资源描述
《1 等腰三角形》
第1课时
教学目标
1、知识目标：
了解等腰三角形的性质，会利用等腰三角形的性质，进行简单的推理、判断、计算作用．
2、能力目标：
从设置问题⇒模型演示⇒自己动手探究发现等腰三角形的性质，培养学生的观察力、实验推理能力．
3、情感目标：
要求学生在学习中运用发现法，体验几何发现的乐趣，在实际操作动手中感受几何应用美．
教学重难点
重点：等腰三角形两底角相等，等腰三角形三线合一．
难点：等腰三角形三线合一的推理应用．
教学过程
（一）直观演示，大胆猜想
1、观察含有等腰三角形图片，让学生从感性上认识等腰三角形，激发学生的兴趣．
2、由学生自己动手折纸游戏，演示等腰三角形变换，大胆猜测等腰三角形的性质．
（二）证明猜想，形成定理．
例、△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C
1、思考：
如何证明你的猜想？〔讲述一种证明方法：作顶角的平分线〕
〔解答〕证明：做顶角的平分线AD，AD平分∠A，AD⊥BC．
在△ABD和△ACD中
所以△ABD≌△ACD（SSS），所以∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC＝90°．
思考：有其它的方法吗？试试看，用不同的方法证明这个结论．
2、想一想：
在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”．
推论：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
3、小结：根据等腰三角形的性质填空
（1）如果AB=AC，AD是角的平分线那么-----------------------------------．
（2）如果AB=AC，AD⊥BC那么-------------------------------------．
（3）如果AB=AC，BD=CD那么------------------------------------．
总结，积累知识点，从理性上认识等腰三角形的性质，形成知识体系．
第2课时
教学目标
1．知识与能力：
理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形中的线段长度关系；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．
2．过程与方法：
在探索等腰三角形中的线段长度关系的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．
3．情感、态度与价值观：
培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．
教学重难点
教学重点：理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形中的线段长度关系；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．
教学难点：探索等腰三角形中的线段长度关系的探索和应用．
教学过程
等腰三角形性质的探究
1．让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段．
2．播放课件，结合刚才的问题讲解例1的命题，并为后面将此性质拓展埋下伏笔．
3．分别演示：
在△ABC中，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，k=，时，BD是否与CE相等．引导学生探究、猜测当k为其他整数时，BD与CE的关系．
4．引导学生探究，对于上述例题，当AD=AC，AE=AB，k=，时，通过对例题的引申，培养学生的发散思维，经历探究—猜测—证明的学习过程．
5．引导学生进一步推广，把上面3、4中的k取一般的自然数后，原结论是否仍然成立？要求学生说明理由或给出证明．
6．对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明．
7．提出新的问题，引导学生从“等角对等边”这个命题的反面思考问题，即思考它的逆命题是否成立．适时地引导学生思考可以用哪些方法证明？培养学生的推理能力．
8．归纳学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理能力．
9．启发学生思考：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立？如果成立，能否证明．这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述可以提高学生的思维能力．
10．总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解．
第3课时
教学目的
1、使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论；
2、掌握等腰三角形判定定理的运用；
3、通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力；
4、熟识等边三角形的性质及判定．
教学重难点
教学重点：等腰三角形的性质及其应用；等腰三角形的判定定理．
教学难点：性质与判定的区别．
教学过程
一、新课背景知识复习
1、请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念
估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论．
2、等腰三角形的性质定理的内容是什么？并检验它的逆命题是否为真命题？
启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述：
二、新课
1、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简称“等角对等边”）．
由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法．
已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证；AB=AC
教师可引导学生分析：
联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形．因为已知∠B=∠C，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引起．再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作∠BAC的平分线AD或作BC边上的高AD等证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC．
注意：
（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
（3）判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系．
2、在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等．我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
等边三角形具有什么性质呢？
（1）请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想．
（2）你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的？
等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°．
（3）上面的条件和结论如何叙述？
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
等边三角形也称为正三角形．
例1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数．
分析：由AB＝AC，D为BC的中点，可知AB为BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC＝90°，∠l＝∠BAC，由于∠C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求．
问题1：本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样？
问题2：求∠1是否还有其它方法？
三、小结
由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°．“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件．
第4课时
教学目标
1．知识与技能：
（1）理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法．
（2）会用等边三角形的知识解决相应的数学问题．
（3）使学生理解含30°角的直角三角形的性质．
2．过程与方法：
（1）通过探究含30°角的直角三角形的性质，使学生进一步认识到数学来源于生活实践．
（2）体验用操作、归纳得出数学结论的过程．
3．情感、态度与价值观：
（1）通过拼等边三角形这一探究活动，培养学生的合作交流、乐于探究、大胆猜想等良好品质．
（2）使学生经历观察、探究、归纳、推理和证明的全过程，培养学生科学、严谨、求真的学习态度．
教学难重点
教学重点：等边三角形判定定理的发现与证明；理解含30°角的直角三角形的性质及应用．
教学难点：等边三角形性质和判定的应用；含30°角的直角三角形性质的探究．
教学过程
教学过程
一．复习回顾
等腰三角形概念及性质：
（1）叫等腰三角形．
（2）等腰三角形的相等．
（3）等腰三角形、、互相重合．
二．新课讲解
活动一：等边三角形的证明
1．等边三角形的判定
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
要让学生自己推证这两条推论．
2．应用举例
例1．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
分析：让学生画图，写出已知求证，启发学生遇到已知中有外角时，常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补；②它等于与它不相邻的两个内角的和．要证AB=AC，可先证明∠B=∠C，因为已知∠1=∠2，所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系．
数学表达：已知∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求证：AB=AC．
证明：（略）由学生板演即可．
活动二：探究直角三角形的性质
１．拼一拼：你能用两个含有30°角的三角板摆放在一起构成一个等边三角形吗？你能借助这个图形，找到30°角所对的直角边与斜边之间的数量关系吗？组内交流自己的想法．（如图1）
图（1）
学生活动：学生两人一组拼并观察图形，分析数量关系，发现∠BAD＝60°，而∠B＝∠D＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以AB=BD＝2BC，进而得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
教师活动：教师巡视观察、倾听各组学生是否发现并理解直角三角形的性质，根据情况进行点拨、引导．
2．说一说：你能利用数学语言说一说你的发现吗？
学生活动：学生根据图形指出，在Rt△ABC中，因为∠A=30°，所以∠A所对的直角边等于斜边AB的一半．
教师活动：教师根据学生叙述进行板书，根据学生叙述情况进行追问、强调．发挥教师的主导作用．
3．证一证：师生活动：
教师通过追问“这条性质一定是真命题吗？你能验证吗？”引发学生思考，根据图形，自主尝试证明这条性质的正确性．教师巡视指导，观察学生的证明方法，根据学生是否有不同证明方法找学生展示讲解，师生质疑．
活动三：变式练习，深化性质
1．已知如图（3），在Rt△ABC中，因为∠A=30°，则下列结论正确的为：
A、B、C、
图（3）图（4）
2．已知如图（4），△ABC，∠C=90°，∠A=30°，DE⊥AC于点E，FG⊥AB于点G，请你根据直角三角形的性质写出不同线段间的数量关系．
学生活动：学生独立自主完成练习，小组展示，师生质疑矫正．
教师活动：教师重点关注学生能否找准30°角所对的直角边，能否根据性质写出线段间的关系．
活动四：应用提高、拓展创新
1．如图（5）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7．4m，∠A=30°，立柱BC、DE需要多长？
图（5）图（6）
2．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=AB．
师生活动：学生根据所学知识自行探索，教师引导学生在探索的过程中发现解决问题的关键：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
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