资源描述
实际问题与一元一次不等式
知识点
1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题；
2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，渗透分类讨论思想，感知方程与不等式的内在联系；
3、在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识一元一次不等式的应用价值，形成实事求是的态度和独立思考的习惯。
教学目标
寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型。
教学重点
一元一次不等式组的解集和解法。
灵活解一元一次不等式组，会运用不等式组的解集解决相关问题。
教学难点
弄清列不等式解决实际问题的思想方法。
列不等式解决问题中如何建立不等式关系，并根据不等关系列出不等式。
教学过程
一、课堂导入
提出问题某学校计划购实若干台电脑，现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25％；乙商场的优惠条件是：每台优惠20％．如果你是校长，你该怎么考虑，如何选择？
二、复习预习
引入新课前面我们结合实际问题，讨论了如何根据数量关系列不等式以及如何解不等式．在本节课上，我们将进一步探究如何用一元一次不等式解决生活中的一些实际问题．
提出问题某次知识竞赛共有20道题．每道题答对加10分，答错或不答均扣5分：小跃要想得分超过90分，他至少要答对多少道题？
三、知识讲解
考点/易错点1
一元一次不等式的应用
例如：一次奥运知识竞赛中，一共有25道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分，设小明同学在这次竞赛中答对x道题，
根据所给条件完成下表：
答错或不答
-5
x
每题分值
题数
答题情况
答对
得分
10
10x
若小明同学的竞赛成绩超过100分，则他至少答对几道题？
思路分析：找不等关系是列不等式的关键，题目中的关键词语为小明竞赛成绩超过100分。
解：（1）25-x, -5(25-x)
(2)根据题意，得10x-5(25-x)>100,
解得x>15
∴小明同学至少答对16道题。
考点/易错点2
根据两个不等式的解集相同，求字母的取值范围：
例如：如果不等式6x<a+5和2x<4的解集相同，那么字母a的取值范围是 。
思路分析：可分别求出两个不等式的解集，再根据两个不等式的解集相同得出关于a的方程，从而求出a的值。
解：因为2x<4的解集为x<2
所以6x<a+5的解集也是x<2.
所以
解得a=7. 故答案：7
四、例题精析
【例题1】
【题干】某地“梅花节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏梅花，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②景区游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元，公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000元，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆？
【答案】公司租用四座车1辆，租用十一座车6辆。
【解析】设四座车租x辆，十一座车租y辆，
则有
解得
又∵，故y=5,6
当y=5时，，（舍去）
∴x=1,y=6
及公司租用四座车1辆，租用十一座车6辆。
【例题2】
【题干】绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
(1)王灿有几种方案安排甲、乙两种货车可一次性地将水果运到销售地？
(2)若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
【答案】（1）安排甲、乙两种货车有三种方案：
甲种货车
乙种货车
方案一
2辆
6辆
方案二
3辆
5辆
方案三
4辆
4辆
（2）王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2 040元．
【解析】(1)设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车(8－x)辆，依题意得
，
解此不等式组得2≤x≤4.
∵x是正整数，
∴x可取的值为2,3,4.
因此安排甲、乙两种货车有三种方案：
甲种货车
乙种货车
方案一
2辆
6辆
方案二
3辆
5辆
方案三
4辆
4辆
(2)方案一所需运费为300×2＋240×6＝2 040元；
方案二所需运费为300×3＋240×5＝2 100元；
方案三所需运费为300×4＋240×4＝2 160元．
∴王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2 040元．
【例题3】
【题干】为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3 200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3∶2，单价和为160元．
(1)篮球和排球的单价分别是多少元？
(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？
【答案】（1）篮球和排球的单价分别是96元、64元．
（2）共有三种购买方案：
①购买篮球26个，排球10个；
②购买篮球27个，排球9个；
③购买篮球28个，排球8个．
【解析】(1)设篮球的单价为x元，则排球的单价为x元，
据题意得x＋x＝160，
解得x＝96.
故x＝×96＝64.
所以篮球和排球的单价分别是96元、64元．
(2)设购买的篮球数量为n个，则购买的排球数量为(36－n)个．
由题意得：，
解得25＜n≤28.
而n是整数，所以其取值为26,27,28，对应36－n的值为10,9,8，
所以共有三种购买方案：
①购买篮球26个，排球10个；
②购买篮球27个，排球9个；
③购买篮球28个，排球8个．
【例题4】
【题干】为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造，根据预算，共需资金1575万元，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元.
