set).
注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.
（2）集合是一个“整体.
（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的
2．集合中的元素：
集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）.简称元.
集合一般用大写拉丁字母表示，如集合A,
元素一般用小写拉丁字母表示.如a,b,c……等.
思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？
【答】
3．集合中元素的特性：
（1）确定性.设A 是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
（3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关.
4．常用数集及其记法：
一般地，自然数集记作____________正整数集记作__________或___________整数集记作________有理数记作_______实数集记作________
5．元素与集合的关系：
如果a是集合A的元素，就记作__________ 读作“___________________”；
如果a不是集合A的元素，就记作______或______读作“_______________”；
6．集合的分类：
按它的元素个数多少来分：
（i） _________________叫做有限集；
（ii）________________________叫做无限集；
（iii） _______________叫做空集，记为_____________

二、 例题讲解
1、运用集合中元素的特性来解决问题
例1．下列研究的对象能否构成集合
（1）世界上最高的山峰 （2）高一数学课本中的难题 （3）中国国旗的颜色
（4）充分小的负数的全体 （5）book中的字母 （6）立方等于本身的实数
（7）不等式2x-8<13的正整数解
【解】

点评:判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准，按照这个确定的标准，它要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，即元素确定性.

例2：集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？
分析：根据集合中的元素互异性可知：集合里的元素各不相同，联列不等式组.

点评: 元素的特性（特别是互异性）是解决问题的切入点.
例3：三个元素的集合1，a，，也可表示为0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值．
分析：三个元素的集合也可表示另外一种形式，说明这两个集合相同，而该题目从特殊元素0入手，可以省去繁琐的讨论．

点评:从特殊元素入手，灵活运用集合的三个特征．

2、运用元素与集合的关系来解决一些问题
例4：集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？
（1）0 （2） （3）
分析：先把x写成a+b的形式，再观察a，b是否为整数.

点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元素，就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.
例5：不包含-1，0，1的实数集A满足条件a∈A，则∈A，如果2∈A,求A中的元素？
分析：该题的集合所满足的特征是由抽象的
语句给出的，把2这个具体的元素代入求出A的另一个元素，但该题要循环代入，求出其余的元素，同学们可能想不到.

三、巩固练习
1．下列研究的对象能否构成集合
① 某校个子较高的同学；
② 倒数等于本身的实数
③ 所有的无理数
④ 讲台上的一盒白粉笔
⑤中国的直辖市
⑥中国的大城市
2．下列写法正确的是___________________
①Q
②当n∈N时，由所有(-1)n的数值组成的集合为无限集
③R
④-1∈Z ⑤由book中的字母组成的集合与元素k，o，b组成的集合是同一个集合
把正确的序号填在横线上
3．用∈或填空
1_______N -3_________N 0__________N ________N
1_______Z -3_________Q 0__________Z ________R
0_______N* ________R _______Q cos300_______Z
4． 由实数-x，|x|，，x，组成的集合最多含有元素的个数
是_________________个

1.12集合的表示

列举法

集合的表示

描述法

一、知识梳理
1. 集合的常用表示方法：
（1）列举法
将集合的元素一一列举出来，并____________________表示集合的方法叫列举法.
注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开；
②集合的元素必须是明确的；
③各元素的出现无顺序；
④集合里的元素不能重复；
⑤集合里的元素可以表示任何事物.
（2）描述法
将集合的所有元素都具有性质（ ）表示出来，写成_________的形式,称之为描述法.
注意：
①写清楚该集合中元素满足性质；
②不能出现未被说明的字母；
③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”；
④所有描述的内容都要写在集合的括号内；
⑤用于描述的语句力求简明，准确.
思考:还有其它表示集合的方法吗？
【答】
文字描述法：是一种特殊的描述法，
如：{正整数}，{三角形}
图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代集合.
2. 集合相等
如果两个集合A，B所含的元素完全相同，
___________________________________ 则称这两个集合相等，记为：_____________

二、 例题讲解
1、用集合的两种常用方法具体地表示合
例1．用列举法表示下列集合：
（1）中国国旗的颜色的集合；
（2）单词mathematics中的字母的集合；
（3）自然数中不大于10的质数的集合；
（4）同时满足的整数解的
集合；
（5）由所确定的实数
集合.
（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N }
分析：先求出集合的元素，再用列举法
表示.

点评: （1）用列举法表示集合的步骤为：
①求出集合中的元素
②把这些元素写在花括号内
（2）用列举法表示集合的优点是元素一目了
然；缺点是不易看出元素所具有的属性.

