九年级数学下册 第2章 圆 2.3 垂径定理教案 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中九年级下册数学教案.docx

*2.3 垂径定理
教学目标：
【知识与技能】
1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证．
2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算．
【过程与方法】
在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力．
【情感态度】
通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情．
【教学重点】
垂径定理及运用．
【教学难点】
用垂径定理解决实际问题．
教学过程：
一、情境导入，初步认识
教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下：
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
（2）如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点M，能发现图中有哪些等量关系？（在纸片上对折操作）
学生回答或展示：
【教学说明】
（1）是轴对称图形，对称轴是直线CD．
（2）AM=BM，．
二、思考探究，获取新知
探究1 垂径定理及其推论的证明．
1.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程．
已知：直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为点M．
求证：AM=BM，
【教学说明】连接OA=OB，又CD⊥AB于点M，由等腰三角形三线合一可知AM=BM，再由⊙O关于直线CD对称，可得．学生尝试用语言叙述这个命题．
2.得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．还可以得出结论(垂径定理推论)：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
3.学生讨论写出已知、求证，并说明．
学生回答：
【教学说明】已知：AB为⊙O的弦(AB不过圆心O)，CD为⊙O的直径，AB交CD于点M，MA=MB．
求证：CD⊥AB， ．
证明：在△OAB中，∵OA=OB，MA=MB，
∴CD⊥AB．又CD为⊙O的直径，
∴．
4.同学讨论回答，如果条件中，AB为任意一条弦，上面的结论还成立吗?
学生回答：
【教学说明】当AB为⊙O的直径时，直径CD与直径AB一定互相平分，位置关系是相交，不一定垂直．
探究2 垂径定理在计算方面的应用．
例1讲教材例1

例2已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=10cm，CD=24cm，求AB与CD间的距离．

解：(1)当AB、CD在O点同侧时，如图①所示，过O作OM⊥AB于M，交CD于N，连OA、OC．∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N．在Rt△AOM中，AM=5cm，OM= =12cm．在Rt△OCN中，CN=12cm，ON= =5cm．∵MN=OM-ON，∴MN=7cm．
(2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，由（1）可知OM= 12cm，ON=5cm，MN=OM+ON，∴MN=17cm．∴AB与CD间的距离是7cm或17cm．
【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去．
2.AB、CD与点O的位置关系没有说明，应分两种情况：AB、CD在O点的同侧和AB、CD在O点的两侧．
探究3与垂径定理有关的证明．
例3讲教材例2
【教学说明】1.作直径EF⊥AB，∴．
又AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD．
∴．
∴，即．
2.说明直接用垂径定理即可．
三、运用新知，深化理解
1.如右图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
2.如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，-4)，N(0，-10)，
函数 (x＜0)的图象过点P，则k=______．

3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE为正方形．

【教学说明】1.在解决与弦的有关问题时，常过圆心作弦的垂线（弦心距），然后构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用直角三角形的性质求解．
2.求k值关键是求出P点坐标．
3.利用垂径定理，由AB=AC→AE=AD，再由已知条件→三个直角→正方形．
【答案】1．D 2．28
3．解：由OE⊥CA，OD⊥AB，AC⊥AB，∴四边形ADOE为矩形．再由垂径定理;AE=AC，AD=AB，且AB=AC，∴AE=AD，∴矩形EADO为正方形．
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.在学生回答基础上．
3.教师强调：①圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；②垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；④注意计算中的两种情况．
课堂作业：
教材习题2.3第1、2题．
教学反思：
本节课由折叠圆形入手，让学生猜想垂径定理并进一步推导论证，在整个过程中着重学习动手动脑和推理的能力，加深了对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情．