七年级数学多边形的内角和教案.doc

多边形的内角和
教学目的
1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。
2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和公式，并会利用它进行有关计算。
重点、难点
1．重点：多边形的内角和定理。
2．难点：多边形的内角和定理的推导。
教学过程
一、复习提问
1．什么叫三角形? 2．三角形的内角和是多少?
3．什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少?
二、新授
1．多边形的概念，
三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。
你能说出什么叫四边形、五边形吗?
如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写)
D D
C
A C E

A B
B
图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE。
一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。
下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范围内 。
注 意我们现在研究的是如右图所示的多边形，也就是所谓的凸多边形
有什么不同？
凹多边形
凸多边形

与三角形类似如图，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，延长 AB、CB得四边形ABCD的两个外角∠CBE和∠ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有n个内角，有2n个外角。

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，线段AC是四边形 ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。

问：(1)四边形有几条对角线?(两条AC、BD)　
(2)五边形有几条对角线?
以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。
(3)六边形有几条对角线?n边形呢? 六边形有9条对角线。
从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条， (除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有条对角线。
大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；当n=5时，有5条：当n=6时，有9条…，因此，我们可以得到多边形的对角线的条数的计算公式：
2．多边形的内角和公式。
三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180°，那么一般n边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形……开始。
从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成2个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。
让学生填写表,由此，你可以得到”边形的内角和公式吗?
n边形的内角和＝(n-2)·180°
知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n。
知道多边形的边数,可以求出多边形的度数

例1.求八边形的内角和的度数。
分析: n边形的内角和公式为(n-2) 180 ° ,现在知道这个多边形的边数是，代入这个公式既可求出. 解 　（n－2）×180°
=（8－2）×180°
=1 080°
例2.已知多边形的内角和的度数为900°，则这个多边形的边数为________
解 　（n－2）×180° = 900°
（n－2）= 900° /180°
（n－2） = 5 n= 5 +2 n=7
例3. 已知在一个十边形中，九个内角的和的度数是1290°，求这个十边形的另一个内角的度数.
分析：先求出十边形的内角和，再减去1290°,就可以得出.

解: （10－2）×180° =1440 °
则十边形的另一个内角的度数为
1440 °- 1290° =150

那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢?
因为正多边形的每个角相等,所以知道正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数
（n－2）×180°/ n

例4.正五边形的每一个内角等于_____.
解: （n－2）×180°/ n
= （5－2）×180°/5
=540°/5
=108°
例5.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边形的边数是_____
解: 120°n=（n－2）×180°
120°n=n×180°-360 °
60°n =360 °
n =6

多边形的内角和等于(n-2)·180°，还可以用以下的划分来说明，即在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?请你试一试。
对有困难的学生教师可以加以引导。
如图(教科书图9.2.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此n边形就可划分成n个三角形，这n个三角形的内角和减去以 P为顶点的周角所得的差就是”边形的内角和。因此，n边形的内角和为：
n·180°-360°＝n·180°-2·180°=(n-2)·180°
问：还有其他方法吗?让学生自主探索，对不同方法给予鼓励。

三、巩固练习
教科书第70页练习1、2。

四、小结
本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°。这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握。在转化过程中，我们还发现多边形的对角线的条数的计算公式。以及正多边形的特征。希望同学们在以后学习生活中勤思考，多练习！灵活运用所学知识解题。
五、作业
教科书P71习题9.2第1、2、3、4题。