例2．用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数的集合；
（2）使有意义的x的集合；
（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；
（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；
（5）图中阴影部分内点的集合；

分析：用描述法表示来集合，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.

点评: 用描述法表示集合时，注意确定和简
化集合的元素所具有的共同特性

例3．已知A={a|}，
试用列举法表示集合A．
分析：用列举法表示的集合，要认清集合的实质，集合中的元素究竟满足哪
些条件．

点评:本题实际上是要求满足6被3-a整除的
整数a的值，若将题目改为，
则集合A={-3，0，1，2，4，5，6，9}.

2、有关集合相等方面的问题
例4．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．
分析：含字母的两个集合相等，并不意味着 按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性.

例5． 已知集合B={x|}有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A.
点拔：
本题集合B={x|}有唯一元素，同学们习惯上将分式方程去分母，转化为一元二次方程的判别式为0，事实上当a=时，也能满足唯一元素，但方程已不是一元二次方程，而是一元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论 .

三、 巩固练习
1.用列举法表示下列集合：
(1) {x|x2+x+1=0}
(2){x|x为不大于15的正约数}
(3) {x|x为不大于10的正偶数}
(4){(x,y)|0≤x≤2，0≤y<2，x，y∈Z}
2. 用描述法表示下列集合：
(1) 奇数的集合；
(2)正偶数的集合；
(3)不等式2x-3>5的解集；
(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的
集合； .
3. 下列集合表示法正确的是
(1) {1，2，2}；
(2) {Ф}；
(3) {全体有理数}；
(4) 方程组的解的集合为
{2，4}；
（5）不等式x2-5>0的解集为{x2-5>0}.

4、集合A={x|y=x2+1}，B={t|p=t2+1}
C={y|x =}，这三个集合
的关系？
5、已知A={x|}，试用列举法表示集合A．

1.2 子集、全集、补集

相等

集
合
的
关
系

子集
包含

真子集

补集

全集

一、知识梳理
1．子集的概念及记法：
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（ ），则称集合 A为集合B的子集（subset）,记为___________或___________读作“________________”或“__________________”用符号语言可表示为：__________________.
注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B；
（2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.
2．子集的性质：
① A A
②
③ ,则
思考:与能否同时成立？
【答】 _________
3．真子集的概念及记法：
如果，并且A≠B，这时集合 A称
为集合B的真子集（proper set）,记为
_________或_________读作“__________
__________”或“__________________”
4．真子集的性质：
①是任何非空集合的真子集
符号表示为___________________
②真子集具备传递性
符号表示为___________________
5．全集的概念：
如果集合U包含我们所要研究的各个集合，
这时U可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____
6．补集的概念：
设____________，由U中不属于A的所有元 素组成的集合称为U的子集A的补集（complementary set）, 记为___________
读作“_________________________”
即：=_______________________
7．补集的性质：
① =__________________
② =__________________
③ =______________

二、 例题讲解
1、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式
例1．写出集合{a，b}的所有子集及其真子集；
写出集合{a，b，c}的所有子集及其真子集；
分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏，
但应注意两个特殊的子集：和本身．

点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．
①一个集合里有n个元素，那么它有2n个子集；
②一个集合里有n个元素，那么它有2n-1个真子集；
③一个集合里有n个元素，那么它有2n-2个非空真子集．

2、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系
例2：
以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．
（1）a与{a} 0 与
（2）与{20，，，}
（3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，
B={-2，2}；
（4）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0 ，x∈R }；
（5）S={x|x为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x为外国人 }

点评:
① 判断两个集合的包含关系，主要是根据集合的子集，真子集的概念，看两个集合里的元素的关系，是包含，真包含，相等．
②元素与集合之间用_______________
集合与集合之间用_______________

3、运用子集的性质
例3：设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}，若BA，
求实数a的取值范围．
分析：首先要弄清集合A中含有哪些元素，在由BA，可知，集合B按元素的
多少分类讨论即可．

点评: B=易被忽视，要提防这一点．

4、补集的求法
例4：①方程组的解集为A，
U=R，试求A及．
②设全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，
是的真子集，求实数a的取值范围．
【解】
① A={x|}，
={x|x≤或x>2}
② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ，
={x|x≤1}
∵ 是的真子集
如图所示：
∴ -a ≤ 1即a≥-1
点评:
求集合的补集时通常借助于数轴，比较形象，直观．

三、巩固练习
1．判断下列表示是否正确：
(1) a{a } (2) {a }∈{a，b }
Ì
(3) {a，b } {b，a }
¹ {-1,1}
(4) {-1，1} {-1，0，1}
Ì
¹
(5) {-1，1}

