八年级数学 平方根(3) 教案人教版.doc

10.1 平方根

课程目标
一、知识与技能目标
1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。了解算术平方根与平方根的区别与联系。毛
2.对于任意有理数都能区分其“＋”、“－”性，运用计算器已势在必行。
二、过程与方法目标
采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？
三、情感态度与价值观目标
1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。
2.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。

教材解读
本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。

学情分析
上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。
一、创设情境,导入新课
同学们,你知道“神舟五号”载人飞船吗？“神舟五号”载人飞船于2003年10月15日9时整,在中国酒泉卫星发射中心进行首次载人航天发射,由“长征二号”F型火箭点火升空,这标志着我国的航天事业又前进了一步,我国在世界上的地位也徒然而升了;当物体达到11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力的束缚,在摆脱地球束缚的过程中,在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行,脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行,若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系,物体的运动速度必须达到16.7千米/秒,那时将按双曲线轨迹飞离地球,而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳.经过计算,在地面上,物体的运动速度达到7.9千米/秒时,该速度被称为第一宇宙速度.第一宇宙速度与哪些因素有关呢?又是如何计算呢?
二、师生互动,课堂探究
(1)前面在第一节课的学习中,我们计算过了很多互为相反数的平方,发现这些数的平方值会相等,按照我们求正数x的算术平方根的考虑,若x2=a,则x=称为a的算术平方根,而x还有一个负值,又该如何称呢?
(2)宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒),其中v1、v2满足v12=gR,v22=2gR,其中g是物理中的一个常数(重力加速度),g≈9.8米/秒2,R是地球半径,R≈6.4×106米,如何确定v1、v2的值呢?它与算术平方根有什么关系?下面让我们来逐个分析吧.
(二)导入知识,解释疑难
1.若一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢?
由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和-4叫做16的平方根,记为4=,则-4= -,把4和-4称为16的平方根.
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,即若x2=a,则x为a的平方根,记为x=±.如3和-3是9的平方根,记为±3是9的平方根,表示为±3=±.
把求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,而平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根,例如当x2=1时,x=±1;当x2=16时,则x=±4,当x2=36时,x=±6;当x2=49时,x=±7;当x2=,则±为的平方根,依次可记为±,±,±,±,±,它们的对应关系如图所示.

练习:求下列各数的平方根.
(1)0.49 (2) (3)81 (4)0 (5)-100
解:(1)因为0.72=0.49,(-0.7)2=0.49,所以0.49的平方根为±0.7,即±=±0.7
(2)因为()2=,(-)2= ,所以的平方根为±,即±=±
(3)因为92=81,(-9)2=81,所以81的平方根为±9,即±=±9.
(4)因为02=0,所以0的平方根为0,即±=0.
(5)因为任何数的平方都不小于0,找不到平方为-100的数,故-100没有平方根.
将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较,正数(或0)的算术平方根只是它们的平方根中的一部分,是正数(或0)的那部分,而负的那个值正好是算术平方根的相反数,进一步可归纳出:
正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数.
0的平方根是0
负数没有平方根
例1:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根.
(1) (2)- (3)±
解:(1)因为1.22=1.44,所以=1.2,1.44的平方根为±1.2,即±=±1.2.
(2)因为92=81,所以-=-9,81的平方根为±9,即±=±9.
(3)因为()2=,所以±=±,它正是的平方根.
故求正数的平方根时,只要知道它的算术平方根,就能确定了,因为其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方根.同样如果知道某数的算术平方根的相反数,则该数的平方根同样可确定.
面对问题(2)中的“宇宙速度”,我们知道第一宇宙速度v12=gR,其中g=9.8米/秒2,R≈6.4×106米,v22=2gR,则有v12≈9.8×6.4×106米2/秒2≈62.72×106米2/秒2=6.27×107米2/秒2.v22≈125.44×106米2/秒2=1.2544×108米2/秒2
因此,v1是6.272×107的平方根,v2是1.2544×108的平方根.
那么v1=±≈±7.9×103米/秒=±7.9千米/秒,v2=± ≈±11.2×103米/秒=±11.2千米/秒
但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑速度的方向,故负值不合题意,应舍去,实际上,在某些具体问题中,要根据得出的答案是否有意义而取值.
例2:某矩形的面积为13200平方米,若其长是宽的3倍,试求出此矩形的长与宽分别是多少米?
解:设宽为x米,则长为3x米,其面积为3x2平方米
故3x2=13200 x2=4400 解得x=±=±66.33
但x为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米,即此矩形的长为198.99米,宽为66.33米.
2.探究活动
对于正数x和y,有下列命题:
(1)若x+y=2,则≤1 (2)x+y=3,则≤ (3)若x+y=6,则≤3
根据以上三个命题所提供的规律猜想:
(1)若x+y=9,则≤_______.
(2)若对于任意正数a、b,总有≤_____.
分析:当x+y=3时,有≤,从中发现分母为2,分子为x、y的和,再验证其它的等式:x+y=2时,则≤=1.当x+y=6时, ≤=3.与已知相吻合,故有结论m>0,n>0,且m+n=a时,则≤,即≤
∴x+y=9时,则≤, ≤
由此得a+b≥2, 即(-)2≥0
(三)归纳总结,知识回顾
本节课针对平方根与算术平方根的意义具体地分析何种情形用平方根,何种情形用其算术平方根,得根据实际情况选择答案.

练习设计
(一)双基练习
1. 的值为多少?16的平方根为多少? 的平方根呢?
2.如果一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少?
3.有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m2,求长和宽.
4.若(a-)2= +a2-2,现老师布置了一道化简题: +(a=) .甲、乙两同学很快地写出其解答过程:
甲: + =+=+-a=-a,
当a=时,-a=10-=9
乙: +=+=+a-=a=
谁的答案是对的?为什么?
(二)创新提升
5.已知a=-1,b=2-,c=-2,试比较a、b、c的大小.(不用计算器)
(三)探究拓展
6.若的整数部分为a,小数部分为b,求a、b的值.

参考答案
1.4,±4,±2 2.-4 3.长为10m,宽为2.5m
4.甲的答案是对的,因为a= 时,>a.
5.因为3>2 ,
所以a-b=-1-=-1->-1-=-1-,
而c-a=--1- =a-b>0
∴b<a<c
6.∵<<
∴5<<6
∴ 的整数部分为5,小数部分为-5,即a=5,b=-5

课后习题答案
习题10.1
1.(1)14 (2) (3)0.2 (4)10
2.(1)(3)(4)式有意义,(2)式无意义 -3没有算术平方根
3.(1)±15 (2) (3) (4)
4.(1)对 (2)对 (3)错 (4)对
5.(1) ≈29.44 (2) ≈0.6801
(3)-≈-0.5657 (4)±≈±49.01
6. 最接近的两个整数是6和7
7.(1)±16.4 (2) ≈16.9
(3) 在16.4～16.5之间,
因为16.42=268.95<270,16.52=272.25>270,
故169<<16.5
(4)16.1
8.(1)x=±5 (2)x=±9 (3)x=±
9.120=4.9t2,t2=24.48 t=≈4.95秒≈5秒
10.2倍,3倍, 倍
11.(1)2,3,5,6,7,0 , =│a│
(2)4,9,25,36,49,0 ,()2=a.
12.其值最接近1.毛