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第二十章 数据的分析
20．1 数据的集中趋势
20．1.1 平均数
第1课时 平均数(1)
1．使学生理解并掌握数据的权和加权平均数的概念．
2．使学生掌握加权平均数的计算方法．
重点
会求加权平均数．
难点
对“权”的理解．
一、复习导入
某校八年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下：
班级
1班
2班
3班
4班
参考人数
40
42
45
32
平均成绩
80
81
82
79
求该校八年级学生在这次数学考试中的平均成绩．下述计算方法是否合理？为什么？
x＝×(79＋80＋81＋82)＝80.5
平均数的概念及计算公式：
一般地，如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，则有x＝，其中x叫做这n个数的平均数，读作“x拔”．
二、讲授新课
问题：
一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩(百分制)如表所示.
应试者
听
说
读
写
甲
85
78
85
73
乙
73
80
82
83
(1)如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩(百分制)．从他们的成绩看，应该录取谁？
(2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定计算两名应试者的平均成绩(百分制)．从他们的成绩看，应该录取谁？
对于问题(1)，根据平均数公式，甲的平均成绩为：
＝80.25，
乙的平均成绩为
＝79.5.
因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲．
对于问题(2)，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，这说明各项成绩的“重要程度”有所不同，读、写的成绩比听、说的成绩更加“重要”．因此，甲的平均成绩为
＝79.5，
乙的平均成绩为
＝80.4.
因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙．
上述问题(1)是利用平均数的公式计算平均成绩，其中的每个数据被认为同等重要．而问题(2)是根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程度相应的比重，其中的2，1，3，4分别称为听、说、读、写四项成绩的权，相应的平均数79.5，80.4分别称为甲和乙的听、说、读、写四项成绩的加权平均数．
一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则
叫做这n个数的加权平均数．
三、例题讲解
【例1】教材第112页例1
【例2】为了鉴定某种灯泡的质量，对其中100只灯泡的使用寿命进行了测量，结果如下表：(单位：小时)
寿命
450
550
600
650
700
只数
20
10
30
15
25
求这些灯泡的平均使用寿命．
解：这些灯泡的平均使用寿命为：
x＝＝597.5(小时)
四、巩固练习
1．在一个样本中，2出现了x1次，3出现了x2次，4出现了x3次，5出现了x4次，则这个样本的平均数为________．
【答案】
2．某人打靶，有a次打中x环，b次打中y环，则这个人平均每次中靶________环．
【答案】
五、课堂小结
师：这节课你学到了什么新知识？
生1：数据的权和加权平均数的概念．
生2：掌握加权平均数的计算方法．
……
平均数是统计中的一个重要概念，新教材注重学生在经历统计活动的过程中体会平均数的本质内涵，理解平均数的意义，发展学生的统计观念，基于以上认识，我在设计中突出了让学生在具体情境中体会为什么要学习平均数，注重引导学生在统计的背景中理解平均数的含义，在比较、观察中把握平均数的特征，进而运用平均数解决实际问题，了解它的价值．
第2课时 平均数(2)
1．加深对加权平均数的理解．
2．会根据频数分布表求加权平均数，解决一些实际问题．
3．会用计算器求加权平均数的值．
重点
根据频数分布表求加权平均数．
难点
根据频数分布表求加权平均数．
一、复习导入
采用教材原有的引入问题，设计的几个问题如下：
(1)请同学们阅读教材中的探究问题，依据统计表可以读出哪些信息？
(2)这里的组中值指什么，它是怎样确定的？
(3)第二组数据的频数5指什么呢？
(4)如果每组数据在本组中分布较为均匀，每组数据的平均值和组中值有什么关系？
设计意图(1)主要是想引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计算方法；
(2)加深了对“权”的意义的理解：当利用组中值近似取代一组数据中的平均值时，频数恰好反映这组数据的轻重程度，即权；
二、例题精讲
【例2】某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人．求这个跳水队运动员的平均年龄(结果取整数)．
解：这个跳水队运动员的平均年龄为
x＝≈14(岁)．
【例3】某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡．它们的使用寿命如下表所示，这批灯泡的平均使用寿命是多少？
使用寿
命/x/h
600≤x
＜1000
1000≤x
＜1400
1400≤x
＜1800
1800≤x
＜2200
2200≤x
＜2600
灯泡
只数
5
10
12
17
6
分析：抽出的50只灯泡的使用寿命组成一个样本，可以利用样本的平均使用寿命来估计这批灯泡的平均使用寿命．
解：根据表格，可以得出各小组的组中值，于是
x＝＝1672，
即样本平均数为1672.
因此，可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是1672 h.