2．指出下列各组中集合A与B之间的关系．
(1) A={-1，1}，B=Z；
(2)A={1，3，5，15}，B={x|x是15的正约数}；
(3) A = N*，B=N
(4) A ={x|x=1+a2,a∈N*}
B={x|x=a2-4a+5,a∈N*}

3．（1）已知{1，2 }M{1，2，3，4，5}，则这样的集合M有多少个？
（2）已知M={1，2，3，4，5，6， 7,8，9}，集合P满足：PM，且若，则10-∈P，则这样的集合P有多少个？

4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．
(1) 与{0} (2) {-1，1}与{1，-1}
(3) {(a,b)} 与{(b,a)}
(4) 与{0，1，}

5． 若U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1， k∈Z}，则 ___________ ___________：

6．设全集是数集U={2，3，a2+2a-3}，已知
A={b，2}，={5}，求实数a，b的值．

7．已知集合A={x|x=a+，a∈Z}，B={x|x=，b∈Z}，C={x|x=，c∈Z}，试判断A、B、C满足的关系

8．已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}
B A，求a，b的取值范围．

1.3 交集、并集
集合的运算

定义

交集

性质

运用

集合的运算

定义

并集

性质

运用

一、知识梳理
1．交集的定义：
一般地，______________________________________________，称为A与B交集
(intersection set)，记作____________读作“___________”.
交集的定义用符号语言表示为：__________________________________
交集的定义用图形语言表示为：_________________________________
注意：（1）交集（A∩B）实质上是A与B的公共元素所组成的集合.
（2）当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=.
2．交集的常用性质：
（1） A∩A = A；
（2） A∩=；
（3） A∩B = B∩A；
（4）(A∩B)∩C =A∩(B∩C)；
（5） A∩B A， A∩BB
3．集合的交集与子集：
思考:
A∩B=A，可能成立吗？
【答】_______________________________________________
结论：
A∩B = A AB
4．区间的表示法：
设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：
[a， b] = _____________________
（a， b）= _____________________
[a ，b）= _____________________
（a ，b] = ______________________
（a，+∞）=______________________
（-∞，b）=______________________
（-∞，+∞）=____________________
其中 [a， b]，（a， b）分别叫闭区间、
开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭
区间；a，b叫做相应区间的端点.
注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言.
（2）区间符号内的两个字母或数之
间用“，”号隔开.
（3）∞读作无穷大，它是一个符 号，不是一个数.

5．并集的定义：
一般地，_________________________________________________，称为集合A与集合B的并集(union set) 记作__________
读作“___________”.
交集的定义用符号语言表示为：__________________________________
交集的定义用图形语言表示为：_________________________________
注意：
并集（A∪B）实质上是A与B的所有元
素所组成的集合，但是公共元素在同一
个集合中要注意元素的互异性.
6．并集的常用性质：
（1） A∪A = A；
（2） A∪= A；
（3） A∪B = B∪A；
（4）(A∪B)∪C =A∪(B∪C)；
（5） AA∪B， BA∪B
7．集合的并集与子集：
思考:A∪B=A，可能成立吗？A∪是什么集合？
【答】________________________
结论：A∪B = B AB

二、例题讲解
1、求集合的交、并、补集
例1． （1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A∩B；
（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；
（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；

点评:不等式的集合求交集时，运用数轴比较直观，形象.

例2：已知数集 A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．

点评:在集合的运算中，求有关字母的值时，要注意分类讨论及验证集合的特性．

例3：（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B；
（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，B={(x,y)|y=-x2+2x+，x∈R}，求A∩B；
分析：先求出两个集合的元素，或者集合中元素的范围，再进行交集运算．特别注意（1）、
（2）两题的区别，这是同学们容易忽视的地方．

点评:求集合的交集时，注意集合的实质，是点集还时数集．是数集求元素的公共部分，是点集的求方程组的解所组成的集合．

变式训练:1、 根据下面给出的A 、B，求A∪B
①A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}；
②A={y|y=x2-2x}，B={x||x|≤3}；
③A={梯形}，B={平行四边形}．

2．已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x≤0，或x≥}，
求：
①(A∪B)∩P ②∪P
③ (A∩B)∪ ．

点评:求不等式表示的数集的并集时，运用数轴比较直观，能简化思维过程

3、已知集合A={y|y=x-1，x∈R}，B={(x,y)|y=x2-1，x∈R}，C={x|y=x+1，y≥3}，
求.
分析：首先弄清楚A，B，C三个集合的元素
究竟是什么？然后再求出集合的有关 运算.

