初中数学发现、构造相似三角形的基本图形证题专题辅导.doc

发现、构造相似三角形的基本图形证题支其韶 吴复用相似三角形的性质来证线段成比例和角相等，是几何证题中的重点之一，而解题的关键是在几何图形中发现或构造所需的相似三角形，下面举例说明。相似三角形主要有四种基本类型。一、平行线型如图1，若DEBC，则ADEABC。 例1. 已知，如图2所示，AD为ABC的中线，任一直线CF交AD、AB于E、F。求证：。证明：过点D作DGCF交AB于G，得。因为D为BC中点，所以G为BF中点，即，所以。 例2. 已知，如图3所示，BE、CF分别为ABC的两中线，交点为G。求证：。证明：连结EF。因为EF为ABC的中位线，所以EFBC且EF=，所以。 例3. 已知，如图4所示，在ABC中，直线MN交AB、AC和BC的延长线于X、Y、Z。求证：=1。证明：过点C作CDBA交YZ于D，则，所以。二、相交线型如图5，若1=B，则可由公共角或对顶角得ADEABC。 例4. 已知，如图6所示，ABC中，AB=AC，D为AB上的点，E为AB延长线上的点，且。求证：BC平分DCE。分析：本题欲证BCD=BCE。由AB=AC可得ABC=ACB，而BCD=ACB-ACD，BCE=ABC-BEC，则只需证明ACD=AEC，而这一性质一出现可知通过相交线型的相似三角形进行证明，且只需证ACD=AEC的等价条件，而由和AB=AC，即可证出。 例5. 已知，如图7所示，CD为RtABC的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G。求证：。解析：欲证相乘两线段FC和FB重叠，则可通过添加相交线型相似三角形证明。由FGB=和FCA=可知延长GF交AC延长线于H后可得HCFBGF，CFBF=GFHF，再与结论比较可知应转化成证GF=HF，但由CDHG，又出现了三角形中的平行线段，则又可通过平行线型的相似三角形进行证明，从而有。已知CE=DE，故GF=HF即可证出。三、旋转型如图8，若BAD=CAE，则ADE绕点A旋转一定角度后与ABC构成平行线型的相似三角形。如图9，直角三角形中的相似三角形，若ACB=，ABCD，则ACDCBDABC。 例6. 已知，如图10所示，D为ABC内的一点，E为ABC外的一点，且EBC=DBA，ECB=DAB。求证：DBAC=ABDE。证明：（简）由已知两对角分别相等，可证出DBAEBC。所以。由ABC=DBE，可证ABCDBE，所以，即DBAC=ABDE。 例7. 已知，如图11所示，F为正方形ABCD的边AB的中点，E为AD上的一点，AE=AD，FGCE于G。求证：。证明：（简）连结EF、CF。由AE=，AF=BF=AB，四边形ABCD为正方形，得。因为A=B=，所以EFAFCB，1=2。因为2+3=，1+3=，所以EFC=。因为FGCE，所以。若所证线段比例式（或等积式）的各线段明显不在两个相似三角形中，则设法等积代换、等线段代换、等比代换，使代换后的四线段含于两相似三角形中，若较复杂的题目即使作等量代换也无济于事，则需构造新的图形才能找出适当的等量代换。特别是欲证“，且m、a、b在同一直线上”的这类问题，往往要设法把线段m转换到另一位置上，从而找到相似三角形。 例8. 已知，如图12所示，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD上的点，过O作直线分别交DC、AB于M、N，交AD的延长线于E，交CB的延长线于F。求证：OEON=OMOF。证明：因为EACF，所以E=F。又因为1=2，所以EODFOB，所以OE：OF=OD：OB，同理可证DOMBON，所以OM：ON=OD：OB得OE：OF=OM：ON，即OEON=OMOF，注：本例用的是等比代换。