三、巩固练习
某校为了了解学生做课外作业所用时间的情况，对学生做课外作业所用时间进行调查，下表是该校八年级某班50名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表.
所用时间t(分钟)
人 数
0＜t≤10
4
10＜t≤20
6
20＜t≤30
14
30＜t≤40
13
40＜t≤50
9
50＜t≤60
4
求：(1)第二组数据的组中值是多少？
(2)该班学生平均每天做数学作业所用的时间．
【答案】解：(1)15
(2)该班学生平均每天做数学作业所用时间为
x＝＝30.8(分钟)
四、课堂小结
1．加权平均数的应用．
2．根据频数分布表求加权平均数．
3．学会用计算器求加权平均数的值．
在统计中算术平均数常用于表示对象的一般水平，它是描述数据集中程度的一个统计量，它可以反映一组数据的一般情况，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别，可见平均数是统计中的一个重要概念．
基于这一认识，这节课注重了以下几个方面：
一、在现实生活情境中引入，注重数学与生活的联系．
二、创造有效的数学学习方式，理解平均数的意义，学会平均数的算法．
20.1.2 中位数和众数
第1课时 中位数和众数(1)
认识中位数和众数，并会求出一组数据的众数和中位数．
重点
认识中位数、众数这两种数据代表．
难点
利用中位数、众数分析数据信息，做出决策．
一、复习导入
前面已经和同学们研究了平均数这个数据代表．它在分析数据的过程中担当了重要的角色，今天我们来共同研究和认识数据代表中的新成员——中位数和众数，看看它们在分析数据的过程中又起到怎样的作用．
二、讲授新课
下表是某公司员工月收入的资料.
月收
入/元
45000
18000
10000
5500
5000
3400
3000
1000
人数
1
1
1
3
6
1
11
1
(1)计算这个公司员工月收入的平均数；
(2)若用(1)算得的平均数反映公司全体员工月收入水平，你认为合适吗？
师：同学们知道如何计算这个公司员工月收入的平均数吗？
生：根据加权平均数，可以求出这个公司员工月收入的平均数为：
＝6276.
师：很好！那么用第(1)问中算得的平均数来反映该公司全体员工的月收入水平，你认为合理吗？
生：不合理．因为在这25名员工中，仅有3名员工的收入在6276元以上，而另外22名员工的收入都在6276元以下．因此，用月收入的平均数反映所有员工的月收入水平不合理．
师：这位同学分析得很好！那么应该选择什么数据来反映该公司员工月收入的水平呢？这就要用到本节课要学习的中位数，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势．
将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称位于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．
利用中位数分析数据可以获得一些信息．例如，上述问题中将公司25名员工月收入数据由小到大排列，得到的中位数为3400，这说明除去月收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元．
【例1】教材第117页例4
师：刚才我们学习中位数，下面我们再来学习一个反映数据集中趋势的另一众数，一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映该组数据的集中趋势．
【例2】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示．你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
11
7
3
1
分析：一般来讲，鞋店比较关心哪种尺码的鞋的销售量最大，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数．一段时间内卖出的300双女鞋的尺码组成一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的众数，进而估计这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多．
解：由表可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据的众数，即23.5 cm的鞋销售量最大，因此可以建议鞋店多进23.5 cm的鞋．
三、巩固练习
1．数据8，9，9，8，10，8，9，9，8，10，7，9，9，8的中位数是________，众数是________．
【答案】9 9
2．一组各不相同的数据23，27，20，18，x，12，它的中位数是21，则x的值是________．
【答案】22
3．数据92，96，98，100，x的众数是96，则其中位数和平均数分别是( )
A．97，96 B．96，96.4
C．96，97 D．98，97
【答案】B
4．如果在一组数据中，23，25，28，22出现的次数依次为3，5，3，1，并且没有其他的数据，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A．24，25 B．23，24
C．25，25 D．23，25
【答案】C
四、课堂小结
1．认识了中位数和众数．
2．理解了中位数和众数的意义和作用，并能利用它们分析数据信息，做出决策．
本次教学中，我通过引导学生在了解中位数和众数的意义之后，让学生利用中位数和众数的知识解决实际问题，沟通了知识与实际生活的联系，让学生体会到中位数与众数知识的实用性． 第2课时 中位数和众数(2)
1．进一步认识到平均数、众数、中位数都是数据的代表．
2．了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异．
重点
了解平均数、中位数、众数之间的差异．
难点
灵活运用这三个数据代表解决问题．
一、复习导入
平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表，是描述一组数据集中趋势的量．它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息，在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量反映数据的集中趋势．另外要注意：
(1)平均数计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，但它受极端值的影响较大；
(2)众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受极端值的影响，这是它的一个优势，中位数的计算也不受极端值的影响；
(3)平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应地引起平均数的变动；
(4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势；
(5)实际问题中求得的平均数、众数、中位数应带上单位．
二、例题讲解
【例1】在一次环保知识竞赛中，某班50名学生成绩如下表所示：
得分
50
60
70
80
90
100
110
120
人数
2
3
6
14
15
5
4
1
分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数．
解：众数90分 中位数85分 平均数84.6分
【例2】公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下：(单位：岁)
甲群：13，13，14，15，15，15，16，17，17.
