秋九年级数学上册 第24章 解直角三角形 24.3 锐角三角函数 1 锐角三角函数第2课时 特殊角的锐角三角函数值教案（新版）华东师大版-（新版）华东师大版初中九年级上册数学教案.doc

第2课时 特殊角的三角函数值

1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)
3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)

一、情境导入
问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？
问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．

二、合作探究
探究点一：特殊角的三角函数值
【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算
计算：
(1)2cos60°·sin30°－sin45°·sin60°；
(2).
解析：将特殊角的三角函数值代入求解．
解：(1)原式＝2××－××＝－＝－1；
(2)原式＝＝2－3.
方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．

【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围
若cosα＝，则锐角α的大致范围是(　　)
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜30°
解析：∵cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝，且＜＜，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.
方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．

【类型三】 根据三角函数值求角度
若tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是(　　)
A．20° B．30° C．40° D．50°
解析：∵tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝.∵tan30°＝，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.
　　方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．

探究点二：特殊角的三角函数值的应用
【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．

解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可．
解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝，即＝，解得BC＝2(＋1)．
方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．

【类型二】 判断三角形的形状
已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，试判断△ABC的形状．
解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，∴tanA＝1，sinB＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．
方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.

【类型三】 构造三角函数模型解决问题
要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝，∠ABC＝30°，∴tan30°＝＝＝.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．

解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝，tan75°＝求出即可．
解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－.在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－)2＝(1－x)2，解得x＝2－3，∴tan15°＝＝2－，tan75°＝＝＝2＋.

方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．

三、板书设计
1．特殊角的三角函数值：

30°
45°
60°
sinα

cosα

tanα

1

2.应用特殊角的三角函数值解决问题．

课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.