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21．5 反比例函数
第1课时 反比例函数
1．领会反比例函数的意义，理解并掌握反比例函数的概念；(重点)
2．会判断一个函数是否是反比例函数；(重点)
3．会求反比例函数的表达式．(难点)
一、情境导入
你吃过拉面吗？有人能拉到细如发丝，同时还能做到丝丝分明．实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识．
一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与面条的粗细之间有什么关系呢？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的概念
【类型一】 辨别反比例函数
在下列反比例函数表达式中，哪些函数表示y是x的反比例函数？
(1)y＝； (2)y＝； (3)y＝；
(4)xy＝； (5)y＝； (6)y＝－；
(7)y＝2x－1； (8)y＝(a≠5，a是常数)．
解析：根据反比例函数的概念，必须是形如y＝(k是常数，k≠0)的函数，才是反比例函数．如(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意y＝(k是常数，k≠0)的一些常见的变化形式，如xy＝k，y＝kx－1等，所以(4)(7)也是反比例函数．在(5)中，y是(x－1)的反比例函数，而不是x的反比例函数．(1)中的y是x的正比例函数．故(2)(3)(4)(6)(7)(8)表示y是x的反比例函数．
方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，关键看它能否写成y＝(k是常数，k≠0)或xy＝k(k≠0)及y＝kx－1(k≠0)的形式，即两个变量的积是不是一个非零常数．如果两个变量的积是一个不为0的常数，则这两个变量就是反比例关系；否则便不成反比例关系．
【类型二】 根据反比例函数的概念求值
若y＝(k2＋k)xk2－2k－1是反比例函数，试求(k－3)2015的值．
解：根据反比例函数的概念，得
所以
即k＝2.
因此 (k－3)2015＝(2－3)2015＝－1.
易错提醒：反比例函数表达式的一般形式y＝(k是常数，k≠0)也可以写成y＝kx－1(k≠0)，利用反比例函数的定义求字母参数的值时，一定要注意y＝中k≠0这一条件，不能忽略，否则易造成错误．
探究点二：确定反比例函数的表达式
【类型一】 利用待定系数法求反比例函数的表达式
已知y是x的反比例函数，当x＝－4时，y＝3.
(1)写出y与x的函数表达式；
(2)当x＝－2时，求y的值；
(3)当y＝12时，求x的值．
解：(1)设y＝(k≠0)，∵当x＝－4时，y＝3，∴3＝，解得k＝－12.因此，y与x的函数表达式为y＝－；
(2)把x＝－2代入y＝－，得y＝－＝6；
(3)把y＝12代入y＝－，得12＝－，x＝－1.
方法总结：(1)求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为y＝(k≠0)，然后再求出k值；(2)当反比例函数的表达式y＝(k≠0)确定以后，已知x(或y)的值，将其代入表达式中即可求得相应的y(或x)的值．
【类型二】 利用待定系数法求组合型函数的表达式
已知y＝y1＋y2，其中y1与x成正比例关系，y2与x成反比例关系，并且当x＝2时，y＝－4；当x＝－1时，y＝5.求y与x的函数表达式．
解：∵y1与x成正比例关系，∴设y1＝k1x(k1≠0)．
∵y2与x成反比例关系，∴设y2＝(k2≠0)．∴y＝k1x＋.
把x＝2，y＝－4及x＝－1，y＝5代入y＝k1x＋，得解得
∴y＝－x－.
易错提醒：当一个函数的表达式由若干个常见的函数(正比例函数、反比例函数等)组成时，它们各自有待定系数，不能一律为k.本题易出现设y1＝kx(k≠0)，y2＝(k≠0)的形式，导致两个待定系数都是k的错误．
探究点三：列反比例函数关系式
如图所示，某学校广场有一段25米长的旧围栏(图中用线段AB表示)．现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边建成一块面积为100平方米的矩形草坪(图中的矩形CDEF，CD<CF)，已知整修旧围栏的价格为1.75元/米，建新围栏的价格为4.5元/米，设所利用的旧围栏CF的长度为x米，修建草坪围栏所需的费用为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若利用旧围栏12米，则计划修建费用应为多少元？
解析：可先利用面积把长与宽表示出来，求出y与x之间的关系，再利用x＝12求出y的值．
解：(1)∵S矩形CDEF＝100，CF＝x，∴CD＝，∴y＝1.75x＋4.5(x＋)＝6.25x＋(10<x≤25)；
(2)由(1)知y＝6.25x＋(10<x≤25)，当x＝12时，y＝6.25x＋＝6.25×12＋＝150，即计划修建费用应为150元．
方法总结：解此类题型，首先要理解题意，然后根据已知条件选择合适的数学模型，最后根据实际情况确定自变量的取值范围．
三、板书设计
反比例函数
结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象．利用多媒体创设大量生活情境，让学生体验数学来源于生活实际，并为生活实际服务，从而培养学生学习数学的兴趣．
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