初中数学发现、构造相似三角形的基本图形证题专题辅导.doc

发现、构造相似三角形的基本图形证题
支其韶 吴复

用相似三角形的性质来证线段成比例和角相等，是几何证题中的重点之一，而解题的关键是在几何图形中发现或构造所需的相似三角形，下面举例说明。
相似三角形主要有四种基本类型。
一、平行线型
如图1，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC。

例1. 已知，如图2所示，AD为△ABC的中线，任一直线CF交AD、AB于E、F。
求证：。

证明：过点D作DG∥CF交AB于G，得。
因为D为BC中点，所以G为BF中点，
即，
所以。

例2. 已知，如图3所示，BE、CF分别为△ABC的两中线，交点为G。
求证：。

证明：连结EF。
因为EF为△ABC的中位线，
所以EF∥BC且EF=，
所以。

例3. 已知，如图4所示，在△ABC中，直线MN交AB、AC和BC的延长线于X、Y、Z。
求证：=1。

证明：过点C作CD∥BA交YZ于D，则，，
所以。

二、相交线型
如图5，若∠1=∠B，则可由公共角或对顶角得△ADE∽△ABC。

例4. 已知，如图6所示，△ABC中，AB=AC，D为AB上的点，E为AB延长线上的点，且。
求证：BC平分∠DCE。

分析：本题欲证∠BCD=∠BCE。
由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，
而∠BCD=∠ACB-∠ACD，
∠BCE=∠ABC-∠BEC，
则只需证明∠ACD=∠AEC，而这一性质一出现可知通过相交线型的相似三角形进行证明，且只需证∠ACD=∠AEC的等价条件，而由和AB=AC，即可证出。

例5. 已知，如图7所示，CD为Rt△ABC的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG⊥AB于G。

求证：。
解析：欲证相乘两线段FC和FB重叠，则可通过添加相交线型相似三角形证明。由∠FGB=和∠FCA=可知延长GF交AC延长线于H后可得△HCF∽△BGF，CF·BF=GF·HF，再与结论比较可知应转化成证GF=HF，但由CD∥HG，又出现了三角形中的平行线段，则又可通过平行线型的相似三角形进行证明，从而有。已知CE=DE，故GF=HF即可证出。

三、旋转型
如图8，若∠BAD=∠CAE，则△ADE绕点A旋转一定角度后与△ABC构成平行线型的相似三角形。

如图9，直角三角形中的相似三角形，若∠ACB=，AB⊥CD，则△ACD∽△CBD∽△ABC。

例6. 已知，如图10所示，D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠EBC=∠DBA，∠ECB=∠DAB。

求证：DB·AC=AB·DE。
证明：（简）由已知两对角分别相等，可证出△DBA∽△EBC。
所以。
由∠ABC=∠DBE，
可证△ABC∽△DBE，
所以，
即DB·AC=AB·DE。

例7. 已知，如图11所示，F为正方形ABCD的边AB的中点，E为AD上的一点，AE=AD，FG⊥CE于G。
求证：。

证明：（简）连结EF、CF。
由AE=，AF=BF=AB，四边形ABCD为正方形，得
。
因为∠A=∠B=，
所以△EFA∽△FCB，∠1=∠2。
因为∠2+∠3=，∠1+∠3=，
所以∠EFC=。
因为FG⊥CE，所以。
若所证线段比例式（或等积式）的各线段明显不在两个相似三角形中，则设法等积代换、等线段代换、等比代换，使代换后的四线段含于两相似三角形中，若较复杂的题目即使作等量代换也无济于事，则需构造新的图形才能找出适当的等量代换。特别是欲证“，且m、a、b在同一直线上”的这类问题，往往要设法把线段m转换到另一位置上，从而找到相似三角形。
例8. 已知，如图12所示，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD上的点，过O作直线分别交DC、AB于M、N，交AD的延长线于E，交CB的延长线于F。
求证：OE·ON=OM·OF。

证明：因为EA∥CF，
所以∠E=∠F。
又因为∠1=∠2，
所以△EOD∽△FOB，
所以OE：OF=OD：OB，
同理可证△DOM∽△BON，
所以OM：ON=OD：OB得OE：OF=OM：ON，
即OE·ON=OM·OF，
注：本例用的是等比代换。