（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担。若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元。请你通过计算求出有几种改造方案？
【答案】（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为60万元和85万元。
（2）共有四种方案
【解析】（1）解：设改造一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元
由题意得
解得
答：改造一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为60万元和85万元。
（2）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校（6-x）所，
由题意得：
解得
∵x取整数
∴ x=1,2,3,4. 即共有四种方案
【例题5】
【题干】某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．
（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？
（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？
【答案】（1）甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶．
（2）甲种消毒液最多能再购买50瓶．
【解析】（1）甲种消毒液购买x瓶，则乙种消毒液购买：100-x瓶
6x+9（100-x）=780 解得x=40，则100-x=60
答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶．
（2）6x+18（100-x）≤1200 解得x≥50
答：甲种消毒液最多能再购买50瓶．
【例题6】
【题干】某电脑经销商计划同时购进一批电脑音箱和液晶显示器，若购进电脑音箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑音箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．
(1)每台电脑音箱、液晶显示器的进价各是多少元?
(2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金
不超过 22240元．根据市场行情，销售电脑音箱、液晶显示器一台分别可获利10元
和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于 4100元．试问：该经销
商有哪几种进货方案? 哪种方案获利最大? 最大利润是多少?
【答案】(1) 每台电脑音箱的进价是60元，液晶显示器的进价是800元
(2)有三种进货方案， 第①种方案利润最大为4400元。
【解析】(1)设每台电脑音箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，得
，解得
答：每台电脑音箱的进价是60元，液晶显示器的进价是800元
(2)设购进电脑音箱x台，得
，解得24≤x≤26
因x是整数，所以x=24,25,26
利润10x+160(50-x)=8000-150x，可见x越小利润就越大，故x=24时利润最大为4400元
答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑音箱，26台液晶显示器；②进25台电脑音箱，25台液晶显示器；③进26台电脑音箱，24台液晶显示器。第①种方案利润最大为4400元。
【例题7】
【题干】春节期间，内蒙遭遇强冷空气，某些地区温度降至零下40℃以下，对居民的生活造成严重影响．某火车客运站接到紧急通知，需将甲种救灾物资2230吨，乙种救灾物资1450吨运往灾区．火车客运站现组织了一列挂有A、B两种不同规格的货车厢70节运送这批救灾物资．已知一节A型货车厢可装35吨甲种救灾物资和15吨乙种救灾物资，运费为0．6万元；一节B型货车厢可装25吨甲种救灾物资和35吨乙种救灾物资，运费为0. 9万元．
设运送这批物资的总运费为W万元，用A型货车厢的节数为节．
（1）用含的代数式表示W；
（2）有几种运输方案；
（3）采用哪种方案总运费最少，总运费最少是多少万元？
【答案】（1）W=63-0. 3．
(2) 有三种运输方案．
(3) 当A型货车厢为50节，B型货车厢为20节时，所需总运费最少．
最少总运费为W=63-0. 3×50=48（万元）．
【解析】（1）W=0. 6+（70-）×0. 9=63-0. 3．
（2）根据题意，可得
解得48≤≤50．
∵为正整数，∴取48，49，50． ∴有三种运输方案．
（3）取48、49、50时，W= 63-0. 3，且= -0. 3＜0．
∴W随的增大而减少，故当=50时W最少．
∴当A型货车厢为50节，B型货车厢为20节时，所需总运费最少．
最少总运费为W=63-0. 3×50=48（万元）．
【例题8】
【题干】宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有几种？
【答案】2
【解析】设租用二人有x间，租用三人有y间，租用四人有z间，
根据题意可列不等式，得2x+3y+4z>20 (1)
X+y+z=7 (2)
将（1）变形得，2x+2y+2z+y+2z>20
∵X+y+z=7
∴14+y+2z>20
∴y>6-2z
当z=1时，y=4,x=2
当z=2时，y=2,x=3
当z=3时，y=0,x=0,不符合同时租用的条件，
∴共有2种方案。
【例题9】
【题干】某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.
【答案】(1) 甲、乙工程队每天分别能铺设米和米.
(2) 分配方案有3种．
方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米．
【解析】（1）设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x-20）米
根据题意列方程，得
解得 x=70
所以x-20=70-20=50
甲、乙工程队每天分别能铺设米和米.
（2）解：设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队（）米.
由题意，得解得．
所以分配方案有3种．
方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米．
【例题10】
【题干】某幼儿园在六一儿童节购买了一批牛奶．如果给每个小朋友分5盒；则剩下38盒，如果给每个小朋友分6盒，则最后小朋友不足5盒，但至少分得1盒．问：该幼儿园至少有多少名小朋友？最多有多少名小朋友．
【答案】40个小朋友；最多有43个小朋友。
【解析】设该幼儿园有x名小朋友。
依题意得：1≤5x＋38 - 6（x - 1）＜5
∴不等式组的解集为：39＜x≤43
又∵x为整数，∴x＝40,41,42,43
答：该幼儿园至少有40名小朋友，最多有43名小朋友
课程小结
本节课的学习重点是一元一次不等式在实际问题中的应用，常见的问题是方案分配问题，在解决实际问题的时候注意根据实际问题判断未知数的取值范围。
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