北师版九年级数学上册直角三角形.doc

直角三角形
教学目标
(一)教学知识点
1．能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性．
2．利用“HL”定理解决实际问题，
(二)思维训练要求
1．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力．
2．初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神．
(三)情感与价值观要求
1．积极参与数学活动、对数学有好奇心和求知欲．
2．形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
教学重点
HL定理的推导及应用．
教学难点
HL定理的推导．
教学方法
引导——探索——交流法
教具准备
多媒体演示
三角尺
教学过程
Ⅰ．提问、质疑，引入新课
[师]我们曾在第一节运用公理证明过等腰三角形的性质，同学们还曾记得如何证明吗？
[生]我们从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”．
[师]我们能否通过作等腰三角形底边上的高来证明“等边对等角”．
[生]可以，过程如下：
已知：在△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．

证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
又∵AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．
[生]推理过程有问题．他在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．我可以画图说明．(如图所示)
在△ABD和△ABC中，
AB＝AB，∠B＝∠B，AC＝AD，但△ABD与△ABC不全等．

[生]这里的∠B是锐角，如果∠B是直角，即如果其中一边所对的角是直角，这两个三角形就是全等的．我认为第一个同学的证明无误．
[师]按你的说法，在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．你能证明你的结论吗？
Ⅱ．引入新课
1．“HL”定理
[师生共析]已知：在Rt△ABC和Rt△A＇B＇C＇中，∠C＝∠C＇＝90°，AB＝A＇B＇，BC＝B＇C＇．
求证：Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．

证明：在Rt△ABC中，AC＝(勾股定理)．
在Rt△A＇B＇C＇中，A＇C＇＝(勾股定理)．
又∵AB＝A＇B＇，BC＝B＇C＇，∴AC＝A＇C＇．
∴Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇(SSS)．
教师用多媒体演示：
定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示
其中“斜边、直角边”或“HL”要连续闪烁三次．
[师]看来第一位同学通过作底边的高证明两个三角形全等，从而得到“等边对等角”是正确的．
下面我们来做一个练习．(用多媒体从上到下逐行演示)
判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形相等；
(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
[生](1)是假命题，如图，AB∥DE，∠C＝90°．

∵AB∥DE，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠C＝∠C＝90°，但△ABC与△DEC不全等．
所以有两个锐角对应相等的两个直角三形不一定全等．
[生](2)是真命题．因为两个直角三角形两直角对应相等是不变的，再加上斜边及一锐角对应相等，根据“AAS”定理，可以判断这两个直角三角形全等．
[生](3)是真命题，两条直角边对应相等，再加上它们的夹角都是90°，也对应相等，根据“SAS”公理，可判断两个直角三角形全等．
[师生共析]由此我们可知两个直角三角形全等，除一般三角形的判定方法如SAS、ASA、AAS、SSS外，还有其特殊的判定定理“HL”定理．
我们一同来看第(4)个命题．
[生]第(4)个命题是真命题．
[师]下面请同学们将第(4)个命题的推理过程书写出来．
[生]已知：Rt△ABC和Rt△A＇B＇C＇，∠C＝∠C＇＝90°，BC＝B＇C＇，BD、B＇D＇分别是AC、A＇C＇边上的中线且BD＝B＇D＇(如图)．

求证：Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．
证明：在Rt△BDC和Rt△B＇D＇C＇中，
∵BD＝B＇D＇，BC＝B＇C＇，
∴Rt△BDC≌Rt△B＇D＇C＇(HL定理)．
∴CD＝C＇D＇．
又∵AC＝2CD，A＇C＇＝2C＇D＇，∴AC＝A＇C＇．
在Rt△ABC和Rt△A＇B＇C＇中，
∴BC＝B＇C＇，∠C＝∠C＇＝90°，AC＝A＇C＇，
∴Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇(SAS)．
2．做一做
问题 你能用三角尺平分一个已知角吗？
(用多媒体演示)
[师]请同学们用手中的三角尺操作完成，并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法．
[生]用三角尺可以作已知角的平分线：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM＝ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．

[师]同学们表现都很棒．你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？
[生]可以．已知：如上图，由作图步骤可知ON＝OM，MP⊥OA，NP⊥OB，M、N分别为垂足．
求证：∠AOP＝∠BOP．
证明：∵MP⊥OA，NP⊥OB，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°．
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
∵OP＝OP，OM＝ON，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL定理)．
∴∠AOP＝∠BOP(全等三角形的对应角相等)．
3．议一议
教师用多媒体演示：
如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来．