点评:本题容易出现的错误是不考虑各集合的代表元，而解方程组．突破方法是：进行集合运算时，应分析集合内的元素是数，还是点，或其它．

2、运用并集的性质解题
例4：已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所满足的条件．
分析：由于A∪B=A，可知：B A，
而A={1，-1}，从而顺利地求出实数a，b满足的值或范围．

点评:利用性质：A∪B=A B A是解题的 关键，提防掉进空集这一
陷阱之中．

变式训练：1.若集合P={1，2，4，m}，Q={2，m2}，满足P∪Q={1，2，4，m}，求实数m
的值组成的集合．

2. 已知集合A={x|x2-4x+3=0}，B={x|x2-ax-1=0}，C={x|x2-mx+1=0}，且A∪B=A
A∩C=C，求a，m的值或取范围.

例5：若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，
Ì
¹
（1）若A∪B=A∩B，求a的值；
（2） A∩B，A∩C=，求a的值．

总结：解决本题的关键是利用重要结论：A∪B=A∩B A=B

3、运用交集的性质解题
例6：已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}
（1）若B={5}，求p，q的值．
（2）若A∩B= B ，求实数p，q满足的
条件．
分析：（1）由B={5}，知：方程x2+px+q=0有两个相等，再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p，q的值．
（2）由A∩B= B可知：B A，而A={2，5}从而顺利地求出实数p，q满足的条件．

点评:
利用性质：A∩B = A AB是解题的关键，提防掉进空集这一陷阱之中．
变式训练：1.已知集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，若A∩B =B，求实数m所构成的集合M．

2.已知集合M={x|x≤-1}，N={x|x>a-2}，若M∩N≠，则a满足的条件是什么？

4、借助Venn图解决集合的运算问题
例7：已知全集U={不大于20的质数}，M,N是U的两个子集，且满足M∩()={3，5}，
{7，19}，{2，17}，求M，N的值．
分析：用Venn图表示集合M，N，U，将符合条件的元素依次填入即可．

5、交集并集性质的应用
例8、已知集合A={(x,y)|x2－y2－y=4}，B={(x,y)|x2－xy－2y2=0}，C={(x,y)|x－2y=0}，D{(x,y)|x+y=0}。
(1)判断B、C、D间的关系；
(2)求A∩B。

6、交集、并集在实际生活中的应用
例9、某学校高一(5)班有学生50人，参加航模小且的有25人，参加电脑小组的有32人，求既参加航模小组，又参加电脑小组的人数的最大值和最小值。

思维分析：题目以应用为背景，解题关键是将文字转化为集合语言，用集合运算来解决错综复杂的现实问题。

7、数形结合思想与交集并集的应用

例10、已知集合A={x|－2<x<－1，或x>0}，B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0<x≤2}，A∪B={x|x>－2}，求a、b的值。

点评：此题应熟悉集合的交与并的含义，掌握在数轴上表示集合的交与并的方法.

8、分类讨论思想与交集、并集的综合应用

例11、已知集合A={x|x2－4x+3=0}，B={x|x2－ax+a－1=0}，C={x|x2－mx+1=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求a,m的值或取值范围。
分析：先求出集合A，由A∪B=A，由A∩C=CCA,然后根据方程根的情况讨论。

评注：本例考查A与B，A与C的关系和分类讨论的能力。

三、巩固练习
1. 设A=(-1，3]，B=[2，4），求A∪B；

2.已知A={y|y=x2-1}，B={y|x2=-y+2}求A∪B；

3.写出阴影部分所表示的集合：

4.集合U={1，2，3，4，5，6}，B={1，4}A={2，3，5}
求：．

5. 设集合A={小于7的正偶数}，B={-2，0，2，4}，求A∩B；

6. 设集合A={x|x≥0}，B={x|x≤0,x∈R}，求A∩B；

7. 设集合A={(x,y)|y=-4x+6，x∈R}，B={(x,y)|x=y2-1}求A∩B；

8. 设集合A={x||x=2k+1，k∈Z}，B={y|y=2k-1，k∈Z}，C={x|x=2k ，k∈Z}，
求A∩B，B∩C．

9、 集合A={x|x<－3，或x>3}，B={x|x<1，或x>4}，则A∩B=__________.

10、集合A={a2，a+1，－3}，B={a－3，2a－1，a2+1}，若A∩B={－3},则a的值为___________.

11、已知A={x|x2－px+15=0}，B={x|x2－ax－b=0}，且A∪B={2,3,5}，A∩B={3}，求p,a,b的值。

12、集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是___________.

13、设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0,a∈R}.
(1)若A∩B=B，求实数a的值。
(2)若A∪B=B,求实数a的值。