乙群：3，4，5，5，6，6，36，55.
(1)甲群游客的平均年龄是________岁，中位数是________岁，众数是________岁，其中能较好地反映甲群游客年龄特征的是________；
(2)乙群游客的平均年龄是________岁，中位数是________岁，众数是________岁，其中能较好地反映乙群游客年龄特征的是________．
解：(1)15 15 15 众数 (2)15 5.5 5，6 中位数
【例3】教材第119页例6
三、巩固练习
某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：
职员
董事长
副董
事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5500
5000
3500
3000
2500
2000
1500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为应该使用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司职工的工资水平？
【答案】(1)2091 1500 1500 (2)3288 1500 1500 (3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
四、课堂小结
1．了解平均数、中位数、众数之间的差异．
2．灵活运用这三个数据代表解决问题．
本节课首先从复习平均数、中位数和众数的定义开始，接着列出这三种统计量各自的特点和适用条件，为避免太过抽象，在后面设计的例题中都有这些统计量的应用，培养学生应用数学的意识．
20.2 数据的波动程度
1．了解方差的定义和计算公式．
2．理解方差概念的产生和形成过程．
3．会用方差比较两组数据的波动大小．
重点
方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题．
难点
理解方差的概念并会运用方差的公式解决实际问题．
一、情境导入
1．请同学们看下面的问题：(幻灯片出示)
农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如下表所示.
甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
上面两组数据的平均数分别是
x甲≈7.54，x乙≈7.52，
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大．
为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的分布情况，我们把这两组数据画成下面的图1和图2.
师：比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，乙种甜玉米在各试验田的产量较集中地分布在平均量附近，从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢？这就是我们本节课所要学习的内容——方差．
教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小)．
2．方差的概念
教师讲解：为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：
设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的和的平均数是s2，那么我们用
s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大；数据的方差越小，说明这组数据的波动越小，教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．
在学生理解了方差的概念之后，再回到了引例中，通过计算甲、乙两种甜玉米的方差，根据理论说明哪种甜玉米的产量更好．
教师示范：
两组数据的方差分别是
s甲2＝≈0.01，
s乙2＝≈0.002.
显然s甲2＞s乙2，即甲种甜玉米的波动较大，这与我们从图1和图2看到的结果一致．
由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定．正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差．因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲种的稳定．综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米．
这样做使学生深刻地体会到数学来源于实践，又反过来作用于实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识．
二、例题讲解
【例1】教材第125页例1
【例2】教材第127页例2
【例3】(幻灯片出示)已知两组数据：
甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7
乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1
分别计算这两组数据的方差．
让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名学生到黑板计算．
解：根据公式可得
x甲＝10＋(－0.1＋0.3－0.2＋0.1＋0.4＋0－0.2－0.3)
＝10＋×0＝10
x乙＝10＋(0.2＋0－0.5＋0.3＋0.5－0.4－0.2＋0.1)
＝10＋×0＝10
s甲2＝[(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋…＋(9.7－10)2]
＝(0.01＋0.09＋…＋0.09)
＝×0.44＝0.055
s乙2＝[(10.2－10)2＋(10－10)2＋…＋(10.1－10)2]
＝(0.04＋0＋…＋0.01)
＝×0.84＝0.105
从s甲2＜s乙2知道，乙组数据比甲组数据波动大．
三、巩固练习
1．已知一组数据为2，0，－1，3，－4，则这组数据的方差为________．
【答案】6
2．甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7
经过计算，两人射击环数的平均数相同，但s甲2________s乙2，所以确定________去参加比赛．
【答案】＞ 乙
四、课堂小结
1．知识小结：通过这节课的学习，我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小，而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差．
2．方法小结：求一组数据方差的方法：先求平均数，再利用平均数求方差．
本次教学在解决引例问题时，通过对数据的分析，发现以前学过的统计知识不能解决新问题，引出矛盾，这里设计了小组讨论的环节，让学生在交流中得到启发，进而使学生的思维发生碰撞，产生创新的火花，真正体现“不同的人，在数学上得到不同的发展”．
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