[师]这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．
(教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出挑战)
[生]观察图形不难发现，在Rt△ACB和Rt△BDA中，除∠ACB＝∠BDA＝90°外，它们还有一条公共边，根据直角三角形全等的判定可知添加的条件可以是直角三角形的锐角，也可以是直角三角形中的直角边．从添加角来说，可以添加∠CBA＝∠DAB或∠CAB＝∠DBA；从添加边来说，可以是AC＝BD，也可以是BC＝AD．
[生]还可以将BC、AD的交点设为O，若OA＝OB，则△ACB≌△BDA．
[师]第一位同学的想法思路清晰明了，第二位同学敢打破常规思路，独辟蹊径，并且很有见地．请同学们思考，第二位同学添加的条件可以吗？若可以，请同学们推导证明；若不可以，说明理由．
[生]我认为可以，我是这样推导出来的．
已知：如上图，AD、BC交于点O，且OB＝OA，∠ACB＝∠BDA＝90°．
求证：△ACB≌△BDA．
证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中
∵AO＝BO，∠ACB＝∠BDA＝90°，∠AOC＝∠BOD(对顶角相等)，
∴△ACO≌△BDO(AAS)．
∴AC＝BD．又∵AB＝AB，
∴△ACB≌△BDA(HL定理)．
[生]我还有一种方法，如果把刚才添加的条件“OA＝OB”改写成“OC＝OD”，也可以使△ACB≌△BDA．
[师]请同学们思考这样做可以吗？
[生]我认为可以．推导过程如下：
已知：如上图，∠ACB＝∠BDA＝90°，OC＝OD．
求证：△ACB≌△BDA．
证明：在△AOC和△BOD中，
∵∠ACB＝∠BDA＝90°，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD(对顶角相等)，
∴△AOC≌△BOD(ASA)．
∴AC＝BD(全等三角形对应边相等)
在△ACB和△BDA中，
∵AB＝AB，AC＝BD，∠ACB＝∠BDA，
∴△ACB≌△BDA(HL定理)．
[生]我又有一种想法．若添加“∠CAD＝∠DBC”，可以得出△ACB≌△BDA吗？
[生]我认为不可以，因为添“∠CAD＝∠DBC”，则在△AOC和△BOD中，有三个内角对应相等，不能证明△AOC≌△BOD，也就不能获得△ACB和△BDA全等的条件．
[师]同学们分析得很透彻，由此我们得到了六种不同的答案．例如，(1)AC＝BD；(2)BC＝AD；(3)∠CBA＝∠DAB；(4)∠CAB＝∠DBA；(5)OA＝OB；(6)OC＝OD，等．
下面我们再来看一例题．
教师用多媒体演示：
[例题]如图，在△ABC≌△A＇B＇C＇中，CD，C＇D＇分别是高，并且AC＝A＇C＇，CD＝C＇D＇，∠ACB＝∠A＇C＇B＇．
求证：△ABC≌△A＇B＇C＇．

分析：要证△ABC≌△A＇B＇C＇，由已知中找到条件：一组边AC＝A＇C＇，一组角∠ACB＝∠A＇C＇B＇．如果寻求∠A＝∠A＇，就可用ASA证明全等；也可以寻求∠B＝∠B＇，这样就有AAS；还可寻求BC＝B＇C＇，那么就可根据SAS．……注意到题目中，还有CD、C＇D＇是三角形的高，CD＝C＇D＇．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证的Rt△ADC≌Rt△A＇D＇C＇，因此证明∠A＝∠A＇就可行．
证明：∵CD、C＇D＇分别是△ABC、△A＇B＇C＇的高(已知)，
∵∠ADC＝∠A＇D＇C＇＝90°．
在Rt△ADC和Rt△A＇D＇C＇中，

∴Rt△ADC≌Rt△A＇D＇C＇(HL)．
∴∠A＝∠A＇(全等三角形的对应角相等)．
在△ABC和△A＇B＇C＇中，

∴△ABC≌A＇B＇C＇(ASA)．
Ⅲ．课时小结
本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广大．
Ⅳ．课后作业
习题1．5第1、2题
Ⅴ．活动与探究
(2003年山西)取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B＇，得Rt△AB＇E，如图(2)；
第三步：沿EB＇折叠得折痕EF，如图(3)．
利用展开图(4)探究：
(1)△AEF是什么三角形？证明你的结论；
(2)对于任一矩形，按上述方法是否都能折出这种三角形？说明理由．

[过程](1)题中，根据折叠步骤可知：图中有平行线、全等三角形、直角三角形，联想到有关定理，找出△AEF的边与边之间的关系，角之间的关系，即可判断△AEF的形状．
(2)题中，是否能折出这种三角形，关键是F是否落在AD上，当F与D重合时，求出这时矩形长与宽的比值，这个比值就是从数量上分析能否折出这种三角形的分界点．
[结果](1)△AEF是等边三角形．
证法一：由△ABE与△AB＇E完全重合，
∴△ABE≌△AB＇E，∠BAE＝∠1．
由图可知EB＇＝B＇F，AB＇＝AB＇，
又∠AB＇E＝90°，∴△AB＇E≌△AB＇F(SAS)．
∴AE＝AF，∠1＝∠2＝∠BAD＝30°．
∴△AEF是等边三角形．
证法二：由图可知PE＝PA，
∴B＇P是Rt△AB＇E斜边上的中线．
∴PA＝PB＇．∴∠1＝∠3．
又∵PN∥AD，∴∠2＝∠3．
而2∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2＝30°．
在Rt△AB＇E中，∠1＋∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝60°，∠EAF＝∠1＋∠2＝60°．
∴△AEF是等边三角形．
(2)不一定．由以上推理可知当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，
即矩形的宽与长的比为∶2时正好能折出．
设矩形的长为a，宽为b，可知b≤a时，按此法一定能折出等边三角形，当a＜b＜a时，按此法无法折出完整的等边三角形．
板书设计
§1．2．2 直角三角形(二)
1．质疑：
问题：(1)两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？
(2)如果其中一边的对角是直角呢？
2．“HL”定理
3．做一做：用三角尺作已知角的平分线，并说明理由．
4．议一议：找出课本P21图1－13所有不同的答案．
5．总结：直角三角形全等的判定方法．